Тайны многогранников

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение «Средняя Общеобразовательная Школа № 15 с углубленным изучением отдельных предметов» г. Энгельса Саратовской области

Тайны многогранников.

Выполнила:

ученица 11 «а» класса

Данилова Дарья

Руководитель:

Затеева Валентина Павловна

г. Энгельс 2012 год

Содержание:

Введение                                                                                                                                                                              3  

Глава 1. Элементы теории правильных многогранников                                                                             4-6

 § 1. Определение многогранника и его элементов                                                                                              4-5

 § 2. Теорема Эйлера                                                                                                                                              5-6

Глава 2. Исследования правильных многогранников                                                                                   7-9

§ 1. Исследования правильных многогранников в период  до нашей эры                                             7-8

§ 2. Исследования правильных многогранников в XVI – XIX вв.                                                                 8-9

                                                                                                                                                    
Глава 3. Пирамиды                                                                                                                                             10-12

Глава 4.  Правильные многогранники в нашей жизни. Создания природы.                                          13-14

Заключение                                                                                                                                                                        14

Приложения                                                                                                                                                         14-15

Список литературы                                                                                                                                                16                                                                                

Введение.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Гипотеза: 

если выстроить хронологически события исследований правильных многогранников, то можно выявить основные этапы и особенности изучения Платоновых тел

Объект исследования:

правильные многогранники (Платоновы тела)

Основная цель данного проекта – знакомство с многогранниками, поиск связи между этими телами и гармоничным устройством мира.

Постановка такой цели предопределила формулировку следующих задач:

1.   Узнать, что такое многогранник
2.   Рассмотреть виды многогранников
3.   Изучить их свойства

4.  Изучить свойства пирамид

5.  Подвести итоги

Глава 1

Элементы теории правильных многогранников.



§ 1. Определение многогранника и его элементов.


Определение: многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые

Определение: выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости

Выпуклые многогранники, в свою очередь, делятся на неправильные и правильные

Определение: Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Основные элементы многогранника:

-Вершины

-Ребра

-Грани

Многогранник называется правильным, если:

1 он выпуклый

2 все его грани являются равными правильными многоугольниками

3 в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер[1]

Всего существует 5 правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).

Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.

          

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это:

§ 2. Теорема Эйлера

Теорема Эйлера для многогранников  — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Таблица 1

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2   ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

  Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Таблица 2

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:   Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.[2]

Глава 2

Исследования правильных многогранников.

§ 1. Исследования правильных многогранников в период до нашей эры.

Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.[3]

В рамках этого этапа, на мой взгляд, можно выявить  две основных составляющих:

1. Теория «4 стихий» Платона

2. Построение правильных многоугольников  Евклидом

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в Платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.[4]

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники со  сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней       Греции создаются философские школы ,  в которых происходит постепенный переход         от практической к философской геометрии.   Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый   или звездчатый пятиугольник.

 Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в вопросе построения правильных многогранников. Начался новый период изучения правильных многогранников, который я рассмотрю в следующей главе.

§ 2. Исследования правильных многогранников в XVI–XIX вв.

 А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571-1630). Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.
В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.[5]

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр). [6]
Таким образом, в рамках второго этапа исследований можно выявить 3 составляющих:

1.   «Космический кубок» Кеплера

2.   Работа «О многоугольниках и многогранниках» и теория правильных звездчатых многогранников Луи Пуансо

3.   Работа «Исследование многогранников» Луи Коши
Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
В глубины, каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать? На этот вопрос постараемся дать ответ в следующей главе

Глава 3.

Пирамиды

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Еги́петские пирами́ды — величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса и почётный кандидат «новых семи чудес света» — Пирамиды Гизы. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Слово «пирамида» — греческое. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала прообразом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы. Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид (на ноябрь 2008 года). [7]

Мексиканские пирамиды по своим размерам не уступают египетским. Пирамида Солнца в городе Теотихуакан близ Мехико имеет основание площадью 200 метров и высоту 60 метров. Автор книги «Боги, гробницы, ученые» К. Керрам полагает, что до сих пор обнаружены не все мексиканские пирамиды, многие из которых скрыты буйной тропической растительностью, а некоторые землей или водой. Во всяком случае, известно, что древние майя, покидая во время войны или какого-то другого бедствия родные места, обязательно засыпали землей свое самое ценное сокровище — пирамиды, чтобы спасти их от уничтожения.
Но почему майя считали самой большой ценностью именно пирамиды, эти огромные алтари, на вершине которых совершались торжественные богослужения? В отличие от египетских пирамид, мексиканские были усечены в верхней части, и на образовавшихся террасах майя возводили храмы, к которым от самого основания пирамиды вели широкие лестницы.
Почему пирамиды Мексики были усеченными? Питерский исследователь А. Белов утверждает, что энергоинформационные характеристики простой и усеченной пирамиды различны. Целая пирамида замыкает информацию на самой себе, а усеченная — выбрасывает ее вовне. Хотя этот вывод спорен, биолокационные эксперименты с пирамидами, проведенные Н. Глазковой и В. Ландой, что вершина целой пирамиды тоже извергает энергию и чем выше пирамида, тем мощнее поток, уходящий из ее вершины в космос. Самолеты, попавшие в этот поток, не фиксируют радар.
Нам до сих пор не известно, как они возводили свои постройки. В период вторжения испанцы не встретили ни одного начатого строительства (по крайней мере никаких упоминаний об этом не сохранилось). Мы не знаем, как индейцы проводили параллельные прямые, очерчивали треугольник, квадрат и круг в своей архитектуре.
Уже первые испанцы, проплывавшие мимо Юкатана, отмечают, что видели на берегу большой благоустроенный город, «не менее прекрасный, чем Севилья». А для истинного испанца Севилья была образцом всего самого прекрасного. Затем здесь появился Кортес и посетил, в частности, островной город Тайясаль. После 1541 года испанцы побывали в одном из наиболее значительных майяских центров — в хорошо известной нам Чичен-Ице, о которой рассказывает в своей хронике Диего де Ланда. Задолго до Стивенса европейцы познакомились и с большинством других крупных майяских городов. Но мир точно ничего не слышал и не видел. И лишь значительно позднее Мексика, Гондурас и весь свет вдруг словно прозрели и с изумлением обнаружили для себя это чудо. Так были заново открыты города, по своей красоте, благоустройству и благородству архитектурных форм ни в чем не уступавшие шумерским, вавилонским и египетским. С этой жемчужиной мир познакомился благодаря американцу Джону Ллойду Стивене и английскому художнику Фредерику Казэрвуду. Они оба перебрались на Юкатан, где увидели ряд значительных майяеких центров: Майяпан, Ошкинток, Кабах, Сайиль, Лабну, Нохкабаб, Чунхуху, Тулум, Цибильнокак и другие. А затем Стивене вернулся в США, Казэрвуд — в Англию. Вскоре по возвращении Стивене издает книгу «Эпизоды из путешествия в Центральную Америку, Чиапас и Юкатан», которая стала первым американским «научным бестселлером». [8]

На дне Бермудского треугольника найдены пирамиды в несколько раз больше Египетских.

В начале 1977 года эхолоты рыболовецкого судна зарегистрировали на дне океана, несколько в стороне от Бермудских островов, неровность, напоминающую пирамиду. Это послужило поводом для американца Чарльза Берлица организовать специальную экспедицию. Эта экспедиция обнаружила на глубине 400 метров пирамиду. Чарльз Берлиц утверждает, что ее высота почти 150 метров, длина стороны основания 200 метров, а наклон боковых граней такой же, как и пирамиды Хеопса. Одна из сторон этой пирамиды длиннее другой.
Найденная пирамида в три раза выше самой большой Египетской пирамиды (Хеопса), имеет стеклянные (или похожие на вид на стекло-хрусталь) грани, которые безукоризненно гладкие и ровные, как зеркала.

Сотрудники спецслужб и армии США вынуждены признать, что аномалии в Бермудском треугольнике происходят из-за работы огромного энергетического комплекса подводных жителей, может быть, и атлантов, уцелевших после трагической катастрофы. Таким образом, стеклянная пирамида и является центральной частью такого комплекса, построенного некогда жрецами Атлантиды. Подобная группа сооружений в виде светящихся пирамид была также недавно обнаружена около южной части Чили, во впадине Беллинсгаузена, на глубине 6000 метров. [9]

Все эти пирамиды являются центрами очагов наиболее крупных цивилизаций Древнего мира. Кроме того, работая с источниками информации, я обнаружила общие для пирамид свойства:

1. Вода, побывавшая в пирамидах, очищается, не меняет своих свойств годами.
2. Пребывание человека внутри пирамиды замедляет процесс старения.
3. Внутри пирамиды заживляются раны, затачиваются ножи.
4. У обработанных в пирамиде сельскохозяйственных культур повышается урожайность на 30-70%.
5. Ученые-лингвисты отмечают, что люди, изучающие иностранный язык, непосредственно в зоне действия энергии пирамид в три раза быстрее запоминают новые слова.
6. Под действием энергетического поля пирамиды происходит ионизация атмосферы. Именно поэтому над ними нет и не может быть озоновых дыр.

Глава 4

Правильные многогранники в нашей жизни. Создания природы.


Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих

объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.[11]

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию.

Заключение.

Таким образом, мы видим, что многогранники играют большую роль в структурной системе мироздания. Правильные многогранники позволили учёным приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Приложение к Главе 2, § 1
Исследования правильных многогранников в период до нашей эры
             

           Евклид                                                    Платон
  

Приложение к Главе 2, § 2
Исследования правильных многогранников в XVI–XIXвв.
              

            Леонард Эйлер                                                       Иоганн Кеплер




Приложение к Главе 4
Правильные многогранники в нашей жизни
                          

икосаэдрово-додекаэдровая сетка

Список литературы:

1.   Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11.М.:Просвещение,1993.

2.   Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике.М.:Наука,1984.

3.   http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/uniform/nonconvex/

4.   http://student.km.ru/ref_show_frame.asp?id=67437D072839491FA8F2A31CC7B9362B, 31.02.2010

5.   Discovery News: New Pyramid Found in Egypt

6.  http://www.wterra.ru

 
7.  http://planeta.moy.su

8. http://akamar.narod.ru

[1] Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике.М.:Наука,1984.

[2] Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11.М.:Просвещение,1993, с. 70

[3] http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/uniform/nonconvex/

[4] http://student.km.ru/ref_show_frame.asp?id=67437D072839491FA8F2A31CC7B9362B, 7.04.2010

[5] http://nios.ru/projects/sait/2/index.htm, 01.03.2010

[6] http://nios.ru/projects/sait/2/index.htm, 01.03.2010

[7] Discovery News: New Pyramid Found in Egypt

[8] http://www.wterra.ru

[9] интервью Александра  Воронина (Президента "Российского общества по изучению проблем Атлантиды")  на сайте http://planeta.moy.su

[10] Публикации о сенсационных результатах тибетской научной экспедиции под руководством профессора Эрнста МУЛДАШЕВА на сайте http://akamar.narod.ru

[11] http://nios.ru/projects/sait/2/index.htm, 15.03.2010