Содержание.

Введение.

1.Август Фердинанд  Мёбиус -астроном, математик.

2.Открытие листа Мёбиуса – начало новой науки топологии.

3.Изготовление листа Мёбиуса.

4.Топологические свойства листа Мёбиуса.

5.Применение  листа Мёбиуса в науке, технике, живописи, архитектуре, в цирковом искусстве.

6.Опыты.

7. Заключение.

8.Список  литературы.

Введение.

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

Объекты исследований: Лист Мебиус

Предмет исследований: Открытие листа Мебиуса

Гипотеза: Предположим что свойства листа Мебиуса отличны от свойств аналогичных фигур

Методы исследования:

1. Работа с литературой
2. Поиск информации во всемирной сети Интернет
3. изготовление листа Мебиуса
4. опыты с листом Мебиуса

Цель работы

1. Изучение свойств листа Мебиуса
2. Применение листа Мебиуса в жизни.

Задачи

1. Изучить биографию Августа Фердинанда Мебиуса
2. Познакомиться с азами науки топологии

1.Август Фердинанд Мёбиус.

Немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг.

Родился в Шульпфорте 17.11.1790.Учился в Лепццигском университете (1809 – 1813).Ученик "короля математиков" К. Гаусса в Геттигенском университете (1813-1814). В 1814 изучал математику у И.Ф. Пфаффа в университете в Галле.С 1816 начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории.В 1818г. стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета.Умер 26.09.1868

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс.В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.

И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в.

   Мебиус занимался проективной геометрией. А именно:

1. Впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования.
2. Установил понятие проективного преобразования, ввёл коррелятивные преобразования.
3. Установил существование односторонних поверхностей (листов Мебиуса), многогранников, для которых не применим «Закон ребер» и которые не имеют объема.
4.  Один из основоположников теории геометрических преобразований, топологии, теории векторов и многомерной геометрии.
5. Создал новую классификацию кривых поверхностей.

 В 1828г. Мёбиус опубликовал мемуары «Барицентрические исчисления», содержавшие новые геометрические  идеи. Ввел барицентрические координаты, бесконечно удаленные элементы, правило знаков в геометрииКроме того: в теории чисел и алгебре известны  обратные формулы Мёбиуса.

2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин “топология” может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной.

За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.

        Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия»-слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по – гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат.слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы Ии Н, тонкие длинные воздушные шарики.

        Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

3.Изготовление листа Мёбиуса.

   Как в 1858г. в возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты?

Есть три версии:

1.Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.

  Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрение своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Как получить лист Мебиуса?

В литературе

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника!

6.Опыты.

Возьмите несколько листов бумаги поплотней (удобно воспользоваться обложками старых журналов большого размера), клей, ножницы и проделайте несколько практических упражнений с листом Мебиуса и другими моделями, изготовленными из прямоугольных полосок бумаги.

Опыт 1. Что получится, если обыкновенное ( не перекрученное) бумажное колечко мы разрежем вдоль его средней линии? очевидно – два колечка, причем длина окружности будет такой же как длина окружности первоначально взятого колечка.

А  вот, если лист Мебиуса мы так же разрежем вдоль его средней линии, то образуется…

Проделайте и посмотрите, что получится.

Опыт 2. Приготовьте второй лист Мебиуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому ( линия разреза обойдет лист Мебиуса дважды). Вот теперь образуются 2 кольца, но они окажутся сцепленными. Проделайте!

 Тот же результат получится, если вновь взять бумажную полоску, один ее конец перекрутить на полный оборот ( на 360 градусов), приклеить к другому концу и разрезать получившуюся модель по средней линии.

Опыт3.Надрежьте концы бумажной полоски, как показано на рисунке

Склейте концы А и D. Пропустите конец С над В и под А, а конец Fнад D и под Е, после чего склейте концы С и F. Все склеивания концов производите прямо, то есть без предварительного перекручивания.

Теперь каждый начатый разрез продолжайте вдоль всей модели. Получится интересное  переплетение трех колец: любые два будут сцеплены друг с другом и оба с третьим кольцом.

Если вы ошибетесь и конец С приклеите к концуF, не пропустив С между В и А, то после указанного разрезывания получится обычная цепь из трех колец.

Предложил EllisStangonв 1930 году.

Опыт 4.Еще раз приготовьте бумажную полоску с надрезами (см. опыт 3). Поверните конец Е направо ( от себя) и склейте с концом С. Поверните конец F направо ( от себя) и приклейте к концу В.Пропустите конец А под В и склейте его с концом D без перекручивания. Теперь продолжайте один и второй разрезы вдоль всей модели – получится не 3 сцепленные кольца, а только 2: одно маленькое  и одно большое.

Опыт 5.Любытно решение более сложной задачи: подготовить из бумажной полоски такую модель, из которой можно было бы получить переплетение ( в частности, обычную цепь) n колец при помощи одного сквозного разрезания. ( MaxeyBrookeandJosephMadachy).

Секрет решения заключен в предварительном сгибании полоски по её длине ещё до разрезания и в способе склеивания надрезанных концов согнутой полоски.

  Начните с полоски, перегнутой по длине один раз ( см рисунок).Перекрутите её на полный оборот  ( 360 градусов) и склейте концы, накладывая « домиком» один конец на другой. Теперь разрежьте двойной слой склеенной ленты по её средней линии – получатся три кольца, сцепленные попарно.

Опытов с разрезанием листа Мёбиусаможно множество. По результатам опытов можно сделать выводы:

1.При разрезании  ленты Мёбиуса на четное число полосок получаются только большие сцепленные кольца, которых в два раза меньше, чем количество полосок.

2. При разрезании ленты Мёбиуса на нечетное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцепленных с маленьким, которых тоже в два раза меньше разности между количеством разрезов и маленьких колец.

Заключение.

В начале своей работы я ставила цель – изучить историю появления листа Мёбиуса и его особенности.

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой склеенной маршрут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны.

Поверхность возвращенья в ту же точку

Из пункта «А» в пункт «А».

Литература.

1.Кордемский Б.А. Математическиезавлекалки.М.,Оникс, 2005

2.Журнал  Квант  № 6, 1978г. А. Таллер . Сюрпризы  листа Мёбиуса.

3.Василий Грозин.  Об антиинтуитивности.

4.Коробенок Е.В., Столяр А.А. Сколько сторон у поверхности? Минск:      Народная асвета, 1995г.

5.Детская энциклопедия.М.1964г.

5.http://www.stihi.ru/

6.http://images.yandex.ru/

Перекрутите на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мебиуса».

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808— 1882), профессор Геттингенского университета .Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,— в 1862 году.  А называется лента именем МёбиусаЧто же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно:Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паук, а на внутреннюю

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.

  Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрение своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Как получить лист Мебиуса?

Перекрутите на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мебиуса».

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808— 1882), профессор Геттингенского университета .Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,— в 1862 году.  А называется лента именем МёбиусаЧто же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно:Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паук, а на внутреннюю

сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

4.Топологические свойства листа Мёбиуса.

По результатам опытов были сформулированы следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.
2. Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена

с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

С топологической точки зрения круг  неотличим от квадрата,

         потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушаянепрерывность.

1. Связность – чтобы располовинить  кольцо, потребуется  два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.
2. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.
3. «Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая  из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.  

 Лист Мёбиуса называют ещё лентой Мебиуса. Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

5.Применение  листа Мёбиуса в науке, технике, живописи, архитектуре, в цирковом искусстве.

Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных, показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Ювелирные украшения форме листа Мёбиуса

В скульптуре

Франкфурт на Майне

 Рига

Предметы быта в виде ленты Мёбиуса