Откуда появилась обыкновенная дробь?

Научно-практическая конференция  «Шаг в науку»

учащихся 5-11 классов

Проект: « Откуда появилась обыкновенная дробь? »

Автор проекта (работы):

Чернов   Александр

Общеобразовательное учреждение: МОУ «Лицей № 1»

Класс: 5 «Б»

Руководитель проекта (работы): Давыденко Наталья Борисовна

г. Подольск

2012 год

Содержание

Введение………………………………………………………………………..3

I Глава. История возникновения обыкновенной дроби…………………3

1.1. Древний Египет……………………………………………………………4

1.2. Древний Вавилон………………………………………………………….4

1.3. Древний Рим……………………………………………………………….4

1.4. Древняя Греция…………………………………………………………….5

1.5. Древняя Русь……………………………………………………………….5

1.6. Европа………………………………………………………………………5

II Глава. Старинные задачи с применением обыкновенных                дробей…………………………………………………………………………...6

Заключение…………………………………………………………………...10

Литература……………………………………………………………………10

ВВЕДЕНИЕ

        В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с такими понятиями, как половина, треть, четверть. А это ведь тоже дроби. С самого детства мы слышим такие выражения: "весит четверть килограмма", "одна вторая листа" или "три четверти часа". Во всех этих случаях мы говорим о дробях: одна четверть, две четверти, три четверти, одна вторая и треть - все это дроби. Люди разных профессий используют дроби в процессе работы,  даже не задумываясь об этом. Например, врач, назначая количество лекарства больному, повар, отмеряя необходимые ингредиенты, продавец, водопроводчик, слесарь и даже музыкант. Да и мы пользуемся дробями с самого детства,  не подозревая об этом ("Мама, дай мне половинку яблока", "Давай разделим шоколадку поровну",  "Я еще четверть часика поиграю в компьютер").

        Как же возникла необходимость в обыкновенных дробях?  Откуда они взялись, как, когда, где и кто начал изучать дроби? Как записывали и использовали дроби в разные времена и в разных странах? В школьных учебниках нет информации на данную тему. А зачем изучать действия с дробями, если мы, не знаем, нужны ли они нам?

I Глава. История возникновения обыкновенной дроби

Давайте проследим историю возникновения обыкновенной дроби. Дроби появились в глубокой древности, когда древний человек решил разделить добычу с себе подобным. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди столкнулись с необходимостью делить что-то на равные части, т.е. наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.  Так русское слово дробь, как и его аналоги в других языках, происходят от латинского слова  fractura, которое, в свою очередь, является переводом арабского с тем же значением: ломать, раздроблять. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. В древности у разных народов использовались разные дроби и разные записи дробей. В своей работе я приведу несколько примеров использования дробей в древнем мире.

Начнем с Древнего Египта. Уже древние египтяне знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа -  - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу. А все дроби они старались записать как суммы долей, то есть дробей вида . Например, вместо  они писали   .  Дроби такого вида называются аликвотные или единичные. Для обозначения математических дробей на письме древние египтяне использовали символ разрубленного Ока.

Теперь перенесемся в Древний Вавилон. В отличие от Египта там предпочитали постоянный знаменатель. Знаменателями таких дробей служили числа 60, 602, 603 ..., то есть их обозначали, например, таким образом: 4; 52; 03. Это означало . Вместо слов «шестидесятые доли», «три тысячи шестисотые доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли слова минута (по латыни – меньшая) и секунда (от латыни – вторая). Вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение и до сих пор.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью  -  весом. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит это странное слово от римского названия асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстанс - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть асса, и т. д.

Теперь отправимся в Древнюю Грецию. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать», - писал основатель афинской Академии Платон. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский. А так же впервые запись обыкновенных дробей с привычным числителем и знаменателем появилась у древних греков. Но они переворачивали дроби, записывая числитель снизу, а знаменатель сверху. Более точная копия современного обозначения обыкновенной дроби впервые появилась у индусов примерно 1500 лет назад. Однако и у них были расхождения. Они не разделяли числитель и знаменатель чертой. Черта появилась только в XVI в. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

А что же было в Древней Руси? Там дроби называли долями или ломаными числами. На Руси применялись «треть» и «половина». Другие дроби получали из них с помощью деления пополам. Например, вместо того, чтобы сказать «одна двенадцатая», говорили «пол-пол-трети». На Руси долгое время применяли следующие названия для дробных чисел:

Половина, полтина   ;  Четь          ;  Полчеть ,осьмушка  ;  Треть    

Полтреть          ;  Полполтреть   ;  Десятина  

А вот в Европе после V в. н .э. развитие математики почти остановилось. Центр математической активности перенесся в арабские страны. Творения многих греческих ученых, в том числе и Архимеда, были переведены арабами почти полностью. Большой вклад в математическую науку внесли ученые из Средней Азии (таджики, узбеки), писавшие на арабском языке. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь». Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Названия "числитель" и "знаменатель" ввел в XIII веке Максим Плануд - греческий монах, ученый-математик.

II Глава. Старинные задачи

с применением обыкновенных дробей

На дроби существует много старинных задач. Вот некоторые из них:  В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи:

Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?

Ученик. Одна треть.

Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Решение:    

  Ответ:     .

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.). "Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10".

Решение: 

1.  - отняли от числа за два раза.
2.  - составляют число десять.
3.  - искомое число.

Ответ: 24.

Еще одна задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850г. до н.э.).

"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:- Сколько приводишь ты своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

Решение:

1) 70:2·3=105 голов - это 2/3 от скота.

2) 105·3=315 голов скота.

Ответ: 315 голов скота.  

 Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н.э.). Есть кадамба цветок, На один лепесток  Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась .Разность их ты найди,   Ее трижды сложи  И тех пчел на кутай посади Только две не нашли Себе место нигде ,Все летали то взад, то вперед и везде  Ароматом цветов наслаждались. Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

1.  - разность
2.  - пчел, которых посадили на кутай
3.  - пчел на трех цветках
4.  - составляют 2 пчелки
5.  - пчел всего.

Ответ: всего 30 пчел.

Задача армянского ученого Анания Ширакаци (VII век н.э.). "Один купец прошел через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину, и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?"

Решение:

1.  - оставшегося имущества взыскали в третьем городе.
2.  - составляют 11 денежков.
3.  - денежков было у купца в третьем городе.

А по аналогии с предыдущим решением 66 денежков составляют   часть оставшихся денежков во втором городе, т.е.

4.  - денежков было у купца во втором городе.

А 396 денежков – это    часть оставшихся денежков в первом городе, т.е.

5.  - денежков было у купца в начале.

Ответ: У купца было 2376 денежков.

 Задача о статуе Минервы.

"Я изваяна из золота. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принёс половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фимисона. А девять – всё завершивших талантов – Обет, Аристоником данный. Сколько же злато поэты все вместе в дар принесли?"

Решение:

Пусть поэтами в дар принесены Х талантов, тогда составим уравнение:

;  ; ;  ;    ;   х=40

Ответ: 40 талантов золота.

Задача об источниках Герона Александрийского (I в. до н.э.).

"Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня, четвертый – за 4 дня. За сколько времени заполнят бассейн четыре источника вместе?" Решение: ()-скорость заполнения источниками.

 (дня) - время наполнения бассейна всеми источниками вместе.

 Ответ:   дня.

Задача о Музах. Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало, – Эрот отвечает – Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, Клио пятую часть взяла, Талия – долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю». Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?

Решение:

Пусть Х - яблок было у Эрота вначале, тогда оставим уравнение

 ;     ;     

 ;    х=3360

Ответ: 3360 яблок было у Эрота.

Задача о школе Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины". Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:

Пусть Х -  количество учеников у Пифагора, тогда составим уравнение

 ;     ;     ;    ;  ;      

Ответ: 28 учеников было у Пифагора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в своей работе я показал, что дроби появились очень давно и на протяжения всего времени существования человека, он использовал, на ряду с целыми числами, и дроби.

        Я узнал, что: дроби появились в Древнем Египте для более точного счёта; слово дробь произошло от слова "дробить", "ломать", "разбивать на части"; дробная черта появилась всего 300 лет назад; в каждой культуре были и есть интересные задачи с дробями; дроби были важны для решения практических задач. И раз древние египтяне, вавилоняне, римляне и др. могли использовать дроби и проводить вычисления с использованием дробей, то и современный человек, даже имея современную вычислительную технику, обязан уметь пользоваться дробями.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. Из истории дробей. /Квант, №5, 1987 – 54с  (http://kvant.mccme.ru)
2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – М.: Просвещение, 2007 – 145с.
3. Интернет энциклопедия Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki) статья "Дробь".
4. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 4-е, стереотипное. М.: МЦНМО, 2008 – 318с.
5. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – 9-е изд., стер. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1991 – 78с.
6. Курт Смит. Задачки на математическую логику / Курт Смит; пер. с англ. Д.А.Курбатова. – М.: АСТ: Астрель, 2008 – 115с.
7. Фридман Л.М. Изучаем математику. – М.: Просвещение, 2001 – 318с.