Производная в физике

Слайд 1

Производная в физике «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский Работу выполнили Ученики 10 класса «А» Средней школы № 901 Моряшова Виктория, Мурашкина Елена, Пысин Максим Руководитель: Онучина Ирина Алексеевна

Слайд 2

Содержание Цели и задачи; Введение; История производной; Определение производной; Алгоритм отыскания производной; Физический смысл производной; Таблица элементарных производных; Физические задачи на нахождение производной; Вывод.

Слайд 3

Цели и задачи В своей работе мы поставили перед собой цель определить, зачем нужна производная. Подробнее мы остановимся на вопросе: зачем она нужна в физике ?

Слайд 4

Введение Недавно на уроке алгебры мы изучили понятие производной. Но большинство из нас не понимает, как это понятие используется в различных областях науки. Поэтому мы постараемся вам это разъяснить. В частности, мы ответим на вопрос: как применяется производная в физике.

Слайд 5

История производной Понятие производной было открыто Лейбницом и Ньютоном в конце 17 столетия на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии; 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И.Ньютон Г.В.Лейбниц

Слайд 6

Производная Производная – это функция, определяемая для каждого х как предел отношения (если он существует). Функцию, имеющую предел, называют дифференцируемой. Производная характеризует скорость изменения функции. Производной функции f ( x ) в точке х = х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Слайд 7

Алгоритм отыскания производной Зафиксировать значение Х , найти f(x) . Дать аргументу Х приращение ∆ х, перейти в новую точку х+ ∆ х , найти f(x+∆x) . Найти приращение функции: ∆ у = f(x+∆x) – f(x). Составить отношение Вычислить предел lim Этот предел и есть f’(x) , т.е. производная функции . ∆ у ∆ х ∆ x→0 ∆ у ∆ х

Слайд 8

Физический смысл производной - это скорость изменения величины или процесса. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x ( t ) , то мгновенная скорость точки: v(t) = x’(t)

Слайд 9

Физический смысл производной Скорость - это расстояние делить на время, т.е. скорость - это расстояние, пройденное за единицу времени, значит скорость - первая производная от расстояния . Ускорение - это скорость делить на время, т.е. ускорение - это скорость в единицу времени, значит ускорение - первая производная от скорости . В этом заключается физический смысл производной .

Слайд 10

Вывод: первая производная функции - это отношение изменения функции к изменению ее аргумента. Правильно это изменение называть приращением, хотя по сути это одно и тоже. Физический смысл производной

Слайд 11

Физический смысл производной Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров. Скорость : V ( t ) = S / ( t ) – первая производная от перемещения по времени; Ускорение : a ( t ) = V / ( t ) – первая производная от скорости по времени (вторая - от перемещения по времени); Сила тока : I ( t ) = q / ( t ) – первая производная от заряда по времени; Мощность : N ( t ) = A / ( t ) – первая производная от работы по времени;

Слайд 12

Таблица элементарных производных

Слайд 13

ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Слайд 14

Закон движения точки по прямой задается формулой S1 ( t ) = 3,5t 2 – 5t + 10 , где t время(в секундах), S( t ) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени. ЗАДАЧА №1

Слайд 15

3.5(t + ∆t) 2 – 5(t + ∆t ) + 10 – 3.5t 2 + 5t + 10 3.5t 2 + 7t∆ t + 3.5∆t 2 – 5t - 5∆t + 10 – 3.5t 2 + 5t - 10 Lim Lim = = ∆t ∆t Lim 7t ∆t + 3.5∆t 2 - 5∆t = ∆t = Lim ∆t ∆t (7t + 3.5 ∆t – 5) = Lim 7t + 3.5 ∆t – 5 = 7t – 5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №1 Ответ: 7t - 5

Слайд 16

Закон движения точки по прямой задается формулой S( t ) = 1,5t 2 +3t –6 , где t время(в секундах), S( t ) - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени. ЗАДАЧА №2

Слайд 17

1 .5(t + ∆t) 2 – 3(t + ∆t ) - 6 – 1.5t 2 + 3t + 6 1.5t 2 + 3t∆ t + 1.5∆t 2 – 3 t - 3∆t - 6 – 1.5t 2 + 3t + 6 Lim Lim = = ∆t ∆t Lim 3 t ∆t + 1.5 ∆t 2 - 3∆ t ∆t = Lim ∆t ∆t (3t + 1 .5 ∆t – 3) = Lim 3t + 1 .5 ∆t – 3 = 3t – 3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №2 Ответ: 3t - 3

Слайд 18

Уравнение движения материальной точки вдоль оси x имеет вид x=A+Bt+Ct3 , где А=2 м, В=1 м/с, С=-0,5 м/с3. Найти координату x . ЗАДАЧА №3

Слайд 19

Подсказка к задаче №3

Слайд 20

2 + t + ∆ t + ( 0.5t 3 + 1.5t 3 ∆t + 1.5t ∆t 3 + 0.5 ∆t 3 ) – 2 – t - ∆ t - 0.5t 3 2 + 1(t + ∆ t) + 0.5(t + ∆ t) 3 – 2 - t - ∆t - 0.5t 3 Lim Lim = = ∆t ∆t Lim ∆t = Lim Lim 0.5t 3 + 1.5t ∆t 2 – 0.5∆t 2 0.5t 3 + 1.5t 3 ∆t + 1.5t∆t 3 = ∆t ∆t (0.5t 3 + 1.5t ∆t 2 – 0.5∆t 2 ) = 0.5t 3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №3 Ответ: 0 ,5 t 3

Слайд 22

Вывод Как мы видим, производная встречается не только в алгебре и геометрии, но и в такой науке, как физика. Она нужна для нахождения предельного значения процесса, происходящего при том или ином физическом явлении.