Математические фокусы
материал в виде презентации был использован на международном конкурсе "Математика и проектирование"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 3_kosheleva_ea.ppt-rabota_koshelevoy_e.a._v_nominacii_matematika_i_iskusstvo.pptx | 2.31 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего харак-тера: задумайте число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите за-думанное число и т. д. всего пяток, а то и десяток каких – либо действий. За-тем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив от-вет, мгновенно сообщает задуманное вами число. Удивительной для непосвященных кажется, способность человека отга- дывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математичес- ких фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложен-ные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел. В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны че- ловеку сообразительность, находчивость, догадка, умение рассуждать.
Цель работы: Целью данной работы является исследование математических фокусов и способствовать развитию интереса к математике, развитию внимания, наблюдательности; воспитывать настойчивость, потребность со- вершенствовать свои знания и умения. Задачи: Для достижения данной цели необходимо решить следующие поставлен-ные задачи: Изучить методическую, научно-популярную и тематическую литературу Используя литературу выбрать и обобщить наиболее интересные, увле - кательные математические фокусы Провести опытную работу с использованием выбранных математичес - ких фокусов Обосновать результаты исследования. Объект исследования: Объектом исследования являются математические фокусы, основанные на свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях.
Методы исследования Изучение, анализ, а в следствии практическое применение методической и тематической литературы. Актуальность проблемы Год назад проведя опрос среди студентов 1 - 2 курсов под руководством учителя автором было выявлено следующее: 82% обучающихся считают мате-матика скучная наука и фокусы никак несвязанными с математикой, 13% оп-рошенных заявили что математика имеет связь с фокусами, но не является основой данного направления, а оставшиеся 5% обучающихся считают, что математика интересная наука и связана с фокусами. Исходя из всего вышесказанного автор пришел к выводу, что большая часть обучающихся просто не хочет замечать связи математики и фокусов или не считает ее значимой в повседневной жизни. Одни считают математи - ку и её законы скучными, неспособными заинтересовать обучающих, другие считают, что математика имеет мало практического применения и не нужной в получаемой профессии, третьи вообще не имеют желания связывать свою жизнь с математикой и не зачем изучать. Однако, без математики не обойтись ни в одном деле, она окружает нас везде. Мы сами порой пользуемся плодами технического прогресса, но не желаем признавать, что всем этим мы обязаны математике.
Гипотеза Таким образом вероятно предположить, что тот методический материал на котором основано изучение математики, скучен и неинтересен обучаю- щим , в следствии чего возникает зачастую негативное отношение к математике. Можно предположить, что привлечь внимание обучающих к математическим фокусам и тем самым заинтересовать к предмету математика. Новизна проекта Новизна данного проекта заключается в следующем: математические фокусы редко рассматриваются и применяются в обучении математики. Данный проект призван привлечь внимание обучающихся к изучению математики. Практическая значимость Практическая значимость этого исследования заключается в следующем: в результате привлечения внимания обучающих к математике должна повы - сится их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно по-высить успеваемость студентов.
Содержание 1) Введение 2) Цели и задачи 3) Методы исследования и актуальность проблемы 4) Гипотеза и практическая значимость 5) Магические таблицы для угадывания чисел 6) Фокусы с настенным календарем 7) Фокусы с прикосновениями 8) Фокусы на нахождение числа 9) Фокусы с мелкими предметами (домино и игральные кости) 10) Фокус с предопределенным выбором 11) Фокусы с уравнениями 12) Заключение 13) Список литературы
Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная , с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени. Одна глава книги была назва-на автором “Об утешных неких действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магниц - кий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам. Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на свойствах чисел, действий, математических законах. Математических фокусов достаточно много, их можно найти в отдельных книгах для внеклассной работы по математике, можно придумать самостоятель-но .
Основной темой арифметических фокусов являутся угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фо-кусов в том, что "отгадчик" знает и умеет использовать особые свой- ства чисел, а задумающий этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большенстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитрозамаскированы . Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере, но для обоснования большинства арефметических фокусов удоб - нее всего прибегнуть к алгебре. На первых порах вы можите опус- тить " даказательства " фокусов и ограничиться лишь усвоением их содержания для показа своим друзьям.
Магические таблицы для угадывания чисел
Волшебная таблица В этой таблице написаны известным образом все числа от 1 до 31. Таб - лица эта отличается следующим «волшебным свойством» Задумайте, какое угодно число, не больше 31, и укажите, в каких столб-цах этой таблицы находится задуманное вами число, и я тотчас же «угадаю» это число. Для отгадывания нам нужно хорошо знать степени числа 2. 2 0 =1, 2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =16 Первому столбцу соответствует 2 4 =16, второму 2 3 =8, третьему 2 2 =4, четвертому 2 1 =2 и пятому 2 0 =1. Всего лишь на всего нужно в уме сложить чис-ла , соответствующие названным столбцам. Секрет основан на кодировании чисел в двоичной системе счисления. Каждое из чисел от 1 до 31 переведено в двоичную запись и расставлено в таблице в соответствии с этим кодом. Например, в какие столбцы нужно записать число 2? Для этого переведем число 27 в двоичную систему. Значит 27 надо записать в 1, 2, 4 и 5 столбцах .
Магическая таблица для угадывания чисел 1 2 3 4 5 6 16 8 4 2 1 16 17 9 5 3 3 17 18 10 6 6 5 18 19 11 7 7 7 19 20 12 12 10 9 20 21 13 13 11 11 21 22 14 14 14 13 22 23 15 15 15 15 23 24 24 20 18 17 24 25 25 21 19 19 25 26 26 22 22 21 26 27 27 23 23 23 27 28 28 28 26 25 28 29 29 29 27 27 29 30 30 30 30 29 30
«Волшебный веер» С его помощью тоже можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Фокусник просит указать, на каких лепестках веера написано задуманное число.
Угадывание чисел на шестиугольнике Этот фокус тоже относится к разделу угадывания чисел по таблице в данном случае в шестиугольнике. Для этого необходимо задумать любое число, стоящее в лучах пятиконечной звезды и сказать в каком луче оно находится. Затем на другом шестиугольнике с окружностями сказать, в каком ряду находится задуманное число. По этим данным можно безошибочно сказать, какое число вы задумали.
Секрет заключается в следующем. Все числа, которые на одном рисунке расположены в первом луче звезды, на другом расположены на первой окружности от центра. Соответственно числа второго луча - на второй окружности от центра и т. д. Следовательно, цифра, названная вам первой, указывает номер окружности от центра, а вторая цифра – номер ряда на первом рисунке. Это позволяет сразу же назвать задуманное число. Например, задумали число и сказали, что оно находится на шестом луче. Это же число на другом рисунке оказалось в четвертом ряду. Значит, вам нужно назвать число из четвертого ряда, стоящее на шестой окружности от центра – это число 6.
Фокусы с настенным календарем
Фокус – предсказания Предупредив зрителей, что вы обладаете даром прорицания и умеете проводить в уме быстрое сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чи - сел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель мо-жет обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в од- ном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом.
ПН 7 14 21 28 ВТ 1 8 15 22 29 СР Х Х 16 Х 30 ЧТ 3 Х Х Х 31 ПТ Х Х Х 25 СБ Х 12 Х Х В финале эффектно предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма. Чтобы это сделать, нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму. Сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равно сумме чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии с разностью 8 и равна, в силу известной формулы, удвоенной суммы первого и последнего членов. Например, рисунок приведенный выше. После вычеркивания и обведения трех чисел осталось число 12. Найдем сумму: 3+18+23+12=56. Также, если мы (5+23)*2=56
Фокус с нахождением суммы. В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого снова просите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь и через мгновение, необходимое для умножения суммы двух чисел, стоящих на противополож - ных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на восемь . ПН 7 14 21 28 ВТ 1 8 15 22 29 СР 2 9 16 23 30 ЧТ 3 10 17 24 31 ПТ 4 11 18 25 СБ 5 12 19 26
Вычисления вслепую. Каждый следующий номер должен быть менее трудоемок для зрителей, чтобы не переутомить их и, вместе с тем, более эффектен. На этот раз вооб-ще не смотрим на календарь и стоим, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по нашему распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какой– нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Мы же просим самую малость : назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. Объяснение наших действий. Нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9. Если – m наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид m m+7 m+14 m+1 m+8 m+15 m+2 m+9 m+16
И сумма всех чисел квадрата равна 9 m +72=9( m +8). ПН 7 14 21 28 ВТ 1 8 15 22 29 СР 2 9 16 23 30 ЧТ 3 10 17 24 31 ПТ 4 11 18 25 СБ 5 12 19 26 ВС 6 13 20 27 Вычисления для данного примера: (8+8)·9=144 и гораздо длиннее 8+15+22+9+16+23+10+17+24=144
Фокусы с прикосновениями
Волшебная карта цветов. Зритель задумывает цветок, и фокусник начинает перебирать каранда-шом цветы. При каждом прикосновении зритель называет про себя одну букву из названия выбранного цветка и произносит вслух: «стоп» когда его слово будет исчерпано. Указка и будет остановлена около задуманного цветка. Первое прикосновение делается около фиалки, далее обходятся цветы против часовой стрелки через один .
Задумайте животное. Зритель задумывает какое-нибудь животное и произносит про себя наз-вание его по буквам, в то время как показывающий дотрагивается до рисунка. . Начав с жеребенка, он переходит затем вверх по линии к гиппопотаму и так продолжает обход всех животных, двигаясь в направлениях, указываемых линиями, пока зритель не дойдет до последней буквы своего слова и не скажет «стоп».
Фокусы на нахождение задуманного числа
Число-загадка. Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, кото-рое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрите-лю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от де-ления этой разности на 9. Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5). Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100 a +10 b +с, тогда число с пере- ставленными цифрами будет равно 100 c +10 b + a . Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем: 100a+10b+ с -(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)
Фокус с запиской. Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запеча-тайте его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся чис-ло прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число. Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзнач - ным числом, обозначим ее 100 k +10 l + m . Имеем: 100 k +10 l + m =99 k +(10 l + m + k ). Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10 l + m + k =99, откуда вытекает, что l =9, m + k =9. Число с пере- ставленными крайними цифрами имеет вид 100 k +10 l + k , и сумма равняется: 100 k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089 .
Фокусы с мелкими предметами (игральной костью и домино)
Фокус с домино. Фокусник предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. . Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино. Действительно, если a и b – числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим над ними следующие действия. 2а; 2а+7; 10а+35; 10а+35+ b. Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+ b , цифрами которого будут а и b , т.е. число очков на косточке домино. Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через m , тогда от окончательного результата надо будет отнять уже не 35, а 5 m . Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных чисел.
Фокусы с игральными костями. Атрибутом нескольких числовых фокусов служат игральные кости. Для демонстрации можно изготовить их в увеличенном масштабе, чтобы за про- цессом могли наблюдать зрители. Игральная кость имеет форму кубика, на гранях которого нанесены точки, количество которых соответствует числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем соблюдается «принцип семерки»: числа на противопо-ложных гранях в сумме дают семь (1-6 2-5 3-4). Ориентация первых трех чи-сел , остальные по «принципу семерки». Такая игральная кость соответствует существующему стандарту.
Угадывание суммы выпавших очков. Фокусник поворачивается спиной к зрителям и просит одного из зрите- лей бросить на стол три игральные кости. Затем предлагаете сложить три выпавших числа, взять любую из трех костей и прибавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число, опять прибавить к сумме. Поворачиваясь к зрителям, фо - кусник акцентирует их внимание на том, что ему не может быть известно, какую из трех костей бросали заново, и какое число стояло у нее на нижней грани перед этим. Затем фокусник собирает кости, встряхивает их в руке, подносит к уху, и тут же правильно называет конечную сумму. . Объяснение фокуса. Прежде чем собрать кости, нужно быстро сло - жить числа на верхних гранях и добавив к сумме семерку, получите конеч - ную сумму.
Отгадывание выпавшего числа очков на 2 костях. Фокусник не глядя на стол, на котором лежат игральные кости, просит зрителя бросить две игральных кости и запомнить выпавшие числа. Затем зрителю предлагается: - Выбрать одно из этих двух чисел и умножить его на 5; - К произведению прибавить 7; - Затем удвоить полученную сумму; - И, наконец, прибавить к ответу второе число. Узнав полученное таким образом число, вы сообщаете, какие числа вы- пали на каждой из двух костей. Для этого, мысленно вычитаете из названного числа 14 и получаете двузначное число, две цифры которого равны двум исходным числам. В самом деле, допустим, выпали числа а и b . Нам важно, что каждое из них меньше 10. В результате проделанных операций получаем: 5а, 5а+7, 10а+14, 10а+ b +14. Таким образом, если из окончательного ответа вычесть 14, то оста- нется двузначное число, цифры в котором соответствуют исходным чис - лам.
Отгадывание выпавшего числа очков на 3 костях. На этот раз вызовите зрителя посмышленнее , так как вычислений при- дется сделать больше. Зритель бросает три кости, фокусник демонстративно на стол не смотрит. Затем просите зрителя: - число, выпавшее на одной из костей, умножить на два; - к полученному произведению прибавить пять; - и результат снова умножить на пять; - число, выпавшее на второй кости прибавить к предыдущей сумме и ре-зультат умножить на десять; - наконец, к последнему числу прибавить значение, выпавшее на тре - тьей кости. Зритель сообщает полученный результат, и вы немедленно можете наз - вать три выпавших числа. Объяснение фокуса. От названного результата вычислений нужно от-нять 250. Три цифры полученной разности и будут искомыми числами, вы- павшими на костях. Математические вычисления следуют тем же, что и в предыдущем фокусе.
Фокус с монетами. У вашего приятеля в одной руке зажат гривенник, а в другой — копейка (или в одной руке монета десять рублей, а в другой — один рубль). Несколь-ко волшебных действий по рецептам числовой магии — и вы способны определить, в какой руке какая из монет находится! Попросите приятеля взять в одну руку гривенник, а в другую — копейку. Предложите ему умножить стоимость монеты в левой руке на 2, 4, б или 8, затем умножить стоимость монеты в правой руке на 3, 5, 7 или 9 и сложить по-лучившиеся при этом числа. Выслушайте результат сложения Если это чис-ло получится нечетным, то копейка — в правой руке. Если полученное число — четное, то копейка — в левой руке. Примеры Левая Правая Левая Правая рука рука рука рука 49к. – нечетное 78к. – четное Значит, копейка – Значит, копейка – в ПРАВОЙ руке. В ЛЕВОЙ руке.
Фокус с предопределенным выбором
Математический фокус Дэвида Копперфильда . Фокусы знаменитого иллюзиониста Дэвида Копперфильда восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособле - ний . Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее, ему удалось найти эффективную подачу одного такого фокуса. Фокусник не только приглашает всех зрителей поучаствовать в нем, но делает активным участником представле - ния каждого телезрителя. Происходит это следующим образом: фокусник размещает на экране 15 предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке-12, а в хвостике-3. У Копперфильда кружки заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и кружками (в колечке), изображающим среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву башню, Египетские пирамиды, Статую Свободы и т. д.
Зрителям предлагают задумать любое число больше 3 (предположим 7) и от-считать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки(рис. 1). Затем фокусник просит зрителей, снова подсчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на кото - ром они остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка (рис. 2). Предмет, на котором при счете падает задуманное число, на ри-сунке затемнен. В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Коппер-фильд идет дальше. Он уверенно снимает с экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель на них остановиться, не мог (рис. 3). Затем снова предлагает отсчитать в любом направлении еще 4 предмета, начиная с соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем шаге (рис. 4). Удивительно то, что в результате манипуляций все указывают на один и тот же предмет. Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбо - ром. Он основан на том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрите- лей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, не- смотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей кажущейся сложности объяснения этих фокусов достаточно просты.
Магическая шестёрка Дэвида Копперфильда .
Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки (в данном случае три звездочки) наложить на ко- лечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часо - вой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке (рис. 5). Все остальные манипуляции фо - кусника - лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от фантазий фокусника, он может, на каком- то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановился зритель при пер- воначальном счете, - ответ все равно будет для всех одинаков. Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех) только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть в колечко – основную фигуру для манипуляции. Узнав секрет фокуса, вы можете модернизировать его по собственному усмотрению.
В заключении предлагаем вам некоторую вариацию описанного фокуса – угадывание задуманного числа на циферблате часов. Попытайтесь разга - дать его самостоятельно. Также начнется с того, что зритель задумывает какое-нибудь число от 1 до 12. Фокусник берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов, причем делает это, по-видиму , в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе. Подсказка. В этом фокусе, также как и в предыдущем, применяются принципы по-следовательного счета и предопределение выбора. Чтобы его разгадать, используйте разность чисел 20 и 12, равную 8, и этот факт, что девятое при-косновение фокусника к циферблату должно обязательно попасть на одно из этих чисел.
Фокусы с уравнениями
В книге Я.И. Перельмана в главе «язык алгебры» есть глава «искусство отгадывать числа». Здесь автор раскрывает секрет фокуса, который очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть фокусник предлагает вам выполнить программу действий. Затем он просит вас сообщить оконча - тельный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры. Из первой колонки видно, что если вы задумали х , то после всех коман-д у вас должно получиться 4 х +1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно решает простое уравнение: 4 х + 1= 49; От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12.( х = (49 - 1)/4 = 12). Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. Вам предлагается несколько вариантов этих фоку- сов.
Команды Язык алгебры Задумай число Прибавь 2 Умножь результат на 3 Отними 5 Отними задуманное число Умножь на 2 Отними 1 х х +2 3 х +6 3 х +1 2 х +1 4 х +2 4 х +1 Из первой колонки видно, что если вы задумали х , то после всех команд у вас должно получиться 4 х + 1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно решает простое уравнение: 4 х + 1 = 49; От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12. ( х = (49 - 1)/4 = 12). Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. Вам предлагается несколько вариантов этих фокусов.
Числовой фокус. Задумайте число. Прибавьте 1. Умножьте на 3. Прибавьте снова 1.Прибавьте задуманное число. Скажите, что у вас получилось. Когда вы называете фокуснику конечный результат всех этих выкладок, он отнимает 4, остаток делит на 4 и получает то, что было задумано. Например, вы задумали число 12. Прибавили 1 -получили 13. Умножили на 3 -получи ли 39.Прибавили 1 – у вас 40. Прибавили задуманное число: 40 + 12 = 52. Когда вы называете число 52, он отнимает от него 4, а оставшееся 48 делит на 4. Получает 12 -число, которое было вами задумано. Почему же всегда так получается? Фокусник заранее знает, что после всех выкладок получается уравнение 4 х + 4. Можно предложить вашим приятелям своим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: при-бавлять или вычитать задуманное число. Например, он задумывает число 5 (этого он не сообщает) и, выполняя действия, говорит вам команды, а вы в это время переводите его команды на «язык алгебры».
Он Вы Я задумал число Умножил на 2 Прибавил 5 Прибавил задуманное число Прибавил 1 Умножил на 2 Отнял задуманное число Отнял 3 Отнял задуманное число Умножил на 2 Прибавил 3 Получил 37 х. 2 х 2 х +5 3 х +5 3 х +6 6 х +12 5 х +12 5 х +9 4 х +9 8 х +18 8 х +21
Вы мгновенно называете, что он задумал число 2, так как в конце у вас получилось 8 х + 21. И после того как вам сообщат результат вы решаете уравнение 8 х + 21 = 37; х = (37-21)/8 Но есть один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы получаете х +8, а затем ваш товарищ попросит вычесть задуманное число х + 8 – х = 8. Никакого уравнения не получается и отгадать заду- манное число вы не в состоянии. Что же делать? Поступайте так: как только у вас получится результат, не содержащий неизвестного х , вы прерываете своего товарища и говорите, что ничего не спрашивая, можете сказать, сколько у него получилось. Получилось 8.
Числовые фокусы
Стержнем следующих фокусов является следующий состав числа. Приведу несколько следующих фокусов, которые вызывают интерес у зрителей. Секрет этого фокуса раскрывает магические обряд над датой моего рожде - ния . Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10; потом прибавить четвертое из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т. д. Словом, пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего. Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму, и если задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков остатка дает первое задуманное число, а число простых единиц дает второе задуманное число. Если же задумано три числа, то из сказанной вам суммы вычтите 350, и тогда число сотен даст первое задуманное число, число десятков — второе, число простых единиц — третье.
Если задумано четыре числа, то из сказанной вам суммы вычтите 3500, и тогда число тысяч остатка дает первое задуманное число, число сотен — второе, число десятков — третье, число единиц - четвертое. Ясно, что в слу - чае пяти задуманных чисел нужно из сказанного вам результата вычитать 35 000 и т. д. Пусть, например, задуманы 3,5,8, 2. Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, получаем 11; умножая это число на 5, имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70; умно- женное на 10, оно дает 700; прибавляя сюда третье задуманное число, получаем 708; умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, по- лучаем 7082. Если теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то полу- чится остаток 3582, который и выражает по порядку цифр задуманные числа: 3,5,8,2.
Объяснение предложенного способа угадывания. Пусть задуманные числа а, b , c , d … Над ними производятся следующие действия: для первых двух чисел. (2а + 5) · 5 = 10а + 25 10а + 25 + 10= 10а + 35 10а + 35 + b Для третьего числа: (10а + 35 + b ) · 10 + с = 100а + 350 + 10 b + с Для четвертого числа: (100а + 350 + 10 b + с) · 10 + d = 1000а + 100 b + 10с + 3500 и т.д. Отсюда ясно, что, вычитая из результата 35, 350, 3500, смотря по коли- честву задуманных чисел, мы получаем все задуманные числа в виде цифр остатка, считая слева направо.
«Сколько братьев и сестер…» Вы сможете угадать, сколько братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических дейст - вий на калькуляторе! Пример. Допустим, у вашего приятеля: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2. Предложите приятелю: Набрать на калькуляторе цифру, соответствую- щую количеству братьев– 4 1. Умножить это число на 2. 4 2=8 2. Прибавить к произведению 3 8 + 3=11 3. Умножить полученную сумму на 5. 11 5 = 55 4.Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58 5. Умножить полученную сумму на 10 58 10 = 580 6. Прибавить бабушек и дедушек. 580 + 2 = 582 7. И, наконец, прибавить 125. 582 + 125 = 707
Закончив вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло чудесным образом появится коли- чество братьев, сестер и бабушек с дедушками! Для нашего примера 707 – 275 = братья 432 бабушки и дедушки сестры Исключения: 1. Если после вычитания числа 275 на табло появится двузначное число, значит, у вашего приятеля нет братьев. Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0. 2.Если после вычитания числа 275 на табло явится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер. Пример 2 = 002; Следовательно, число братьев равно нулю и число сестер также равно ну- лю .
Фокус с книгой. Попросите приятеля открыть книгу и загадать какое-либо слово на лю - бой странице. Совершив магические действия, вы без труда найдете это тай-ное слово из тысячи слов этой книги. Предложите приятелю выбрать любую страницу в книге и записать но- мер страницы, не показывая вам. (Стр.47). Пусть он выберет любую из пер- вых девяти строк на этой странице, и запишет номер строки (строка 8). По- просите его в этой строке выбрать любое слово из первых девяти слов, и за- писать его номер от начала строки и само слово. (Слово 3: МАГИЯ). Дайте ему калькулятор, и попросите его выполнить следующие действия: 1. Ввести номер страницы 47 2. Умножить этот номер на 2 47 2 = 94 3. Умножить это произведение на 5 94 5 = 470 4. К результату прибавить 20 470 + 20 = 490 5. Прибавить к этой сумме номер строки (8) 490 + 8 = 498 6. Прибавить 5 к полученной сумме 498 + 5 = 503 7. Умножить полученный результат на 10 503 10 = 5030 8. Прибавить к этому произведению номер слова 5030 + 3 = 5033
Узнайте у приятеля окончательный результат. Стоит лишь вычесть из него 250 и вы назовете номер страницы, номер строки и место загадочного слова от начала строки. 5033 – 250 = 4783. 47 – страница, 8 – строка, 3 – сло-во . Найдите эту страницу в книге, отсчитайте столько строк и слов в этой строке и вы обнаружите загадочное слово МАГИЯ. Исключения: 1. Если друг выбрал страницу с однозначным номером, то последнее число будет состоять из 3 цифр. Пример. 7 3 2 страница строка слово 2. если будет выбрана страница с трехзначным номером, последнее чис - ло будет состоять из пяти цифр. Пример. 163 9 5 страница строка слово Объяснение фокуса. а – номер страницы, b – номер строки, с – номер слова. Действия. 1. а; 2. 2а; 3. 10а; 4 . 10а + 20; 5. 10а + 20 + b ; 6. 10а + 25 + b ; 7. 100а + 250 + 10 b ; 8. 100а + 250 + 10 b + с – 250 = 100а + 10 b + с. Это стандартный вид трехзначного числа.
Фокус с четным числом. Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, за- тем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете заду- манное число. Переведем команды на язык алгебры: 2 n – четное число. После выполнения команд получаем: 2 n · 3 = 6 n ; 6 n : 2 = 3 n ; 3 n · 3 = 9 n ; 9 n : 9 = n ; n . n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умно- жить на 2. Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа.
Можно предложить любое задуманное целое число. Если утроенное задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а по- том разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2 n + 1 , наши действия принимают вид: (2 n · 3) = 6 n + 3 ; Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6 n + 3 + 1 = 6 n + 4. разделив это число на 2 получим: 3 n + 2. (3 n + 2) · 3 = 9 n + 6. частное отделения 9 n + 6 на 9 равно n . (остаток ра - вен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2 n + 1.
Заключение Математические фокусы разнообразны. Во многих математических фо - кусах числа завуалированы предметами, имеющими отношение к числам. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа. Наука и развлечения неотделимы от математики. Она нашла самое раз- ное применение в различных областях науки: Физике, Химии, Биологии, Экономике, в искусстве, так же математика нашла огромное практическое применение в медицине, инженерии, судостроении, информационных технологиях и даже в проектах освоения Солнечной системы. В информацион-ных технологий так же невозможно представить без математики и индуст - рию развлечений: кинотеатры с трехмерным изображением и новые возможности для сети-Интернет , а так же многое другое. Математика плотно связана со всей нашей жизнью. Математика везде окружает нас: на улице, дома, на работе, в гостях.
Литература 1. М.Б. Бланк, Г.Д.Бланк « Математика после уроков» 2. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» 3. М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения» 4. М.Гарднер «Математические досуги» 5. М.Гарднер «А ну-ка догадайся Б.А. 6. Е.И.Игнатьев « В царстве смекалки» 7. Б.А.Кордемский « Математическая смекалка» 8. Б.А.Кордемсий « Удивитеьный мир чисел» 9. Б.А.Кордемсий «Увлечь школьников математикой» 10. Е.М. Минскин «От игры к знаниям» 11. Я.И.Перельман «Арифметические фокусы» 12. Я.И.Перельман «Фокусы и развлечения» 13. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970 14. Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение 1986 15. Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970 16. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь»1994 17. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007 18. 365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005
Осенние листья
Цветение вишни в лунную ночь
Несчастный Андрей
Почему люди кричат, когда ссорятся?
Старинная английская баллада “Greensleeves” («Зеленые рукава»)