Лента Мёбиуса

1. ВВЕДЕНИЕ

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрели применение листа Мебиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мебиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т. д.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Для доказательств были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мебиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Цель: изучить разнообразные свойства ленты Мебиуса, найти, где используются ее свойства.

Задачи:

1. Найти информацию о ленте Мёбиуса.
2. Сделать ленту Мёбиуса и рассмотреть ее свойства.
3. Найти области применения ленты Мёбиуса.
4. Сделать выводы на основании полученной информации.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Немного из истории

Август Фердинанд Мебиус.

Август Фердинанд Мебиус (17.11.1790-26.9.1868),немецкий геометр и астроном, профессор Лейципгского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1861 г. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. Стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета. Известны труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мебиуса), многогранников, для которых непринемим «закон ребер» и которые не имеют объема. Мебиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мебиуса).

2.2.Представление о ленте Мебиуса

Лента Мебиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Поверхность ленты Мебиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказывается вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели, потому как поверхность ленты Мебиуса – односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Что же из этого следует? А следует удивительные превращения ленты. Если разрезать ее вдоль, точно по середине – получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получится два кольца – но! – одно большое и сплетенное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль по середине, то вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое их них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Нетрудно догадаться , о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить?

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезании кольца вдоль по середине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4.. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффективным результатам. Недаром говорят: «Просто, как все гениальное». Видимо, верно и обратное утверждение: «Гениально, как все простое».

И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства.

2.3. Топологические свойства

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.
2. Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
3. Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мебиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен  и т. д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.
4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в свое зеркальное отражение.
5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мебиуса равен шести.

2.4. Форма бумажной полоски для ленты Мёбиуса

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мебиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его четное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мебиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга.

                                               Рис.1             Рис. 2         Рис.3

Предположим теперь, но изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ, ленту Мебиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ.

Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

Здесь мы докажем для λ неравенства

1,57(π/2)≤λ≤1,73( )

(при этом наличием склеиваемых участков полоски мы пренебрегаем: предполагается, что края полоски склеиваются встык) и постараемся объяснить, почему не удается вычислить λ точнее.

2.5. Развертывающая поверхность и ее свойства

Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл. Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или ее кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развертывающиеся. Конечно, в математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развертывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Приведем только некоторые свойства развертывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего исследования. Наше наглядное определение не позволяет их доказать, так что придется рассматривать эти свойства как экспериментальные факты (возьмите лист бумаги и убедитесь в их справедливости).

1. Через каждую точку А развертывающейся поверхности, не лежащую на ее границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, в каждой точке к развертывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности.
2. Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причем А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.
3. Если точка А, не лежавшая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, a, то окрестность точки А устроена так: через точку А проходит единственная не кончающая в ней образующая, допустим b. Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая а, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от  b, сколь угодно близко от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации называть полуплоской.

                                                                          Рис. 4

Подчеркнем, что если точка поверхности не является  ни граничной, ни плоской, то через нее проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причем концы этой образующей лежат на границе поверхности.

2.6. Теоремы

2.6.1 Теорема 1

Теорема: λ ≥ π/2

Доказательство:

Пусть лента Мебиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на нее длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мебиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки. Картина периодична: все повторяется с периодом, равным 2l. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определенным образом, а именно: она переворачивается (т. е. зеркально отображается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырехугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывном семейством образующих. Образующие в одинаковых четырехугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохраняется.

Возьмем любую образующую из нашего семейства, скажем, [АВ]. Если симметрично отразить ее в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на l, то получится отрезок СD, который тоже является образующей из нашего семейства. Заметим, что |АС| и |ВD| = 2l. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мёбиуса образующие [AВ] и [СD] займут одинаковое положение, причем точка а совместится с D, а точка В – с С; другими словами, отрезки АВ и СD составят в пространстве угол 180°. Между [AВ] и [СD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [AВ] к [СD]величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [AВ], непрерывно изменяется от 0° до 180°.

Возьмем любое n и найдем между [AВ] и [СD] такие образующие [A1B1], …, [An-1Bn-1], что величина угла между [AВ] и [AkBk] равна k*180/n (точки A1, …, An-1 в этом порядке лежат между А и С, а точки B1, …, Bn-1 в этом порядке лежат между В и D). Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180/n. Покажем, что каждая из сумм |A1A2| + |B1B2|, …, |An-1C| + |Bn-1D| не меньше длины a2n стороны правильного 2n-угольника вписанного в окружность радиуса 1. Это видно из рисунка 9. На рисунке отрезки AkE и Аk-1Вk-1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, |AkF| = |AkH| = 1 и [FG] || [EBk]. Мы видим, что |AkAk+1| + |BkBk+1| = |EBk+1| + |BkBk+1| ≥ |EBk| ≥ |FG| ≥ |FH| ≥ a2n (здесь |AkAk+1|, |BkBk+1|, |EBk+1| - длины изображенных на рисунке 9 криволинейных отрезков; эти длины совпадают с длинами отрезков |AkAk+1|, |BkBk+1| рисунка 8; предпоследнее неравенство следует из того, что FHG > 90, а последнее – из того, что  FAkH ≥ 180/n).

                                   Рис.7             Рис. 8                                Рис. 9

Итак, 2l = |AC| + |BD| = (|AA1| + |BB1|) + (|A1A2| + |B1B2|) + … + (|An-1C| + |Bn-1D|) ≥ na2n,      т. е. 2l при любом n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2l не меньше половины длины самой этой окружности, то есть π, и l  ≥ π/2. Теорема доказана.

2.6.2 Теорема 2

Теорема: λ ≤  

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы достаточно объяснить, как склеить ленту Мебиуса из полоски, длина которой больше . Предположим сначала, что ее длина  в точности равна . тогда на этой полоске можно распределить два правильных треугольника. Перегнем полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба. Края АВ и СD полоски совместятся, причем точка А совместится с точкой D, а точка В – с точкой С. Получится лента Мебиуса.

                            Рис.10                                       Рис.11        

При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше , то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т. е. когда лист складывается наподобие носового платка – все это известно нам из повседневного опыта).

                              Рис.12                                Рис.13

Как выглядит получившаяся лента Мебиуса, показано на рисунке. Ее устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника АВС, А′В′С′, А″В″С″ лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны АВ и А′В′, В′С′ и В′′С′′, С′′А′′ и СА соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Проблемы.

Почему не удается найти λ точнее?

Пока задача не решена, трудно сказать, почему она не решена. Все же иногда в разных нерешенных задачах удается проследить общие трудности, отметить, так сказать, на математической карте труднопроходимые места, что позволяет подчас предсказать успех или неудачу при решении той или иной задачи.

Мы доказали, что λ есть одна из точек отрезка [ π⁄2;  ]. Какая же? Может быть, на это счет можно высказать хотя бы правдоподобную гипотезу? Мы думаем, что         λ =   , и нас не удивляет, что доказать этого не удается.

Дело вот в чем. Доказательство теоремы 1 оставляет неиспользованным одно важное свойство нашей ленты Мебиуса – отсутствие у нее самопересечений. Самопересекающуюся ленту нельзя сделать из бумаги, но представить себе ее можно: подобно самопересекающейся линии на плоскости она «проходит сквозь себя», причем можно разделить ее на части, каждая из которых самопересечений не имеет.

Допустим, что, говоря о бумажных лентах Мебиуса, мы с самого начала разрешили им иметь самопересечения. Тогда λ приобретает новый смысл – новое значение λ будет меньше прежнего или равно ему. При этом теорема 1 останется верной, и в ее доказательстве не придется менять ни одного слова: отсутствие самопересечений в этом доказательстве нигде не используется. Что же касается теоремы 2, то, если разрешены самопересечения, ее можно значительно улучшить.

2.6.3 Теорема 3

 Теорема: ленту Мебиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2.

Доказательство:

Возьмем достаточно большое нечетное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим далее n, содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника. Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места – по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу, после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим ее к самому правому треугольнику. Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, большим π/2  и стремящимся к π/2 при n → ∞ (ширина полоски стремится к 1, а длина – к π/2). Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведенным на ней линиям, чередуя направления сгиба, то треугольники расположатся, как на рисунке. Отрезки АВ и СD при этом почти совместятся – между ними окажется только несколько слоев сложенной бумаги. При этом «почти совмещении» точка А совместится с D, а точка В – с С, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|AB| c |CD|, то получилась бы лента Мебиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы  это сделали в доказательстве теоремы 2.

Но вернемся к ленте Мебиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удается, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трехмерном пространстве. Напротив, вполне вероятно, что теорема 2 неулучшаема. Ведь улучшить ее – значит придумать новую конструкцию ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, тественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена – за столько лет!

Вот почему можно ожидать, что λ =  

2.7. Эксперименты для всех

Возьмите ленту АВСD и разделим ее по ширине на 3 одинаковые части двумя пунктирными линиями. Склеим, перекрутив один раз, лист Мебиуса. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента не была перекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом разрезали два остальных. Всего три кольца, каждое той же длины, что и первоначальное, но второе меньшей ширины. Но у нас лист Мебиуса. И, оказывается, мы, «не отрывая» ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям сразу и получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе – лист Мебиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Вот еще несколько экспериментов, которые можно провести самостоятельно.

Приготовьте два листа Мёбиуса, перед склейкой разделив ленту на четыре и пять равных полос. Разрежьте по пунктирным линиям. Что получится? Можно ли высказать какое-нибудь утверждение о поведении листа Мёбиуса при отрезании от него полоски?

Что будет, если перед склейкой перекрутить ленту трижды?

Мы привели лишь несколько экспериментов по разрезанию лент, но их остается еще немало.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Для доказательств были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

Лист Мебиуса – один из объектов области математики под названием топология (т. е. «геометрия положения»). Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же.

Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного их этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии, других прикладных наук.

В результате нашей работы мы доказали некоторые свойства ленты Мебиуса более коротким и рациональным путем, чем это было сделано ранее. Они могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

4. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян, Л. С., Гуревич, Г. Б. Геометрия. – Ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
2. Квант: научно-популярный журнал. – 1975, № 7; 1977, № 7.
3. Смирнов, С. Г. Библиотека «Математическое просвещение». – Вып. 27. – М.: МЦНМО, 2003.

V окружная научная конференция учащихся

СЕКЦИЯ «Естественно-технические науки»

 (математика)

Тема: «Лента Мебиуса и ее свойства»

Авторы: Лысова Софья,

Мордвинова Лена,

учащиеся 11 «Б» класса

МОУ СОШ  № 3

г.о. Новокуйбышевск

Самарской области

Научный руководитель:

Светлова Елена Алексеевна,

учитель математики высшей категории

МОУ СОШ №3

г.о. Новокуйбышевск

Самарской области

Новокуйбышевск 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

        2.1. Немного из истории

        2.2. Представление о ленте Мёбиуса

        2.3. Топологические свойства ленты Мёбиуса

        2.4. Форма бумажной полоски для ленты Мёбиуса

        2.5. Развертывающаяся поверхность и ее свойства

        2.6. Теоремы

                2.6.1. Теорема 1

                2.6.2. Теорема 2

                2.6.3. Теорема 3

        2.7. Эксперименты для всех

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

5.   ПРИЛОЖЕНИЯ

Тезисы:

                                                                                                               Мордвинова Елена Витальевна

            Лысова Софья

 Александровна,

ученицы 11 «Б» класса

МОУ СОШ №3

Г. Новокуйбышевска

Самарской области.

«Лента Мебиуса и ее свойства».

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. По нашему мнению, использование ленты Мебиуса относится к разряду таких применений

Цель: изучить разнообразные свойства ленты Мебиуса, найти, где используются ее свойства.

Мы рассмотрели применение листа Мебиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мебиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т. д.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Для доказательств были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

Лист Мебиуса – один из объектов области математики под названием топология (т. е. «геометрия положения»). Удивительные свойства листа Мебиуса – односторонность, непрерывность, связность, ориентированность не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии, других прикладных наук.

В результате нашей работы мы доказали некоторые свойства ленты Мебиуса более коротким и рациональным путем, чем это было сделано ранее. Они могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

Рис.6

Рис. 5