Неразрешимые задачи древности.

Тема исследования: неразрешимые задачи древности.

Цель работы: подробно изучить знаменитые неразрешимые задачи математики.

Объект исследования: задачи об удвоении куба, трисекции угла, о квадратуре круга. 

Предмет исследования: значимость данных задач в математике, взаимосвязь между задачами и появлением новых методов и теорий.

Цель, объект и предмет исследования определили постановку следующих задач:

1. рассмотреть историю возникновения  задач об удвоении куба, трисекции угла, о квадратуре круга
2. познакомиться с различными способами решения задач об удвоении куба, трисекции угла, о квадратуре круга (с использованием нетрадиционных методов и приспособлений);
3. выяснить, почему задачи называется неразрешимыми (с приведением доказательства).

Актуальность: выбранной темы определяется тем, что, данный материал дает представление об элементарной геометрии как одной из составных частей деятельности человека,  тем, чтобы можно было лучше понять роль геометрии, как науки в историческом процессе развития, осознать сущность данной науки, кроме того, сегодняшние спорные вопросы математики могут также привести к резкому скачку в развитии науки.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции.

Евклид в своей книге "Начала" строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает.

Однако древним ученым никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими.

К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности.

Задача о квадратуре круга. 

Задача о трисекции угла.

Задача об удвоении куба.

Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба.

О возникновении задачи удвоения куба сохранилась следующая легенда: "... во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы попросить оракула, что им сделать, чтобы чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нём жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него ещё один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот ответил: "Сердится на вас бог за незнание геометрии".

Задачей удвоения куба пытались решить ученые Древней Греции.

Еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, древнегреческий ученый Менехм примерно в 350 г. до н. э. Свои решения дали также крупнейшие математики Древней Греции Евдокс, Герон Аполлоний и многие другие.

Древние греки сравнительно легко решили задачу на удвоение квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Действительно, если сторона данного квадрата равняется а, а сторона искомого квадрата - х, то согласно условию задачи будем иметь

х2 = 2 а2, откуда х = а .

Следовательно, в качестве х надо взять диагональ данного квадрата, которая по теореме Пифагора как раз и будет равняться.

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки, по-видимому, перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к построению циркулем и линейкой корня кубического из двух. Действительно, если ребро данного куба положить равным а, а ребро искомого куба - х, то согласно условию задачи будем иметь

х3 = 2 а3, откуда х = а .

Однако все старания построить  циркулем и линейкой не увенчались успехом. И трудно сказать, как долго еще продолжались бы эти попытки, если бы, наконец, в первой половине XIX века не было доказано, что при помощи одних только циркуля и линейки  построить нельзя.

Чтобы иметь хотя бы некоторое представление о разрешимости и неразрешимости задач на построение, ограничимся следующим небольшим замечанием. Прежде всего, напомним, что при помощи циркуля и линейки можно сравнительно легко построить выражения:

a + b, a – b, 

где а, b, с суть данные или найденные отрезки.

Современными средствами доказано, что кубическое уравнение с рациональными коэффициентами, не имеющее рациональных корней, не может быть разрешимо - в квадратных радикалах, т. е. ни один из корней этого уравнения не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Выше было показано, что задача об удвоении куба сводится к решению кубического уравнения

х3 – 2а3 = 0,

где а – ребро данного куба, х - искомое ребро удвоенного куба.

Приняв для простоты длину ребра данного куба за 1, получим уравнение х3 – 2 = 0.. Это уравнение с рациональными коэффициентами, как легко убедиться, не может иметь рациональных корней. Следовательно, по предыдущей теореме задача об удвоении куба не может быть решена при помощи циркуля и линейки.

Первым из ученых, кто открыто высказал мнение, что точное построение отрезка, равного , посредством циркуля и линейки неосуществимо, был знаменитый французский ученый Рено Декарт.

Строгое доказательство неразрешимости задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки было дано французским математиком П. Венцелем в 1837 году.

Но, еще Гиппократ Хиосский свел рассмотрение задачи к нахождению таких двух отрезков х и у, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а.

Поскольку а, х, у, 2а - геометрическая прогрессия, то

Откуда х2 =ау и у2 = 2ах. Следовательно, х4 = а2у2 = 2а3х, или х3 = 2а3. Выходит, что х и есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром а в два раза.

Ясно, что при помощи циркуля и линейки «вставки» х и у найти нельзя, так как противное приводило бы к построению циркулем и линейкой х = , что, как указывалось выше, выполнить невозможно.

Оказывается, «вставки» х и у можно найти, если воспользоваться «дополнительными» средствами в виде специально изготовленных приборов. Оригинальные и весьма простые для механического нахождения «вставок» х и у по двум заданным отрезками а и 2а предложили Платон и Эратосфен. Прибор Платона состоит из двух обыкновенных прямоугольных плотничьих наугольников, а само построение основано на лемме: во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию

Построение «вставок» х и у, нужных для решения задачи об удвоении куба, проводится следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке О. На прямой m вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а - сторона куба, подлежащего удвоению). На прямой n вниз от точки О отложим отрезок OD = 2a.

Берем два прямоугольных плотничьих наугольника (на чертеже они заштрихованы) и расположим их так, как чтобы катет первого наугольника проходил через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n; чтобы катет второго, наугольника проходил через точку D, которая также считается данной, а вершина находилась бы на прямой m; остальные два катета того и другого наугольника должны соприкасаться.

При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых m и n точки А и В. Тогда ОВ = х, а ОА = у. По лемме

 откуда х3 = 2а3.

Следовательно, х = ОВ и есть построенное ребро удвоенного куба, что и нужно было сделать.

Прибор Эратосфена носит название «мезолябия», что в переводе означает «уловитель».

Мезолябий Эратосфена состоит из двух параллельно расположенных реек m и n, расстояние между которыми равняется удвоенной стороне куба 2а. К этим рейкам прикреплены три равных прямоугольных треугольника, из которых один, самый левый, смонтирован неподвижно, а другие два могут перемещаться вдоль пазов устроенных в рейках, причем на верхнюю рейку опираются равные катеты, а на нижнюю - их противоположные вершины.

На катете HD самого правого подвижного треугольника откладываем отрезок DQ = a. Теперь двигаем подвижные треугольники с таким расчетом, чтобы точки пересечения катета одного треугольника с гипотенузой следующего за ним М и N расположились бы на одной прямой с Е и Q.

Тогда из рассмотрения соответствующих подобных треугольников получаем

Обозначаем NC через х и MB через у, будем иметь

Следовательно, x = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба.

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части. Выполнить построение способом Архимеда при помощи циркуля и передвижной линейки с двумя отметками.

Происхождение задачи о трисекции угла связано с практической деятельностью, в частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

Оригинальное и вместе с тем чрезвычайно простое решение задачи о трисекции угла при помощи циркуля и подвижной линейки с двумя отметками дал Архимед.

Пусть требуется произвольно взятый острый угол ABC разделить на три paвные части. Для этого из вершины данного угла В, как из центра, произвольным радиусом R опишем окружность. Точки пересечения сторон данного угла с окружностью обозначим через D и Е. Теперь берем подвижную линейку с двумя точечными отметками F и G, причем длина отрезка FG = R, и прикладываем ее к точке Е так, чтобы F и G оказались на одной прямой с точкой Е и чтобы F находилась на окружности, a G – на продолжении стороны ВА. Тогда угол EGD и будет составлять одну треть заданного угла AВС.

Докажем это. Обозначим для краткости углы на чертеже цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Надо доказать, что угол 5 составляет третью часть угла 1, т. е.

5 =  1.

Действительно, 1 = 5 + 2 (свойство внешнего угла треугольника), но 3 = 5 + 4 (свойство внешнего угла треугольника).

Далее, 5 = 4 (свойство равнобедренного треугольника).

Тогда 3 = 2 5. Из треугольника BEF, поскольку он равнобедренный,       3 = 2. Учитывая предыдущее равенство, будем иметь

1 = 3 + 5 = 2 5 + 5 = 3 5.

Следовательно, 5 =  1, что и требовалось доказать.

В некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще ученики Пифагора, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

Греки рассматривали возможность решения задачи, используя метод вставки. С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону.

Проведем через точку А луч сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь между лучами АС и  l  отрезок DE длиной 2АВ так, чтобы его продолжение проходило через точку В. Тогда ЕВС= ABC/3. В самом деле, пусть G — середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому ABG = AGB = 2AEG = 2EBC.

Решить данную задачу можно с помощью квaдрaтрисы.

Другие интересные, но довольно сложные способы решения задачи о трисекции угла дали ученые Декарт, Ньютон, Клеро, Шаль и др. Все эти решения обычно основаны на определении точек пересечения конического сечения с окружностью. Попытки найти новые красивые решения задачи о трисекции угла продолжаются и в настоящее время.

Задача о квадратуре круга из всех трех задач является самой загадочной и противоречивой.

Необходимо построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга. Решить задачу приближенно при помощи «треугольника Бинга».

Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Оно и понятно почему. Дело в том, что задача о квадратуре круга так же, как и задачи об удвоении куба и трисекции угла, оказывается не разрешимой при помощи циркуля и линейки.

В 1775 году Парижская академия сделала заявление: "Академия постановила не рассматривать отныне представляемые ей разрешения задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение".

Окончательный удар попыткам решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки был нанесен лишь во второй половине XIX века. Немецкому математику Ф. Линдеману 1882 году удалось, наконец, доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима при помощи указанных средств.

Доказательство Линдемана чрезвычайно трудное.

Пусть дан круг радиуса R. Требуется построить квадрат, равновеликий этому кругу. Обозначим сторону искомого квадрата через х тогда

х2 = R2

откуда х = R

Таким образом, вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка R на данное число , причем это построением надо провести при помощи циркуля и линейки, т. е путем проведения конечного числа окружностей и прямых линий.

При помощи циркуля и линейки можно всегда построить произведение данного отрезка R на рациональное число (целое или дробное), но далеко не всегда можно указанными средствами построить произведешь данного отрезка на число иррациональное. Это возможно в некоторых случаях, например, если иррациональное число равняется или  тогда R находится как сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R, а R - как сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в круг радиуса R, причем, как известно, вписать правильный двенадцатиугольник в круг не составляет трудности, после того как в круг вписан правильный шестиугольник.

Итак, средствами циркуля и линейки можно решить задачу о квадратуре круга только приближенно. Становится вполне разрешимой, если специально расширить средства построения, если воспользоваться специальными кривыми (например, квадратрисы).

Рассмотрим  решение задачи о квадратуре круга, основанное на использовании «треугольника Бинга». Этот способ был предложен в 1836 году русским инженером Бингом.

Рассмотрим треугольник AВC, вписанный в круг, квадратура которого находится с таким расчетом, чтобы наибольшая сторона треугольника была диаметром. Обозначим угол CAB через а, а хорду АС через х. Подберем угол а так, чтобы отрезок х был стороной квадрата, равновеликого данному кругу. Для этой цели воспользуемся соотношением

cos a =

где R – радиус круга.

Так как площадь квадрата со стороной х должка быть равновелика площади круга, то будем иметь х2 = R2, или 4R4 cos2x = R2, откуда

сos2 a =  cos a = . По таблицам находим а = 27036/.

Итак, проводя в данном круге хорду под углом 27036/ к диаметру, мы сразу получаем искомую сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Легко догадаться, что рассмотренный треугольник AВC и есть «треугольник Бинга».

В заключении делаю вывод:

Изучая Классические задачи древности, ученые сделали очень много открытий, которые имеют большое значение для развития математики, геометрии и других наук.

Лишь в середине 19 века была доказано, что результаты решения данных задач были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи  при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно.

Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.    

Рис. 1