Тригонометрия

Слайд 1

Слайд 2

Определение тригонометрии Тригонометрия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Слайд 3

История тригонометрии Древняя Греция Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме .

Слайд 4

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами. ЕВКЛИД (умер между 275 и 270 до н. э.), древнегреческий математик. Архиме́д (287 до н. э. — 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз

Слайд 5

Продолжение Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла , который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы. Менелай Александрийский (100 н. э.) написал « Сферику » в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга « Сферики » применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая », известную также как «правило шести величин ».

Слайд 6

П родолжение Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида. Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Слайд 7

Простейшие тригонометрические уравнения К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения вида: x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=a и уравнения приводимые к такому виду. Например: 1) sin x =½ . 2) cos x=-0,3; 3) tg x= -1; 4) ctg x= - √3.

Слайд 8

Схема решений тригон . уравнений c os x=a a [-1;1]; x= ± arccos a+2n, n = Z. Готовые ответы: cos x=o (x=  /2 + n,n =Z); cos x=1(x=2n,n=Z); cos x=-1(x=+2n,n=Z). s in x= a a [-1;1]; x= (-1)ⁿ∙ arcsin a+n, n=Z. Готовые ответы: sin x=0(x= n,n =Z); sin x=1(x= /2 +2n,n=Z); sin x=-1(x=- / 2+2n,n=Z). t g x=a / ctg x=a a (-∞; +∞); x= arctg / arcctg = n, n=Z. Место для формулы .

Слайд 9

Виды тригонометрических уравнений Тригонометрические уравнения приводимые к квадратному( с заменой переменной). Стандартный вид: A∙ sin²x+B∙sinx+C=0; A∙cos²x+B∙cosx+C=0 и тд . Решение. Например: A∙sin²x+B∙sinx+C=0 Пусть sin x=m, A∙m²+B∙m+C=0 D= B²-4AC. sin x= m 1 sin x= m 2 См. тему «Простейшие тригонометрические уравнения».

Слайд 10

Однородные тригонометрические уравнения. 1) Квадратно-однородные; Стандартный вид: A∙sin²x+B∙sinxcosx+C∙cos²x=0 Способ решения : деление на cos²x , но cosx≠0 Получаем уравнение приводимое к квадратному : A∙tg²x+B∙tgx+C=0; tg x=m; A∙m²+B∙m+C=0; D=B²-4AC; tg x=m1 и tg x=m2. Замечание: если в таком ур-ии появляется свободное число, то умножить его на 1, где 1= sin²x+cos²x . Затем раскрыть скобки, привести подобные и получить стандартный вид.

Слайд 11

2)Линейно-однородные. Стандартный вид: A∙sinx+B∙cosx =0. Способ решения: деление на cosx , но cosx≠0. Тригонометрические уравнения с разложением на множители. 1)С вынесением за скобки общего множителя. Например: A∙sin²x+B∙sinx=0; sinx ∙( A∙sinx+B )=0 После вынесения общего множителя за скобки, каждый множитель приравнивается к нулю и решить полученное уравнение.

Слайд 12

2)С применением формул суммы и разности тригонометрических функций. ( 𝛼 − 𝛽) (𝛼 + 𝛽) В результате применения этих формул получим множители, затем каждый множитель приравнивается к нулю и решить полученное уравнение.

Слайд 13

Спасибо за внимание!