Исследовательская работа "Обратные операции в математике"

Слайд 1

Слайд 2

Исследовательская работа Ученицы 11 класса Жихаревой Ольги

Слайд 3

Тема исследования: «Обратные операции в математике »

Слайд 4

Проблемный вопрос Можно ли считать интегрирование операцией обратной дифференцирования?

Слайд 5

Цель: Изучить операции интегрирования и дифференцирования , определить свойства обратных операций ( интегрирования для дифференцирования)

Слайд 6

Объект исследования интегральное и дифференциальное исчисление Предмет исследования свойства операций интегрирования и дифференцирования Методы исследования: изучение и анализ литературы, проведение эксперимента, анализ полученных данных

Слайд 7

ГИПОТЕЗА: результат интегрирования может быть проверен дифференцированием

Слайд 8

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Слайд 9

Производная функции: Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю , если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием . Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов

Слайд 10

Первообразной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной ) данной функции f называют такую F , производная которой (на всей области определения) равна f , то есть F ′ = f . Сам процесс вычисления первообразной называется интегрированием .

Слайд 11

Графики первообразных для функции

Слайд 12

Обратные операции Как известно, две или более алгебраических операций могут быть связаны между собой переменой роли данных и искомых элементов. Так, если a + b = c , то c - a = b . Эта связь операций выражает понятие обратной операции, которое в общем виде определяется так: Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов a , b из M элемент c . Те две операции, которые получатся из данной путем перемены в ней роли одного из элементов a , b и элемента c (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции.

Слайд 13

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте , примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание процесса интегрирования Следующий крупный шаг в интегральном исчислении был сделан в Ираке, в XI веке , математиком Ибн ал-Хайсамом ,в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени. ИЗ ИСТОРИИ

Слайд 14

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке . В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма , были заложены основы современного интегрального исчисления . Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли , которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием. Согласно основной теореме анализа , интегрирование является операцией, обратной дифференцированию

Слайд 15

Связь между интегрированием и дифференцированием как взаимно обратными операциями в геометрической форме впервые показал Исаак Барроу в своем главном труде “Оптические и геометрические лекции” (1669–1670). Барроу получил формулы, которые используются и сейчас для вычисления длин дуг кривых, заданных в декартовых и полярных координатах. Общий метод дифференцирования и интегрирования с глубоким пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, был создан Ньютоном и Лейбницем независимо друг от друга.

Слайд 16

Дальнейшее развитие дифференциального и интегрального исчисления связано с именами многих выдающихся ученых: братьев Бернулли — Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) и, в первую очередь, Леонарда Эйлера (1707–1783). Трактаты Эйлера “Дифференциальное исчисление” (1755 г) и трехтомное “Интегральное исчисление” (1768–1770 гг) содержат последовательное изложение дифференциального и интегрального исчисления в известной нам форме, теорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многими приложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы ( B – и Γ –функции).

Слайд 17

Выводы : Интегрирование - это операция , обратная дифференцированию , и результат интегрирования может быть проверен дифференцированием . Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом функцию.

Слайд 18

Полезные ресурсы: http:// www.math.ru http :// www . center . fio . ru / som http://ru.wikipedia http://fmi.asf.ru http://gvardeiskaya.com http://wiki.kem-edu.ru