Исследование - практикум “Функциональные уравнения”

Министерство образования и высшей школы Республики Коми

Муниципальное учреждение “Управление образования

администрации муниципального образования городского округа “Усинск” ”.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

“Средняя общеобразовательная школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов”

Исследование -  практикум

“Функциональные уравнения”

Автор:

Пятковская Кристина

ученица 10в класса

Руководитель:

Петрова

Надежда Петровна

учитель математики

г. Усинск

2010 год

Введение

“Уравнение - есть равенство,

которое еще не является

истинным, но которое

 стремятся сделать истинным,

не будучи уверенным,

что этого можно достичь”.

А. Фуше

   Активно занимаясь подготовкой к ЕГЭ, я просматривала справочную литературу, и в одном из учебных пособий увидела понятие еще не известное мне – функциональное уравнение.

   Функциональные уравнения: их виды, особенности и методы решения – этот вопрос совершенно не изучается в школьном курсе математики.

   Я поставила перед собой цель: расширить свои знания в области математики, изучив тему, которая не входит в рамки школьной программы.

   Для достижения результата поставила для себя ряд задач:

1. Изучить понятие функционального уравнения
2. Разобрать методы решения
3. Показать практическую часть
4. Изучить литературу по данному вопросу

Функциональным уравнением называется уравнение, в котором неизвестным является некоторая ф у н к ц и я (или функции).

   Функция называется решением функционального уравнения , если при подстановке ее в уравнение оно превращается в тождество.

    Решить функциональное уравнение – значит найти множество всех его решений.

Задача 1. Решить функциональные уравнения с 1-7, увидеть в чем схожесть в решении данных функциональных уравнений.                                               x, y  R

1.

если x принимает любые действительные значения.

Найти неизвестную функцию  мешает .

Пользуясь тем, что здесь x – любое действительное число, з а м е н и м  x  на –x. Это вовсе не означает, что мы полагаем x = -x , так как последнее равенство выполняется при x = 0. Будем иметь:

Получаем систему уравнений

с неизвестными  и  . Исключим из нее .  Для этого сложим первое уравнение с удвоенным вторым:

Пока что мы с вами установили следующее: если функция  является решением данного функционального уравнения, то

Теперь нужно это допущение оправдать. выполним проверку найденной функции по функциональному уравнению:

Получилось тождество. Следовательно, функция есть решение функционального уравнения.

Отсюда видно, что это решение единственно.

Ответ:

2.

   (x0)

Заменим x на .

Ответ:

3.

  (x0)

Заменим x на .

Ответ:

4.

Заменим x на 1-x.

Ответ:

5.

Ответ:

6.

Ответ:  

7.

Ответ:

При решении “Задачи 1” применялась замена переменной. Метод замены переменной, или метод подстановки, является  о с н о в н ы м   при решении функциональных уравнений.

8.

Ответ:  

9.

Ответ:  

10.

Ответ:  

11.

Ответ:  

12.

Ответ:   

Задача 2. Узнать будут ли существовать такие функции , что при любых действительны x и y будут выполняться равенства.

1.

Пусть y = x.

Проверка, которая до сих пор носила более или менее формальный характер, в данном случае  о б я з а т е л ь н а: если при y=x получается функция , которая при подстановке в функциональное уравнение превращает его в тождество, то это не значит, что аналогичное положение будет и при yx. Получаем:

это равенство тождеством не является. Значит, такая функция не существует.

Ответ: не существует.

2.

Пусть y = x.

Проверка:

Получилось тождество, значит, функция  является решением, причем единственным.

Ответ: существует -  .

3.

Допустим функции существуют.

Предположим  x = y = 0 :

Теперь пусть x = 0 :

Наконец, пусть y = 0 :

Перемножим два последние равенства:

Но получается

Последнее равенство тождеством не является. Противоречие. Следовательно таких функций не существует.

Ответ: не существуют.

4.

Доказать, что функций не существует.

Допустим, функции существуют.

Пусть x = y = 0                

Функции не существует - ч.т.д.

Задача 3. Рассмотреть функциональные уравнения, решение которых связано с делимостью многочленов. Где P(x) – многочлен, а x – принимает любые действительные значения.

1.

P(x) – многочлен.

Пусть в данном равенстве x = -5:

Пусть в этом же равенстве x = -4:

Далее, пусть x = -3:

Аналогично, при x = -2; -1; 0    получим :

Так как многочлен P(x) в точках  -5, -4, -3, -2, -1, 0  обращается в нуль, то он делится на произведение

Из теоремы, в которой говорится,

что если  многочлен  имеет

 корни  и , то он делится

 на произведение .

Это значит, что

где Q(x) – многочлен. Подставим последнее выражение для P(x) в функциональное уравнение:  

где С - постоянная. Следовательно, многочлен Q(x) – C имеет бесконечное множество корней. Но это возможно только тогда, когда он тождественно равен нулю:

Ответ

2.

1)  Пусть x = 0;   0 =-2 P(0); Р(0) = 0

2)  Пусть x = 2;   2Р(1)= 0 Р(2), т.е. Р(1) = 0

3)  Пусть x = 1;   Р(0) = -1 Р(1);  Р(1)=0

если 1 и 0 – нули многочлена, то

Р(x) = (x-1) x Q(x)

Подставим в функциональное уравнение:

x =P(x-1) = (x-2) (x-1) x Q(x)

x (x-2)(x-1) Q(x-1) = (x-2)(x-1) x Q(x)

Q(x-1) = Q(x)

Q(0) = Q(-1) = Q(-2) = Q(-3) = … = C

Тогда Р(x) = x (x-1) C

Проверка:

x P(x-1) = (x-2) P(x)

x (x-1)(x-2)C = (x-2) x(x-1)C    - тождество

Ответ: Р(x) = С x (x-1)

Заключение

   Я думаю, что справилась с поставленными задачами.

Изучив тему, решив большое количество уравнений, я поняла идею решения функционального уравнения.

   Работа с функциональными уравнениями очень интересна, к каждому уравнению требуется отдельный подход.

   Рассмотрев методы решения, я поняла, что пока не могу осилить все виды уравнений и не смогу решить любое функциональное уравнение, потому как мною не пройден полный школьный курс математики.

   Меня воодушевляет то, что на следующий год я вновь смогу рассмотреть данную тему, еще сильней углубившись в нее.

   Единственное что могу отметить – это т о, что материала по данной теме очень мало и многое приходилось разбирать самостоятельно.

   Сделав эту работу, я почувствовала себя более уверенной в математике, думаю, мне эта тема пригодится на выпуске и при итоговой аттестации.

“Уравнение - есть равенство,

которое еще не является

истинным, но которое

стремятся сделать истинным,

не будучи уверенным,

что этого можно достичь”.

А. Фуше