Презентация по теме "Четырехугольники"

Слайд 1

МБОУ «Основная общеобразовательная Крутовская школа» Выполнили: ученики 8 класса Боева Мария Николаевна, Лихачёв Дмитрий Сергеевич Проверила: учитель математики Колесникова В.И. Проект по теме: «Четырехугольники»

Слайд 2

Определение параллелограмма Параллелограмм-это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны т. е. лежат на параллельных прямых А В С D

Слайд 3

Признак параллелограмма Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм А В С D

Слайд 4

Свойства диагоналей параллелограмма А С D В Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам О

Слайд 5

Доказательство теоремы о свойствах диагоналей параллелограмма А С D В Пусть АВСD - данный параллелограмм. Проведём его диагональ ВD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОЕ = АО. По теореме 6.1 четырехугольник АВЕD есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВЕ параллельна АD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную АD. Значит, прямая ВЕ совпадает с прямой ВС. Точно так же доказывается, что прямая DЕ совпадает с прямой DС. Значит, точка Е совпадает с точкой С. Параллелограмм АВСD совпадает с параллелограммом АВЕD. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Е О

Слайд 6

Задача Расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3см и 4см.Чему равно расстояние от нее до двух других вершин? Объясните ответ. С D О А В

Слайд 7

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма С D О А В У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны

Слайд 8

Определение ромба Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. A D С В

Слайд 9

Теорема о диагоналях ромба Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. A D С В О

Слайд 10

Доказательство Пусть ABCD - данный ромб. О — точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма AO =ОC. Значит, в треугольнике ABC отрезок BO является медианой. Так как ABCD — ромб, то AB = BC и треугольник ABC равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла B и перпендикулярна диагонали AC. Теорема доказана. A D С В О О

Слайд 11

Задача №1 Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. Решение Пусть ABCD — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и O — точка пересечения диагоналей. Треугольники AOB и AOD равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы вершине O по условию прямые, сторона AO- общая, а OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма. Из равенства треугольников следует равенство сторон AB = AD. А по свойству противолежащих сторон параллелограмма AD = BC, AB = CD. Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он является ромбом. О В С А D О

Слайд 12

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Определение квадрата А B C D

Слайд 13

Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба: 1. У квадрата все углы равны. 2. Диагонали квадрата равны. 3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и является биссектрисами его углов. Свойства квадрата A D B C

Слайд 14

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон В А С Е D А С Е D

Слайд 15

Теорема о средней линии треугольника Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине . А С Е D В

Слайд 16

Доказательство Доказательство: Проведем через точку D прямую, параллельную АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине т.е содержит среднюю линию Е D . Значит средняя линия Е D параллельна АВ Проведем теперь среднюю линию DF . Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF - параллелограмм. По свойству параллелограмма ED = AF , а так как AF = F В по теореме Фалеса, то Е D = 1 / 2 АВ Дано: Е D - средняя линия треугольника Доказать: Е D = 1 / 2 АВ А B Е D F C

Слайд 17

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. А В О А 2 А 3 А 1 В 3 В 2 В 1

Слайд 18

Доказательство Доказательство: Проведем через точку В 2 прямую FE А 1 А 2 . По свойству параллелограмма А 1 А 2 = F В 2 , А 2 А 3 = В 2 E И так как А 1 А 2 = А 2 А 3 , то F В 2 = В 2 E В 2 В 1 F = В 2 В 3 Е- по второму признаку. F В 2 = В 2 Е - по доказанному FB 2 B 1 = ЕВ 2 В 3 - вертикальные и являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых А 1 В 1 ; А 3 В 3 и секущей FE Следовательно В 1 В 2 =В 2 В 3. Теорема доказана В О А 2 А 3 А 1 В 3 В 1 F E А В 2 Дано: А 1 ; А 2 : А 3 - точки пересечения параллельных прямых Доказать: Если А 1 А 2 = А 2 А 3 ,то В 1 В 2 =В 2 В 3

Слайд 19

Замечание В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой. А В а В 3 В 1 В 2 А 1 А 2 А 3

Слайд 20

Определение трапеции Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями А В С D

Слайд 21

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называют равнобокой Е А В С Равнобокая трапеция К Н

Слайд 22

Прямоугольная трапеция А В С Д К Трапеция с прямым углом , называется прямоугольной

Слайд 23

Отрезок соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции А В С Е Средняя линия трапеции Р К

Слайд 24

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме С Е А В Р Q D

Слайд 25

Доказательство Пусть АВСD - данная трапеция. Проведём через вершину В и середину Р боковой стороны СD прямую. Она пересекает прямую АD в некоторой точке Е. Треугольники РВС и РЕD равны по второму признаку равенства треугольников. У них СР=DР по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и РDЕ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, ВС=ЕD Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линией треугольника PQ||АЕ и равна ее половине А Е В Р Q С D PQ = (А D + D Е) : 2 =( А D + + ВС) : 2 Теорема доказана.

Слайд 26

Задача Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. Е А В С Q

Слайд 27

Теорема о пропорциональных отрезках Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. E А В М К Р С ВМ : ВЕ = ВК : ВР