Исследовательская работа "Математика и музыка"

МКУ «УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА ЧИСТОПОЛЬСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН»

МБОУ «Гимназия №3»

Математика и музыка

г. Чистополь, 2013

Содержание

Введение……………………………………………………………………… 3

Цели, задачи…………………………………………………………………  4

I этап: Знакомство с математикой и её историей………… …………...... 5-6

II этап: Знакомство с музыкой и её историей………………………….… 7-8

III этап: Размышления древних математиков и музыкантов..…………..... 9

IV этап: Сходства и различия математики и музыки…..…………...….. 10-11

Заключение …………………………………………………………………... 12

Список используемой литературы ………………………………………… 13.

Введение.

«Музыку я разъял как труп,
Проверив алгеброй гармонию»

От этих слов, вложенных А.С. Пушкиным в уста Сальери, веет мертвящей пропастью между музыкой и математикой. Отравлен Моцарт - живое воплощение музыки, и сама музыка мертва под математическим скальпелем убийцы гения. Разве не отражают эти пушкинские строки мнение большинства людей, что между математикой и музыкой нет, и не может быть ничего общего?

Между тем именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: например крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке" начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". А. Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И.Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Почему же скрытой? Ведь в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор.

Тогда получается, что математика и музыка – сёстры? Или нет? Почему бы в этом не разобраться?

Цель моей работы:

узнать новое о математике и музыке, и выяснить, родственны ли они между собой?

Для достижения поставленной цели я определила ряд задач:

1. исследовать возникновение математики;
2. изучить возникновение музыки;
3. рассмотреть предположения древних философов;
4. найти сходства и различия между математикой и музыкой.

Основными источниками информации являются учебники по сольфеджио, сочинения философов, научные статьи.

Первый этап исследования

Знакомство с математикой и её историей

Для начала давайте разберемся, что такое математика. Это слово нам очень хорошо знакомо, но если посмотреть в словарях, то мы узнаем много нового. С этого я и начала свою исследовательскую работу. И вот что у меня получилось:

Слово «математика» произошло от древнегреческого, что означает изучение, знание, наука.

А вот как В. Даль объясняет значение этого слова:

«МАТЕМАТИКА ж. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике - чистая, занимается величинами отвлеченно; - прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает цифрами, вторая протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика (включающая в себе и алгебру) добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа. Прикладная математика, по предмету зовется: механикою, оптикою, геодезиею и пр.»

В современных словарях даётся такое пояснение:

«Математика – наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы».

Значит, основу математики составляют величины, количественные отношения, формулы, которые в свою очередь состоят из чисел.

Также я познакомилась с историей математики. Оказывается, её развитие  началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции. Простая абстракция — число; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Второй этап исследования

Знакомство с музыкой и её историей

А теперь давайте разберёмся, что же такое музыка и из чего она состоит:

Музыка (образовано от греческого слова муза) — искусство, средством воплощения художественных образов для которого являются звук и тишина, особым образом организованные во времени.

Пояснение В. Даля:

«МУЗЫКА и музыка ж. искусство стройного и согласного сочетания звуков, как последовательных (мелодия, напев, голос), так и совместных (гармония, созвучие)».

Проследив происхождение, я узнала, что развитие музыки неотделимо от деятельного развития чувственных способностей человека — ход слухового освоения человеком музыкального материала в изменяющихся культурных условиях составляет наиболее фундаментальный уровень истории музыки.

В раннем фольклоре различных народов музыкальный звук неустойчив по высоте. Мелодия зачастую представляет собой совокупность подъёмов и спадов, объединяющих контрастные высотные зоны в ритмическом порядке, зависящем от ритмики словесного текста и танца. Однако этот первичный звук высотный контраст уже наделён эмоциональной выразительностью благодаря включенности музицирования в быт, в трудовые процессы, в ритуалы. Постоянство этих связей, формирующее первичные музыкальные жанры, приводит к стабилизации высот (и, как следствие, к их закреплению в определённом строе).

Тем самым, в общественном музыкальном сознании высота звука отделяется от тембра голоса и речевой артикуляции; появляется категория лада. Возникают звукоряды и основанные на них мелодии. Звуковысотность, зафиксированная в музыкальном строе, предполагает развитие слуховых навыков особой музыкальной памяти, удерживающей положение. Обретая точную высоту, интонация становится способной воплотить более широкий образный смысл. Он, с одной стороны, выступает как сохранившийся в интонационных формулах след их прошлого значения, связанного с контекстом музицирования, с первичным жанром; с другой стороны — продолжается процесс «вбирания» смысла в интонацию «извне», из образующихся новых связей музыки и слова, музицирования и его социокультурного контекста.

         А из чего же состоит музыка?

В наше время музыкой могут быть названы и чарующие переливы арфы, и скрип открываемой двери, и шум заводского цеха. Все это - искусство организации звуковых последовательностей. "Сырьем" для большинства сонат, песен, опер служат музыкальные звуки (нотами), которые отличаются от шумов. Чтобы прояснить суть этого отличия, уточним, что же такое звук.

Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Одна из основных характеристик колебательного процесса - частота колебаний. Музыкальные звуки имеют ту особенность, что им присуща вполне определенная частота колебаний. А вот про шумы нельзя сказать, что им соответствует какая-либо конкретная частота - они представляют собой беспорядочную смесь.

Третий этап исследования

Размышления древних математиков и музыкантов.

Так в чем же сходство математики и музыки? Обратимся к трудам человека, которого знают и математики, и музыканты. Как вы могли догадаться это Пифагор. Все знают его теорему и таблицу. А вот музыкантам он известен как создатель теории музыки.

Гармония, по мнению Пифагора, есть система трех созвучий — кварты, квинты и октавы. На базе тетрахорда (четырех струн, четырех звуков, четырех нот, четырех чисел) 6, 8, 9 и 12 можно построить и полный звукоряд, двенадцати нотный или какой-нибудь еще. Полный строй получался, если откладывать от какой-либо ноты чистую квинту вверх (или вниз). Таким образом, можно получить все ноты, примерно соответствующие нашему двенадцати нотному звукоряду. Опуская (или поднимая) ноты на октаву вниз, сводя их в одну октаву, можно получить звуковысотные соотношения для всех нот.

Пифагор считал математику и музыку неразрывными по отношению друг к другу. Такого же мнения были его ученики - пифагорейцы. Они считали, что музыка является частным проявлением математики. Они создали учение о Космосе, как о музыкально звучащем теле. По их мнению, Космос – это ряд небесных тел, каждое из которых при вращении издает свой музыкальный звук; расстояния между сферами и издаваемые ими звуки соответствуют гармоничным музыкальным интервалам.

Четвёртый этап исследования

Сходства и различия математики и музыки

Но неужели сходство есть только в утверждениях древних философов? Конечно, нет! Сходства можно увидеть в знакомом всем инструменте – фортепьяно. Расположение октав на этом инструменте можно сравнить с координатной прямой. Все мы знаем, что координатная прямая не имеет конца и начала, но имеет точку О(0), которая делит её на равные части, Справа от точки О находятся положительные числа по порядку (1,2, 3, 4,), а слева отрицательные в обратном порядке (-1, -2, -3, -4). На фортепьяно примерно так же: оно условно делится на равные части. Справа от середины октавы идут по порядку (1,2,3,),а слева в обратном порядке (малая, большая, контроктава, субконтроктава).  Но фортепьяно в отличие от прямой имеет начало и конец.

Сходства музыки и математики можно увидеть  и в системе координат. Для начала давайте познакомимся и с её историей. Такая простая и привычная вещь, как система координат, была введена в математический инструментарий не так давно: ее изобрел Декарт в XVII веке. Это изобретение по праву называют гениальным - трудно себе представить развитие алгебры и геометрии без системы координат. Но вот что интересно: в том, что математика лишь с XVII века пользуется этой замечательной системой, виноваты только сами математики - они в течение шести веков не замечали ту же систему координат  буквально у себя под боком - в музыке, а точнее, в системе записи музыки, разработанной Гвидо Аретинским еще в XI веке. Действительно, посмотрев на ноты, мы увидим не что иное, как самый настоящий график музыки: по вертикальной оси определяется высота звука, по горизонтальной - момент его появления, т.е. время.

А что же насчет звуков? Неужели главная составляющая музыки не связана с математикой? Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. И стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. И вот что у нас получится (см. пример). Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4. Смысл у этой дроби тот же что используется в математике: мы разделили целую на четыре части и три из них включили в такт. Конечно, не всякий человек может понять это, а только тот, кто имеет музыкальное образование и что бы объяснить человеку, не знающему законов музыки надо обратиться к математике. В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота (), половинная (), одна четверная (), одна восьмая (), одна шестнадцатая ().  Каждая образуется делением целой ноты на два, четыре, восемь шестнадцать. Названия длительности служат одновременно и названиями чисел.  Здесь же проявляется геометрическая прогрессия и если записать длительности от «целой» (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим:

Заключение

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

 Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.

9. Список литературы

« В тональности ми мажор», Азевич Алексей.

«Рациональность и аффект», Хельга де ля Мотт-Хабер.

«Язык, музыка, математика», Б. Варга. Ю. Дюмень, Э. Лопариц.

« Элективные курсы». Издательство «Учитель», 2006 год, г. Волгоград, Л. Сагателова, В. Студенецка.

file://localhost/Математика%20. и %20 Музыка.html.

file://localhost/Математика%20. и %50 Музыка.html.

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков и др. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М., Просвещение, 1993.- С. 153, №926

2. Н. Васюткин. „Золотая пропорция”.  

3. Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.

4.Журнал «Начальная школа»

     5. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1985.

6. Н.Д. Изместьева, Н.Л. Терский.

7. http://www.yandex.ru

8. http://www.google.ru

(Материал из Викицитатника )

В.П. Ковалев "Математика в музыке". Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции  математических основ жизнеустройства.

  О.Н.Макеева Научно-исследовательская работа по теме:   «Математическое представление музыки».

  Интернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki

 Интернет ресурс: Letopisi.ru  Проект «Музыкальная математика»

А. Устинов «Музыка и математика»