Исследовательская работа по теме: Лист Мебиуса

Исследовательская работа по теме:

Лист Мебиуса

Выполнил: учащийся МБОУ «СОШ №6» г.Бавлы

Галямов Айнур Ильясович, 11 класс.

                                                                         Руководитель: Газиева Лилия Наилевна

Предисловие

Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса.

   Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который  относится к «математическим неожиданностям», я предлагаю вместе со мной провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.

Таинственный  и  знаменитый  лист Мёбиуса (иногда  говорят : лента  Мёбиуса)  придумал  в 1858г. немецкий  геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868),  ученик «короля  математиков» Гаусса.  Мёбиус  был  первоначально  астрономом,  как Гаусс  и  многие  другие  из  тех,  кому  математика  обязана  своим  развитием.  В  те  времена  занятия  математикой  не  встречали  поддержки,  а  астрономия  давала  достаточно  денег,  чтобы  не  думать  о  них,   и  оставляла  время  для  собственных  размышлений.  И  Мёбиус  стал  одним  из  крупнейших геометров  ХIХ  в.  В  возрасте  68 лет  ему удалось  сделать  открытие  поразительной  красоты.  Это  открытие  односторонних  поверхностей,  одна  из  которых – лист  Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому – «геометрия положений»). Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Легенда

Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Увлекательное исследование

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С.

Получим такое перекрученное кольцо

Зададимся вопросом:

    сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как

    у любого другого? У него ОДНА сторона. И это можно проверить. Попробуйте закрасить это кольцо.

Теперь второй вопрос.

     Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

    А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине?

Вот что получилось у меня

Лента перекручена два раза

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

А если на три части?

Получим  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного.

Применение листа Мебиуса в жизни.

  Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике,      оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. 

 Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих           странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы. 

Лист Мёбиуса в  технике и физике:

• Для начала надо вспомнить, что на магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с “двух сторон” не меняя местами.
• В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты. 
• Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию.
• Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца.
• А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель.

Итак, в заключении я хочу сказать, что лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

• Лист Мебиуса имеет один край.
• Лист Мебиуса имеет одну сторону.
• Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
• Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая поверхность, положившая начало целому направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

Выводы о проделанной работе:

• прочитав определённую литературу, я  познакомился с геометрической поверхностью - лентой Мёбиуса;
• анализируя собранный материал, я увидел необычность этой ленты;
• экспериментальным путём  я показал, что лист Мёбиуса является односторонней поверхностью, что необычно для трёхмерной фигуры;
• я провел четыре опыта с листом и доказал, что он изменяет свои свойства при разрезании;
• увидел, что усложнение эксперимента не приводит к более эффектным результатам;
• пытался убедить, что лента Мёбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни;
• считаю правильным, что лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям.
•  работа подготовлена в помощь преподавателю для кружков и дополнительных занятий с младшими школьниками.