Исследовательский проект Е. Ромашковой посвящен актуальной теме – исследованию присутствия осевой симметрии в окружающей человека действительности.
Екатерина проявила творческий подход в отборе приведенных в проекте примеров присутствия осевой симметрии в природе живой (в растениях, в животном мире) и неживой, в архитектуре, в искусстве, в музыке, в буквах и т. д.
Автор четко обозначил уникальные особенности и значение осевой симметрии в живой природе, в архитектуре.
Как одну из положительных черт данной работы следует констатировать стремление автора к наглядности изложения – включение в текст иллюстративного материала.
Выводы Ромашковой Кати вполне отвечают заявленным целям и задачам исследования. Работа вполне может быть использована в качестве дополнительного материала к школьному курсу математики 6 класса и курсу геометрии 8 класса.
Вложение | Размер |
---|---|
simmetriya_proekt.docx | 400.07 КБ |
Государственное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1191
Исследовательский проект
Математика
Симметрия вокруг нас.
Автор: Ромашкова Екатерина, класс 6 «А»
Руководитель работы: Новикова Елена Юрьевна,
учитель математики высшей
квалификационной категории
2014
Оглавление
3.1.Симметрия в неживой природе………………………………………………………5
5.1.Симметрия в архитектуре. 13
5.2.Симметрия в поэзии и музыке. 16
8. Список литературы, интернет-ресурсов. 22
Темой данной работы является понятие симметрии. Есть мнение, что симметрия играет ведущую, хотя и не всегда осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни.
Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?
Существует, в принципе, две группы симметрий. К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.
Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.
Цель: Изучить проявления симметрии в различных областях жизни человека и общества.
Задачи:
1. Определить основные признаки понятия симметрии.
2.Определить присутствие симметрии в живой и не живой природе, в лингвистике, в искусстве.
3.Изучить достоинства симметричных предметов в образном восприятии человека.
Актуальность обусловлена тем, что симметрия окружает человека, находя свое проявление как в живой, так и не в живой природе, а также большинстве творений человека: в архитектуре, в искусстве и т.д. Объяснение законов симметрии важно для понимая красоты и гармонии. Результаты проекта будут интересны для учащихся средней школы.
В данной работе я исследую геометрическую симметрию и покажу, что геометрическая симметрия присутствует во всем, что нас окружает, с чем мы сталкиваемся постоянно в обыденной жизни.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.
Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счёте, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства.
Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.
Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов.
Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, с другой стороны – к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.
«Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен,- устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности…»
Рассмотрим примеры симметрии в различных областях нашей жизни.
Снежинки являются самым ярким примером красоты форм осевой симметрии. Любая снежинка имеет поворотную ось симметрии и кроме того, каждая снежинка зеркально симметрична. (рис 1)
Рис.1 Симметрия снежинок: осевая симметрия.
Отражение в воде – единственный пример горизонтальной симметрии в природе. ( рис.2)
Рис.2 Симметрия озера: горизонтальная симметрия.
Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере любого дерева (рис.3).
Рис. 3 Симметрия конуса: ось и плоскость симметрии.
Специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления "вверх" и "вниз" для дерева, существенно различны. А направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии
У цветковых растений в большинстве проявляется радиальная и билатеральная симметрия. Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная – для двудольных (рис.4).
Рис.4 Цветок – радиальная симметрия (двойная, тройная, пятерная)
Возможно увидев брокколи романеско в магазине, вы подумали, что это ещё один образец генномодифицированного продукта. Но на самом деле это ещё один пример фрактальной симметрии природы. Каждое соцветие брокколи имеет рисунок той же логарифмической спирали, что и вся головка (рис.5).
Рис.5 Броколли – фрактальная симметрия
Подсолнухи (рис.6) могут похвастаться радиальной симметрией и интересным типом симметрии, известной как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 24, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел). Если бы мы не спешили и подсчитали количество семян в подсолнухе, то мы бы обнаружили, что количество спиралей растет по принципам последовательности Фибоначчи. В природе есть очень много растений (в том числе и брокколи романеско), лепестки, семена и листья которых отвечают этой последовательности, поэтому так трудно найти клевер с четырьмя листочками
Рис.6 Подсолнух – радиальная симметрия
Вывод: У растений мы наблюдаем следующие виды симметрии:
Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.
Большинство животных имеют двустороннюю симметрию, что означает, что они могут быть разделены на две одинаковых половинки. Некоторые доходят до полной симметрии в стремлении привлечь партнера, например павлин (рис.7).
Рис. 7 Павлин - зеркальная симметрия
Дарвин был положительно раздражен этой птицей, и написал в письме, что «Вид перьев в хвосте павлина, всякий раз, когда я смотрю на него, делает меня больным!» Дарвину, хвост казался обременительным и не имеющим эволюционного смысла, так как он не соответствовал его теории «выживания наиболее приспособленных». Он был в ярости, пока не придумал теорию полового отбора, которая утверждает, что животные развивают определенные функции, чтобы увеличить свои шансы на спаривание. Поэтому павлины имеют различные приспособления для привлечения партнерши.
Зеркальная симметрия хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической строгостью (рис.8).
Рис.8 Бабочка – зеркальная симметрия
Очень интересен вид симметрии раковины Наутилуса (рис.9).
Рис. 9 Раковина Наутилуса -спираль Фибоначчи
Раковина Наутилуса закручивается в «спираль Фибоначчи». Раковина пытается поддерживать одну и ту же пропорциональную форму, что позволяет ей сохранять её на протяжении всей жизни (в отличие от людей, которые меняют пропорции на протяжении жизни). Не все Наутилусы имеют раковину, выстроенную по правилам Фибоначчи, но все они отвечают логарифмической спирали.
Вывод: Мы видим, что билатеральная (зеркальная) симметрия – характерная симметрия всех представителей животного мира.
Человеческое тело также обладает билатеральной симметрией (внешний облик и строение скелета) (рис.10).
Рис.10 Билатеральная симметрия
Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна, она позволяет человеку двигаться прямолинейно и с одинаковой легкостью поворачиваться вправо и влево.
Вывод: Человеку, как и представителям животного мира присуща зеркальная симметрия.
Можно наблюдать симметрию и в русском языке.
Например:
Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии
В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную.
А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш.
Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами):
“Искать такси”, “Аргентина манит негра”, “Ценит негра аргентинец”,
“Леша на палке клапана шел”. А роза упала на лапу Азора.
Такие слова называются палиндромами.
Ими увлекались многие поэты.
ИСКАТЬ ТАКСИ
АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА
ЛЕША НА ПАЛКЕ КЛАПАНА НАШЕЛ
А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА
Вывод: Таким образом, мы видим пример осевой симметрии в буквах, симметрии в целых фразах.
Сколько живёт человек, столько он и строит.
В древние времена жилые дома обычно строили, симметрично располагая их вокруг определенной центральной точки. Независимо от того, была их форма округлой,
квадратной или прямоугольной, в них было довольно просто определить месторасположение такой точки. Очень часто домашний очаг помещался в такой точке. Он был фокальной точкой, вокруг которой проходила жизнь всей семьи.
Велика роль симметрии и пропорций в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придаёт гармоничность, законченность. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры.
Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию.
Наиболее известные памятники это: Исаакиевский собор, Большой театр, Зимний дворец (Россия); Триумфальная арка, Собор Парижской богоматери (Франция); музей Гугун, храм Неба (Китай); Пантеон, Миланский собор (Италия) (рис.11).
Исаакиевский собор Большой театр
Зимний дворец Собор Парижской богоматери
Музей Гугун Миланский собор
Рис.11
Эти архитектурные сооружения демонстрируют зеркальную симметрию, но если рассматривать отдельные стены этих зданий, то увидим, что все они имеют ось симметрии.
Симметричные объекты и здания более устойчивы. Симметрия широко используется в конструкции зданий и в элементах декора. Это делает архитектурные сооружения красивее, гармоничнее, торжественнее и надежнее.
Вывод: Таким образом, мы выяснили, что зеркальная и осевая симметрия есть и в зданиях, которые нас окружают.
В поэзии мы имеем дело с единством симметрии и асимметрии. «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения, - писал в 1908 году известный русский физик Г.В. Вульф. – Правильное же повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность симметрии. Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т.е. получает пространственный геометрический образ, части которого мы можем обозревать». Он же писал: «Подобно музыкальным произведениям, могут быть симметричны и произведения словесные, в особенности стихотворения».
В стихотворениях подразумевается симметрия чередования рифм, ударных слогов, то есть опять-таки ритмичность. Композитор в своей симфонии может по нескольку раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.
Сохранение темы и ее изменение (разработка, развитие) – это и есть единство симметрии и асимметрии. И чем удачнее решает композитор или поэт проблему соотношения между симметрией и асимметрией, тем выше художественная ценность создаваемого произведения искусств
Вывод: Рифма стихов и ритм музыки – один из примеров симметрии.
В искусстве существует математическая теория живописи. Это теория перспективы. Перспектива - это учение о том, как передать на плоском листе бумаги ощущение глубины пространства, то есть передать окружающим мир таким, как мы его видим. Оно основано на соблюдении нескольких законов. Законы перспективы заключаются в том, что чем дальше от нас находится предмет, тем он нам кажется меньше, совсем нечетким, на нем меньше деталей, основание его выше (рис.12).
Рис.12 Перспектива.
Если мы будем соблюдать все правила, то картины будут получаться гармоничными, они будут иметь ощущение устойчивости, равновесия. Если мы нарушим некоторые правила, то изображение сразу же станет оригинальным, своеобразным и интересным.
Таким образом, красота живописи обусловлена, в первую очередь, законами математики.
Для анализа симметрии изображения можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» (рис.13).
Рис.13 Мадонна Литта
Можно обратить внимание: фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане
картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.
Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается.
Получается, что всякий раз, когда мы, восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпаемой проблемы – проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Как правило, находясь в музее или в концертном зале, мы не задумываемся над этой проблемой. Ведь нельзя одновременно и ощущать, и анализировать ощущение.
Вывод: Итак, мы видим, что произведения живописи также подчинены законам симметрии.
Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии.
Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок.
Так, Пифагор (5 век до н.э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.
Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт – существует всего пять правильных
выпуклых многогранников разной формы. Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыслители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было "совершенно симметричным", оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подробно описаны Платоном. Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее "катучее" тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.
Геометрическая симметрия — это наиболее известный тип симметрии для многих людей. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг повёрнутый вокруг своего центра будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Поэтому круг называется симметричным относительно вращения (имеет осевую симметрию).
Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркально- поворотная и симметрия переноса.
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезкаАА1. Точка О считается симметричной самой себе.
Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии.
а
Зеркально-поворотная симметрия.
Если внутрь квадрата вписать с поворотом другой квадрат, то это и будет пример зеркально-поворотной симметрии.
Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом или периодом.
а
С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир
Знание геометрических законов природы имеют огромное практическое значение. Мы должны не только научиться понимать эти законы, но и заставлять служить нам на пользу.
Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем своем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.
Что такое музыка?
За еду птицы готовы собирать мусор
Кто чем богат, тот тем и делится!
Учимся ткать миленький коврик
Снегири и коты