Творческий проект " Задачи с параметрами".

Творческий проект

 «Задачи с параметрами»

                                                                          Автор работы: Куликова Олеся

                                                                          Место выполнения работы:

                                                                           г. Новоалександровск,                                                                                      

                                                                           МОУ СОШ №12, 10 класс                                                                                      

                                                                          Руководитель: Полянская Нина Николаевна

                                                                           учитель математики МОУ СОШ № 12

г.Новоалександровск, 2014 г

Содержание

I. Введение………………………………………………………………………………………3

II. Основная часть………………………………………………………………………………4
1. Знакомство  с   параметром …………………………………………………………………4
2. Что значит решить  задачу   с   параметрами ?......................................................................5                                                                       3. Основные типы задач с параметрами……………………………………………………….5                                                                                     4. Алгоритмы решения задач с параметрами………………………………………………….6

1.  Решение линейных уравнений………………………………………………………6
2.  Решений линейных неравенств………………………………………………...……6
3. Решение систем линейных уравнений с параметрами……   ………………………7
4.  Решение квадратных уравнений……………………………………………………..7
5.  Решение квадратных неравенств…………………………………………………….8

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА………………………………………….8

III.  Выводы и заключения………………………………………………………………………10
IV.  Библиографический список………………………………………………………………..11

Приложение 1. Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени.

Приложение 2. Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a).

Приложение 3. Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром                              А(а)х + В(а)х + С(а) =0.

Приложение 4. Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х2+В(а)х+С(а) 0.

Введение

В последние годы на ГИА предлагались так называемые  задачи   с   параметрами  - уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие  параметры . При  решении   задач   с   параметрами  приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой  задачи . Основная трудность их  решения  состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Поэтому такие  задачи  - незаменимое средство для тренировки логического мышления, их  решение  позволяет намного лучше понять обычные, без  параметров ,  задачи .

Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство  решения   задач   с   параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся  7- 9х  классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9  классов:

- решение линейных уравнений;                                                                                                                 - решение линейных неравенств;                                                                                                - решение квадратных уравнений;                                                                                             - решение квадратных неравенств;                                                                                           - решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач.  Работа поможет учащимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки.
             В связи с этим вытекает следующая цель и задачи:        .

Цель работы: Сформировать умения и навыки  решения  задач  с  параметрами  для подготовки к ГИА.

Задачи работы:

1. Изучить алгоритм решения   некоторых задач  с параметрами.                                                2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами.                                     3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.

1. Знакомство  с   параметром

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

В качестве примера рассмотрим уравнение:  в(в – 1)х=в+в+2

в этом уравнении х обозначено неизвестное число, а буква в выполняет роль известного фиксированного числа. Это уравнение является линейным уравнением с параметром  в.

Придавая в различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами.  При различных в получаем различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром в.

в =2                 2х=4                      имеет единственный корень
в =  – 0,5      0,75х =  – 2,25     также имеет единственный корень
в = 1          0х = 0                      множество корней

в = 0          0х =  – 2                  корней нет

Итак, решая уравнение в(в – 1)х=в +в+2, мы должны рассмотреть случаи:

1) когда

2) когда

3) когда  В результате получаем следующие возможные решения:

При  уравнение имеет единственный корень 

При   уравнение корней не имеет

При  в=1 уравнение имеет бесконечное множество корней

2. Что значит решить  задачу   с   параметрами ?

Решить уравнение с параметрами означает

1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения.                                     2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.                                                                  Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности    имеют    заданное    число    решений   (в частности, не  имеют  или  имеют бесконечное множество решений).                                                                                        

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.                                                                                                                                   Например, найти значения параметра, при которых:                                                            1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.    

4. Алгоритмы решения задач с параметрами.

4.1. Решение линейных уравнений с параметрами

Определение. Уравнение вида  аx=b , где  х – переменная , а  и   b  - некоторые числа, называется  линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени. (Приложение 1)   

Задание  №1.           Решите уравнение    ax =1.                                                                                                    

 Решение: если    а = 0 , то нет решения ;    если  а  0 , то х =                                                                                                                           Ответ:      если    а  0 , то х =  ;   если    а = 0 , то нет решения.  

Задание №2.   Для каждого значения параметра  а  найдите количество корней уравнения ах=8. Рассмотрим уравнение:   а =                                                                                                                    

у = а  - семейство горизонтальных прямых;                                                                                              

у= - графиком является гипербола.                                                                                                  

Ответ: Если а = о, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ о, то одно решение.

Задание №3. При каких значениях  а, уравнение  не имеет решений?

Решение :  х  -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет  решение если а = -2.

Ответ: при а = -2 нет решений

4.2.Решение линейных неравенств с параметром

Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a) (Приложение 2)

Задание №4 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.

Решение: (а-4) х>5-a.                                                                                                                                                    если а>4,то х >                                                если а<4, то х<

если   то х – любое из R .              если      , то нет решений .

Задание №5.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.

Решение:    если а=0,то 0х +1>0,  0x>-1 при любом х.                                                      

              если а>0, то х>-                                        если a<0, то х<-  

Ответ:    при а=0 , х любое ;          при а>0, х>- ;        при a<0, то х<-

4.3.Решение систем линейных уравнений с параметрами

    Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у называется система вида                                                                 

Решение данной системы  - это пары чисел (х; у), являющиеся решениями одновременно  и первого, и второго уравнения .  

 Задание №6. При каких значениях параметра  а система   а)  имеет бесконечное множество решений;             б)  имеет единственное решение?      

Решение: а) ,  а=4;                                           б) , а4 .

Ответ: а) если а =4, то система имеет множество решений;    б) если а 4 , то одно  решение.  

4.4.Решение квадратных уравнений  с параметрами

      Уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х1; х2 причем х1 х2. Дискриминант квадратного уравнения  D = b2–4ac Теорема Виета: х1+ х2 = -, х1х2 = .    

Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а) х +В (а) х +С(а) =0 (Приложение 3).

Задание №7..Найти все значения параметра  а, при которых уравнение

x2 –2(а-2)х +а2 –2a-3=0 имеет два различных положительных корня.

Решение:  D> 0, 4(а-2) 2 –4(а2-2а-3)>0, а< 3,5  

По теореме Виета условием положительности корней будет     a>3

Ответ: а(3;3,5).

4.5.Решение квадратных неравенств параметрами

Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х2+В(а)х+С(а) 0 (Приложение 4)

Задание №8.. При каких значениях параметра а неравенство (а+6)х2-(а+3)x+1<0 не имеет решений?  

Решение: если нет     решений

 если    нет решений

Ответ: при а.

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА.

Задание № 9 . Найдите значения р, при которых парабола у=-2х2+рх-50 касается оси х. Для каждого значения р определите координаты точки касания.

Решение: Парабола у=-2х2+рх-50 касается оси х значит квадратный трехчлен -2х2+рх-50 имеет единственный корень. Следовательно дискриминант этого квадратного трехчлена равен 0: D=p2-400,  p2-400=0, p= ±20.

При p= -20,  у=-2х2-20х-50,  у=-2(х+5)2, х=-5 – абсцисса точки касания параболы с осью х,    (-5;0) – координаты точки касания.

При p= 20,  у=-2х2+20х-50,  у=-2(х-5)2, х=5 – абсцисса точки касания параболы с осью х,       (5;0) – координаты точки касания.

Ответ: при p= -20, координаты точки касания – (-5;0); при p= 20 - (5;0).

Задание № 10 . Найдите все отрицательные значения параметра а, при которых неравенство ах2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений.

Решение: Неравенство ах2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений при отрицательных а, если дискриминант уравнения ах2 + (а-6) х + а ≥ 0  меньше нуля, т.е. D = (а-6)2 -4а∙а<0. Получаем:

Решая методом интервалов                    получим а< -6.  

Ответ: а < -6.                     

Задание № 11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает ровно в двух различных точках график функции, заданной условиями:

Решение:  Построим график данной функции 
      у=

Прямая у= kx пересекает график функции в двух различных точках, если:

1. Угловой коэффициент прямой больше углового коэффициента прямой у=0 и меньше либо равен угловому коэффициенту прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1);
2. Угловой коэффициент прямой больше либо равен угловому коэффициенту прямой, параллельной прямой у=х-2 и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямой у=3х+5.

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1):    -1= -2k;   k = 0,5.

Угловой коэффициент прямой у=0 равен 0. Получаем: 0 < k ≤ 0,5.

2. Угловой коэффициент прямой, параллельной прямой у = х-2, равен 1, а прямой, параллельной прямой у=3х+5, равен 3. Получаем: 1 ≤ k < 3. Прямая у = kx имеет две общие точки с графиком заданной функции, если 0 < k ≤ 0,5 и 1≤ k < 3.

Ответ: ( 0; 0,5 ] U [ 1; 3).

Заключение

Итак, в ходе данного исследования я узнала, что такое параметры, параметрические уравнения и неравенства, что значит решить задачу с параметрами, мною изучен алгоритм решения наиболее распространенных задач с параметрами. Познакомилась с четырьмя основными  типами задач с параметрами. Определены сложности, возникающие при решении этих задач. Причем самым трудным в их решении является выбор способа решения и отслеживание возникающих ветвлений.

Проделанная  работа по созданию проекта не только обогатила меня новыми знаниями и умениями, требовала самостоятельности, способствовала развитию логического мышления, но и помогла при подготовке к ГИА.                    

Библиографический список

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

2. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 1999 г. – 382 с.

3. Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач. – М., Математика в школе, №3/96 с.45-49

4. Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/98 с.9-12

5. Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 200 – 48 с.

6. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2001 с.60-62

7. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972г.

Рецензия

Рецензируемая работа посвящена актуальной проблеме – решению задач с параметрами для подготовки к государственной итоговой аттестации. Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение  таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых  в исследованиях на любом математическом материале. Автор работы понимает, что данный вопрос в математике изучен всесторонне, но ученица  заново открывает для себя искусство  решения   задач   с   параметрами.

Основная часть рецензируемой работы представляет собой изучение теоретических сведений  о задачах с параметрами. 

В работе задачи  сформированы по основным темам алгебры 7-9  классов:

- решение линейных уравнений;

- решение линейных неравенств;

- решение квадратных уравнений;

- решение квадратных неравенств;

- решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа написана живо и хорошим математическим языком. Автором изучен алгоритм решения   некоторых задач  с параметрами. Она научилась  выбирать способ решения задач с параметрами. Автор работы проявила личную заинтересованность и  самостоятельность  в проделанной работе, научилась отдельным приёмам исследовательской работы. В конце работы приведён довольно большой список использованной литературы.

Работа представляет практический интерес,  поскольку может быть использована как  пособие для  элективных курсов и факультативных  занятий. Главной методической особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

                                                   Рецензировала учитель математики Полянская Н.Н