Проектная работа 9а класса Прогрессии вокруг нас

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение  средняя общеобразовательная школа №22 города Узловая тульской области

Продукт проектной деятельности учащихся 9а класса

                                                   Подготовили: ученики 9а  класса

                                                   под руководством учителя математики

                                                   Кузнецовой А. В.                               

Узловая 2014

Содержание проектной работы:

1. Введение
2. История вопроса
3. Теоретические сведения о прогрессиях

1. Арифметическая прогрессия
2. Геометрическая прогрессия

4. Старинные задачи на прогрессии
5. Задачи с экономическим содержанием
6. Задачи  по микробиологии и медицине
7. Задачи в различных сферах человеческой жизни

1. В спорте
2. В физике
3. О финансовых пирамидах
4. Прогрессии в литературе

8. Задачи с практическим содержанием
9. Заключение
10.  Использованная литература.

1. Введение.

Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры.

На уроках алгебры 9 класса изучается тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».  Прогрессия играет немалую роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении, задания на эту тему встречаются и в ГИА.

Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он применяется в заданиях экзамена. Поэтому нам кажется, важным повторить уже известный из школьного курса материал о прогрессиях и узнать много нового и интересного.

Изучая математику внимательнее, можно заметить, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. Перед нами встал вопрос, а в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях?  Можно ли увидеть  прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? 

С учетом этого мы выбрали следующую тему исследовательского проекта:  «Прогрессии в вокруг нас»

Вопросы, направляющие проект

Основополагающий вопрос

Прогрессия - это шикарная математическая «игрушка», или мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни?

Проблемные вопросы

1. Какое практическое значение имеет факт размножения бактерий в геометрической прогрессии на жизнь на Земле?

2. Как используется факт размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском  хозяйстве?

3. Когда скупой платит дважды?

4. Как богатеют банкиры?

5. Что знали о прогрессии люди, жившие несколько веков назад?

Учебные вопросы

1. Откуда к нам пришла арифметическая (геометрическая) прогрессия?

2. Что называется арифметической (геометрической) прогрессией?

3. Какими свойствами обладают арифметическая (геометрическая) прогрессии?

4. По какой формуле вычисляется n-ый член и сумма арифметической (геометрической) прогрессий?

Цели и задачи проекта

-  установить картину возникновения  понятия прогрессии;

-  выявить интересные факты  о прогрессиях;

-  найти применение прогрессий в жизненных ситуациях.

Для достижения цели исследования необходимо решить  ряд задач:

-  найти необходимые и дополнительные сведения о прогрессиях.  

-  проанализировать тексты задач на прогрессии из учебников и задачников для средней школы.

-  сделать подборку задач для учащихся по теме: «Прогрессии».

2. История вопроса.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».

Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

В трудах  АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию.

По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием  в ней положений.

И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно. Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться 18.446.744.073.709.551.615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.  В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

        1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

Пифагор и последовательности

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

    -  последовательность (а) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;

    -  последовательность (b) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;

    -  последовательность (с) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...

        В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

                                                                            1, 4, 9, 16, 25, ... ;

                                                                                      1, 3, 6, 10, 15, ... ;             

 Общее   правило   для   суммирования   любой конечной   геометрической  прогрессии  встречается  в книге Н.   Шюке  «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.                                                        

Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855) родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 100. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

       1+2+3+4+…+98+99+100 =  (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

                                            =101 · 50 =5050.

3.  Теоретические сведения о прогрессиях                                                         

3.1. Арифметическая прогрессия.

Определение.     

 Арифметической прогрессией называется  последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен  предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью  арифметической прогрессии.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:

a,  a + d,  a + 2d, a + 3d, ... и обозначается  (a)

Свойства.

Общий член арифметической прогрессии: a = a + d(n - 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии , т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле  S =  или  Sn = 

    3.2. Геометрическая прогрессия.

Определение.   

Числовая последовательность, первый член которой отличен  от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т.к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по выше изложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5

Свойства.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой  q.

 Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.   ,  где  .              

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: , где  .    

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:                                             

Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:       .

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что

b1bn = b2bn-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

                                        Формулы:

 Арифметическая прогрессия              Геометрическая прогрессия

    4.Старинные задачи на прогрессии

Задача №1 (из учебника Магнит-

                      ского):

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего копейки, за второй -  копейки, за третий – 1 копейку и т.д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.  Кто  проторговался?

Решение:  Деньги, отданные за гвозди, составляют геометрическую прогрессию, например (b). Тогда, b= , b, b=1   q= 2

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит нужно

 найти S.

 1)  S.=0,25(224 – 1)= 0,25(102410244 – 1)=4194303,7542000

   рублей.

 2)  41943,03 -156 41787 рублей.

Таким образом, проторговался покупатель на очень большую сумму!

Задача №2 (из учебника Магнитского):

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Решение: Деньги, отданные богачом незнакомцу, составляют геометрическую прогрессию, например (b). Тогда, b=1, b, b=4   q= 2

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S = 2 – 1 =10737418,23копеек 11 миллионов рублей.

Незнакомец заплатил богачу: 30∙100 тыс = 3000 тыс. = 3000000 рублей.

Убыток 11000000 – 3000000=8000000 рублей.

Задача №3 (старинная еврейская задача)

На 10 братьев приходится  мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого - 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?

Решение: Необходимо знать, что 1 мина = 60 шекелям.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии, равной 100 шекелям и известному 8-му члену,  определить разность арифметической прогрессии.

a=a+7d  a=6-7d

Ответ: d= -1,6.

Задача №4: В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение: Пусть количество отданных яблок будет составлять сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (a), знаменатель которой равен .

Тогда, a   S

Получается, что женщина отдала 150 яблок. Таким образом, в саду

 она собрала 160 яблок.

Ответ: 160 яблок.

5. Задачи с экономическим содержанием

Это стоит знать: 

В основе капитализации процентов лежит начисление процента на процент. То есть с определенной периодичностью проценты присоединяются к сумме вклада и в дальнейшем они начисляются уже на увеличенную суму депозита. Еще такую схему начисления называют сложным процентом.

Задача №1: Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение: (a)- арифметическая прогрессия, где  a= 880, а разность арифметической прогрессии равна 0,4a.

aad = a+0,4a·3= 2,2a= 880;  a=

Ответ: первоначальный вклад равен 400 рублей.

Задача №2: 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение: (a)- арифметическая прогрессия, где a= 750, а a=1500.

  a = a + 4d, d = 187,5 рублей составляет ежегодный прирост на вклад.

750 руб -100%

187,5руб – х%

х=

Ответ: вклад в банке под 25% годовых.

Задача №3: Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение:  (b)- арифметическая прогрессия, b=1200; b=1650;

Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 2100 рублей.

b= 2b;  2100 = 1050+50(n-1)

                 50(n-1) = 1050

                 n-1 = 21

                 n = 20

Ответ: через 20 повышений.

Задача №4: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

Решение: (b)-арифметическая прогрессия,, а

Из этих двух равенств получаем систему уравнений и решаем ее:

Теперь найдем суммарную зарплату работника «ФИАТА» за год:

S

Ответ: за год доход работника составил 39300 $.

6. Задачи по микробиологии и медицине

1) Несколько слов о бактериях в природе

Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии.

Они живут во льдах Антарктиды при t - 830С

и в горячих источниках, t которых достигает  + 850  до  -900С.

Микробиология — наука о  живых организмах,  невидимых невооруженным глазом: бактерии,  архебактерии,  микроскопические грибы и водоросли, часто этот список  продляют простейшими и вирусами. В область  интересов микробиологии входит систематика микроорганизмов, их морфология, физиология, биохимия, эволюция, роль в экосистемах, а также возможности практического использования.
Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений.

Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её  потомство должно составить  281 474 976 710 656 клеток.  Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.

 Задача №1: Предположим,  что в кабинете, где проходит урок математики, численность бактерий равняется 1000 ед. на мм2,  тогда какой будет численность к концу рабочего дня?

При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут.

Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого,   5-ого, 6-ого поколений. Имеем,  для геометрической прогрессии:

Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно рассчитать по формуле  .

Мы можем рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий, используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:

Ответ: через 5 часов бактерий в классе станет 1023000.

При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно  было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как, большинство бактерий  быстро погибает под   действием солнечного света, при высушивании, нагревании до 650 - 1000С, под действием дезинфицирующих веществ. Вот почему в период эпидемий необходимы   профилактические меры.

Задача№2: Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?
( ) -геометрическая прогрессия
Искомое количество клеток найдем по формуле n-го члена геометрической прогрессии.
b=a; q=2
Найти:

                Решение: =
=
=
=
Ответ: в десятом поколении дрожжевых клеток станет .

Эпиде́мия (греч. ἐπιδημία — повальная болезнь, от ἐπι — на, среди и δῆμος — народ) — широкое распространение инфекционных болезней среди людей или среди животных, значительно превышающее обычно регистрируемый на данной территории уровень заболеваемости.

Задача №3: Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится каждый час?
 ( )- геометрическая прогрессия
=1; q=2.
Найти:
               Решение: =
=
=
=1023
Ответ: через 10 часов бактерий куриной холеры будет 1023.

Задача№4:  Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека? ()- геометрическая прогрессия
 = 1; q= 4.  
Найти =341, где k – порядковый номер дня, когда все в поселке заболеют.
              Решение: =
                341=1  
=341
Так как, =256, а =1024, то человек заразит  всех в поселке уже вначале 5-го дня .
Ответ: 5 дней.

Гомеопатия — терапевтический метод лечения, разработанный великим немецким врачом и ученым Самуилом Ганеманом (1755-1843). В основе гомеопатии лежит принцип подобия — вещество, способное в больших дозах вызывать определённые симптомы в организме, в малых дозах способно похожие симптомы лечить, т.е. подобное лечится подобным.

Задача №5: Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

 ()- арифметическая прогрессия
 = 5
d=5    
: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Найти :
                 Решение : а=а1+d(n-1)  
                 40=5+5(n-1),     

              n=8 

S n ;    
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период.  Всего он принял 180+40+180=400 (капель), тогда всего больной выпьет  400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька. 

7. Задачи в  разных сферах человеческой жизни

7.1 В спорте:

Задача №1: В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

             Решение: Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию   (а), первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов  ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

     (1,5+0,5n)∙n =14

D=9+112=121

 – не подходит по смыслу

Ответ: допущено 4 промаха.

Задача №2: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение: 

(a)- арифметическая прогрессия.

 a1=1400;  d= -100,  Sn=5000.

 Надо найти n.

10000= (2800-100 n+100) n;

100 n2-2900 n+10000=0;  

 n2-29 n+100=0;

 n=25,  n=4.                                      

 n=4   ( при n=25  аn=-1000, чего быть не может)

Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

7.2. В физике

Задача №1: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 4 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

Решение: (b)- геометрическая прогрессия, в которой b=760, q=0,8,

 n=4

Необходимо найти b.

Ответ: через 4 движения поршня давление внутри сосуда станет равным 389,12 мм.рт.ст.

Задача №2: Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Решение:  (b)-арифметическая прогрессия, в которой b=7, d=3. Найти необходимо b.

Ответ: за 8 секунду тело пролетит 28 метров.

7.3. О финансовых пирамидах.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение:

 Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

7.4. Прогрессии в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

 ...Не мог он ямба от хорея,

 Как мы не бились отличить...

 Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...                                          A.С. Пушкин  

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                    

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...                                           Б.Л.  Пастернак

«бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5; 7.                        

     А.С. Пушкин.

Работая над этим проектом, мы пришли к выводу, что задач с практическим содержанием на прогрессии образуют  огромное множество.

Мы решили некоторые из них вставить в проект для самостоятельного  решения:

8. Задачи с практическим содержанием

1. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

2. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

3. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.), а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е.. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 и 4/9 у. е.. Сколько колец было установлено?

4. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

5. Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей.  Цены марок  составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой?

6. В первом ряду кинотеатра 21 кресло, В каждом последующем ряду на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду?

7. Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4см. Периметр многоугольника равен 75см, а наибольшая сторона равна 23см. Сколько сторон имеет данный многоугольник.

8.  Задача Фибоначчи.  Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

9.  Задачи о семи старухах. Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?

 11. Шли семь старцев. У каждого старца по семь костылей; на каждом костыле по семь сучков; на каждом сучке по семь кошелей; в каждом кошеле по семь пирогов; в каждом пироге по семь воробьёв. Сколько всего воробьёв?

12. Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

13. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

14. Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян. а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика  через 10 лет при условии, если он размножается  беспрепятственно по геометрической прогрессии?  Хватит ли этим растениям на  11-й год места  на поверхности  суши земного шара?

15. При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

16. Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

17. Из «Арифметики» Магницкого. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

18.  Из «Арифметики» Магницкого. Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

19. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А.. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий         15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

20. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая каждый месяц 10-ю рублями меньше, чем в предыдущий. Сколько он уплатил в первый месяц и во сколько времени погасил весь свой долг, если в последний месяц ему пришлось отдать 40 р.?

21. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А . Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела  встретятся?

22. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А. Числа   градусов,    содержащихся   в       последовательных  внутренних   углах  некоторого многоугольника, составляют прогрессию,  разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон?

23. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 16,1 фута, а в каждую следующую на 32,2 фута больше, чем в предшествующую. Если два тела начали падать с одной высоты, спустя 5 секунд одно после другого, то через сколько секунд они будут друг от друга на расстоянии 724,5 фута?

24.  За просроченный платеж в 3 млн. р. фирма должна платить пеню в размере 5% ежемесячно от суммы платежа. Сколько должна будет выплатить фирма за трехмесячную задержку?

25. Считая, что костюмы ежегодно дорожают на 50%, определите, сколько будет стоить через два года костюм, стоивший изначально 500 р.?

26.  Расстояние между движущимися навстречу автомобилями было равно 21 км. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль за каждую минуту проходит 1 км, а второй в первую минуту прошел 200 м, а в каждую последующую минуту - на 100 м больше, чем за предыдущую?
    
27. Юноша подарил девушке в первый день 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если 1 цветок стоит 10 рублей?
    
28. Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?
    
29. При подготовке к экзамену ученик каждый день увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 3 по 6 мая включительно он решил 24 задачи, а с 5 по 10 мая - 72 задачи. Сколько задач ученик решил с 3 по 10 мая включительно?
    
30. Гомеопатическое лекарство принимают по следующей схеме: в первый день 3 капли, а в каждый последующий на 2 капли больше, пока доза принимаемого лекарства не будет доведена до 25 капель. На следующий день принимают 25 капель и снижают дозу на 2 капли в день, пока она не дойдёт до 3 капель. Сколько капель лекарства примет больной за весь этот курс лечения? 
    
31. Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?
    
32. В течение календарного года зарплата каждый месяц повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900 р., а за сентябрь, октябрь и ноябрь - 10 350 р. Найдите сумму зарплат за весь год.
    
33. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 - в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?
    
34. При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1 по 8 июня включительно увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 1 по 4 июня включительно он решил 24 задачи, а со 2 по 6 июня - 45 задач. Сколько задач ученик решил 8 июня?
    
35. При испытании нового самолёта первый полёт проводился в течение 2 часов, а затем ежедневно длительность полёта увеличивалась на 30 минут. Всего в процессе испытаний самолёт должен налетать 200 часов. Сколько дней  продлятся испытания?
    
36. При вывязывании детали жакета начинают с ряда, в котором 90 петель, а затем убавляют в каждом ряду по 2 петли с каждого края ряда, пока в ряду не окажется 10 петель. Вязальщица за одну минуту делает 30 петель. Сколько минут займёт у неё изготовление этой детали?
    
37. Токарь ежедневно вытачивал по 160 деталей, а его ученик, обучаясь, каждый день изготавливал на 10 деталей больше, чем в предыдущий день, и в пятницу сделал за день столько же, сколько и его мастер. Сколько деталей выполнили вместе ученик и его мастер с понедельника по пятницу?
    
38. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее кольцо платили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость установки одного кольца оказалась равной 2244  руб. Сколько колец было установлено?
    
39. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
    
40. В соревнованиях по волейболу участвовало п команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру выигравшей команде засчитывалось одно очко, за проигрыш очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяснилось, что набранные командами очки образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?
    
41. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найти площадь седьмого квадрата.
    
42. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
    
43. Вкладчик 1 января 2005 г. внес в сберегательный банк 3000 рублей. Какой стала сумма его вклада на 1 января 2007 г., если Сбербанк начислял ежегодно 12% от суммы вклада?
    
44. На куб со стороной а,  поставили куб со стороной , на него куб со стороной , затем куб со стороной  и т.д. Найти высоту получившейся фигуры.
    
45. Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?
    
46. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?
    
47. Внутренние углы треугольника являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, у которой разность равна . Найти эти углы.
    
48. На международном шахматном турнире в Будапеште в 1986 г. первое место занял знаменитый русский шахматист Чигорин. Участники турнира играли друг с другом один раз. Всего было сыграно 78 партий. Сколько шахматистов участвовало в этом турнире?

49. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

50. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

51. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

52. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

53. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

            54. В первый год строительства нового микрорайона в него прибыло

250 жителей. Районная управа планирует, что по мере сдачи новых домов, число прибывших жителей ежегодно будет увеличиваться в 1,4 раза по сравнению с прошлым годом. Сколько жителей поселится в микрорайоне по данному плану за первые четыре года строительства?

55. Компьютерная игра состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 20 баллов. Кроме того, начисляются премиальные баллы по следующей схеме: 5 баллов за второй уровень, а за каждый следующий уровень на 5 баллов больше, чем за предыдущий. Игрок прошел несколько и набрал 650 баллов. Сколько баллов он получил на последнем пройденном уровне?

56. На каждый  из нескольких опытных участков внесли по два удобрения. Первое вносили по 3,5 кг на каждый участок. Второе удобрение вносили по такой схем: 05, кг на первый участок, а на каждый следующий участок на 05, кг больше, чем на предыдущий. Всего внесли 46 кг удобрений. Сколько килограммов удобрений внесли на последний участок?

57. Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т.д.».  Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца. Насколько покупатель проторговался?

9. Заключение 

В ходе выполнения данного исследования, нами был проведен анализ учебников и задачников по математике для 9 класса, а также другой дополнительной литературы; сделана подборка задач с практическим содержанием по теме «Прогрессии». Помимо усвоения учебного материала мы в полной мере  осознали практическую значимость этого материала, зная формулы арифметической и геометрической прогрессий можно решать различные старинные задачи и современные задачи  по данной теме. 

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы поняли, к своему удивлению, что прогрессии встречаются  в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе и в других жизненных ситуациях.

Основополагающий вопрос, поставленный  нами вначале проекта, получил исчерпывающий ответ в ходе нашей работы.  Действительно,  прогрессии имеют огромное  практическое значение во многих сферах  жизни человека. Отсюда можно сделать вывод, что и арифметическая и геометрическая прогрессии – это мощное орудие для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни.

Кроме этого, мы выявили  интересные факты о прогрессиях составили презентацию «Прогрессии вокруг нас». Нам было интересно этим заниматься. Наш проектный продукт может быть полезен учащимся и учителям.

Выводы.

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения  понятия прогрессии; выявление интересных фактов  о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

Мы получили опыт проектной деятельности. В ходе работы над проектом у нас основное развитие  было направлено на мыслительную деятельность, связанную с логическими операциями, развитие творчества,  ответственности.

Кроме знаний по математике, мы расширили свои  навыки  в области информатики. В ходе проектной деятельности развивались общеучебные умения и навыки.

9. Использованная литература                          

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. –
2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009
3. Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008
4. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;
5. ЕГЭ математика учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся (Интеллект-Центр, 2006)
6.     Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
7. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989
8. ЕГЭ 2010, математика сборник заданий. В.В. Качагин, М.М. Качагина. Москва ЭКСМО 2009
9. Сборник задач по алгебре 7-9 М. В. Ткачева, Р.Г. Газярян. Москва «Просвещение» 2007
10. Газеты для учителя математики, приложение к журналу «1 сентября»

11.  Интернет – ресурсы.