Творческая работа по математике "Теорема Чевы", 9 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №22

Творческая работа по математике

«Теорема Чевы»

                                       Выполнила:

                                                                             ученица 9-д класса школы№22

                                                             Штанина Екатерина.

                                                          Научный руководитель:

                                                             учитель математики

                                                                              Кандыба Светлана Борисовна

Ковров

2012

Оглавление:

1. Введение                                                                                                              2
2. Понятие чевианы                                                                                                2
3. Теорема Чевы                                                                                                      3
4. Обратная теорема Чевы                                                                                     4
5. Новые определения медианы, высоты и биссектрисы треугольника;

     Доказательства свойств медиан, биссектрис и высот треугольника с   помощью обратной теоремы Чевы                                                                     5-6

6. Сравнение новых определений и доказательств со школьными                   7
7. Заключение                                                                                                         7
8. Литература                                                                                                          8

 В школьном курсе геометрии рассматриваются определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Мы знаем, что медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны; биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны; высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Кроме этого на уроках геометрии мы доказывали свойства медиан, биссектрис и высот треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке. Однако, эти определения  и доказательства свойств достаточно громоздки.

     Оказывается, в геометрии есть понятие, с помощью которого определения медианы, высоты и биссектрисы треугольника, а также доказательства их свойств выглядят проще и компактнее. Таким понятием является чевиана.

     Чевиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой противоположной стороны. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни де Чева, который в 1678 году опубликовал свою теорему.

В данном треугольнике АВС ВХ-чевиана

Рассмотрим теорему (Чева, 1678г)

     Если три чевианы треугольника,  по одной из каждой вершины, пересекаются в одной, общей для них, точке, то справедливо равенство: = 1.

Доказательство:

     Рассмотрим две пары треугольников с общими для каждой из них основаниями: ∆ АВХ и ∆АСХ- первая пара, ∆PBX и ∆PХС – вторая пара.

Площади этих треугольников находятся по формуле:S = аh.

S∆ABX = BXha  (1)                                           S∆ACX=CXha   (2)

 S ∆PBX= BXhp  (3)                                          S∆PCX= CXhp   (4)

Вычтем из равенства 1 равенство 3 , из равенства 2 равенство 4.

S∆ABX  - S ∆PBX = BXha - BXhp ,

BX =.

S∆ACX - S∆PCX  =  CXha - CXhp,

CX =.

Подставив полученные выражения в условие, мы получим:

 = =.

     В правой части стоит отношение площадей треугольников, для которых ВХ и СХ не являются основаниями.

     Повторяя аналогичные рассуждения в двух других случаях: для отрезков АУ и УС, AZ и ZB, мы приходим к следующим равенствам:

 =    ;           =

Перемножим левые и правые части полученных равенств:

 = =1.                             

Теорема доказана.

Верна так же и обратная теорема.

Если три чевианы АХ, ВУ и CZ треугольника АВС удовлетворяют соотношению

 = 1, то они проходят через одну точку.

Доказательство:

   Докажем от противного.

Пусть чевианы удовлетворяют соотношению  = 1;

Две из них АХ и ВУ проходят через точку Р, а третья чевиана CZ не проходит через точку Р. Тогда проведем новую чевиану , которая будет проходить через точку Р.

В этом случае, на основании прямой теоремы Чевы, будем иметь:

= 1.

Из двух равенств находим:

=      и      = .

Левые части последних двух равенств совпадают, следовательно правые части равны:

=

Это означает, что точки Z и делят сторону АВ в одном отношении. А потому точка Z и точка  совпадают, т.е. чевианы АХ, ВУ и CZ проходят через одну точку.

Теорема доказана.

С помощью понятия чевианы, теоремы Чевы и обратной теоремы можно сформулировать определения и доказать свойства медиан, биссектрис и высот треугольника.

Медиана- это чевиана, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойство медианы:

Медианы треугольника проходят через одну точку.

                                                                                    Дано: ∆АВС,

                                                                                              АХ, ВУ и CZ – медианы

                                                                                    Доказать: АХ  ВУ CZ = О

Доказательство:

Для доказательства утверждения достаточно проверить справедливость соотношения: =1, которое в силу равенств ВХ=ХС, СУ=УА, AZ=ZB превращается в тождество. На основании обратной теоремы Чевы заключаем, что медианы треугольника проходят через одну точку, что и требовалось доказать.

Высота - это чевиана, перпендикулярная противоположной стороне.

Свойство высоты:

Три высоты в треугольнике проходят через одну общую точку.

                                   Дано: ∆АВС,

                                                          АХ, ВУ, CZ – высоты

                                                              Доказать: АХВУCZ  = P

Доказательство:

Проведя высоты, мы получили шесть прямоугольных треугольников, из которых найдем выражения отрезков, участвующих в «равенстве Чевы» через стороны треугольника.

Из  ∆АВС находим ВХ=ВА cosB

Из ∆АСХ находим ХС=AC  cosC

Из ∆ВСУ находим СУ=BC  cosC

Из ∆ВАУ находим УА=BA  cosA

Из ∆CAZ находим AZ=AC cos A

Из ∆CBZ находим ZB=BC  cos B

Полученные выражения отрезков подставим в «равенство Чевы»:

=

На основании обратной теоремы Чевы заключаем, что высоты в треугольнике проходят через одну точку, что и требовалось доказать.

Биссектриса – чевиана треугольника, делящая его угол пополам.

Свойство биссектрисы:

Три биссектрисы треугольника проходят через одну, общую для них точку.

                                    Дано: ∆АВС

                                                                               АХ, ВУ, CZ-биссектрисы

                                                                Доказать: АХВУCZ  = P

Доказательство:

Известна теорема: биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Это позволяет нам записать:= ;    ;    . Эти выражения подставим в « равенство Чевы»  и представим в следующем виде:

=  = 1.

На основе обратной теоремы Чевы заключаем, что биссектрисы в треугольнике проходят через одну общую для них точку, что и требовалось доказать.

 Таким образом, мы можем сравнить полученные определения медиан,  биссектрис и высот треугольника с исходными.

   Видим, что полученные определения проще и компактнее тех, которыми мы пользуемся на уроках. Также приведенные свойства и доказательства свойств медиан, высот и биссектрис треугольника более удобны и понятны.

   В заключении хотелось бы отметить - очень жаль, что теорема Чевы не вошла в школьный курс геометрии, так как её преимущества очевидны.

Литература:

1. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. Часть 1.-2-е издание, перераб.доп.-М.:Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1991.
2. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/под общей ред. О.Г.Ханн.-М.ООО «Издательство АСТ-ЛТД», 1998.
3. Журнал «Квант» №10,1985.
4. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые.- 3-е изд. – М.:МЦНМО,2000.
5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.:Просвещение,2003.