Золотое Сечение

Понятие о «золотом сечении» Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и «золотым сечением». И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к какому-либо объекту может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван его красотой. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип «золотого сечения» - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

По своей природе термин «золотое сечение» в первую очередь относится к математическим понятиям, так как его сущность определяется неким соотношением. Так что же такое «золотое сечение»?

«Золотое сечение» – это гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении, - деление отрезка AB на две части таким образом, что большая его часть AC является средней пропорциональной между всем отрезком AB и меньшей его частью CB. Математики установили, что примерное значение идеальной пропорции «золотого сечения» равняется 1,618... Полученное значение есть знаменитое число «фи», названное так американским математиком Марком Барром по первой букве имени великого скульптора Фидия, который, по преданию, использовал «золотое сечение» в своих работах.

Глава 1 История развития «Золотого сечения»

История «Золотого сечения» - это история человеческого познания мира. Понятие «Золотое сечение» прошло в своем развитии все стадии познания. В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э., где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида х(а+х)=а². Евклид применял «золотое сечение» при построении правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III век) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне, они были известны только посвященным. После Евклида исследованием «золотого сечения» занимались Гипсикл (II век до н.э.), Папп Александрийский (III век н.э.) и другие. Несомненно, что «золотое сечение» было известно еще и до Евклида. Первая ступень познания - открытие «золотого сечения» древними пифагорейцами. От простого созерцания действительности они перешли к выражению его в мире чисел. Им приписывают построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильные решению квадратных уравнений. Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза – религиозной секты во главе с Пифагором. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Гармония заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. Пятиконечная звезда – пентаграмма – очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны. Ее красота, оказывается, имеет математическую основу.

В целом все первые геометрические системы – эвклидова геометрия, теорема Пифагора – свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне. Наиболее известная пирамида Хеопса построена с использованием т.н. золотого треугольника, в котором соотношение гипотенузы к меньшему катету равно золотому сечению. Храмы, барельефы, предметы быта и украшения из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Эстетическим каноном древнегреческой культуры принцип «золотого сечения» стал благодаря Пифагору, который изучал в стране пирамид тайные науки египетских жрецов. Их результат воплощен в фасаде древнегреческого храма Парфенона (V век до н.э.).

«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе. При раскопках Парфенона обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Также с использованием золотого сечения созданы Афродита Праксителя и театр Диониса в Афинах. Платон (427-347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано (XIII век) добавил к 13 книге «Начал» предположение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезков и обеих частей его «золотого сечения».

В XV-XVI веках усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гете проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на котором была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала позвал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом. Лука Пачоли посвятил «золотому сечению» трактат «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями (1509 год). Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). Пачоли считают творцом начертательной геометрии. По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной. Эта идея была позже использована Иоганом Кеплером (1596 год), последняя книга которого так и называлась «Гармония Вселенной». Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Полагают, что иллюстрации к изданной в Венеции книге Луки Пачоли

« Божественная пропорция» сделал Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с числом φ, деление отрезка в отношении φ он назвал «золотым сечением». «Золотое сечение» или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, например, Капелла Пации во Флоренции архитектора Ф.Брунеллески (XV век).

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Систематизировать знания по золотому сечению и придать им четкую арифметическую форму фундаментальной пропорции мироздания удалось уже только в наше время. Большая роль в исследовании золотого сечения принадлежит украинскому учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого века обосновавшему базис нового учения о гармонии систем, должного стать, по его мнению, основной интегрирующей наукой XXI века. Ощутимый прорыв в современных представлениях о природе формообразования биологических объектов сделал в начале 90-х годов украинский ученый Олег Боднар, создавший новую геометрическую теорию филлотаксиса. Весной 2003 г. российский физик-теоретик Юрий Владимиров открыл принцип золотого сечения в структуре атома. Довольно известны, например, работы российского ученого Харитонова об экономическом развитии российских регионов и страны, в целом исходя из принципов золотого сечения. Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа оптимальных стратегий.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором выстроил такой ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д., известный как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Глава 2 «Золотое сечение» в архитектуре

Золотое Сечение в архитектуре

Есть основание для предположения, что в эпоху Возрождения архитекторы не пользовались «золотым сечением», так как о нем не говорят теоретики архитектуры итальянского Ренессанса, кроме математика Луки Пачоли и Леонардо да Винчи. Последний хорошо знал средневековую арабо-язычную науку в латинском переводе. В его записных книжках имеются геометрические построения, совпадающие с геометрическими построениями ученых стран Востока: ал-Кинди, ал-Фараби, Абу-л-Вафа Бузджани, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсама. Там же упоминаются ал-Кинди, Сабит ибн Корра и автор обработки: «Оптики» Ибн ал-Хайсама. О них же, очевидно, знал и математик Лука Пачоли, который обще значимость учения о пропорциях видит и в физико-математических явлениях (говоря о зависимости между болезнью и лечебными средствами, питанием и затрачиваемой энергией, он воспроизводит мысли Галена, Гиппократа, Фараби и Авиценны.

В новое время гармония в архитектуре не связана с космологическими представлениями, тем не менее, вопросы архитектурных пропорций продолжают интересовать теоретиков и практиков архитектуры, философов и искусствоведов.

В 50-х годах позапрошлого столетия Адольф Цейзинг объявляет «золотое сечение» в природе и искусстве основным морфологическим законом. Взгляды Цейзинга оказали большое влияние на развитие теории пропорций в XIX-XX вв. Появляются труды Тирша, Шмидта, Шульца, Месселя, Нейферта (Германия); Робертсона, Хембиджа, Гарднера (США); Роберса, Лессера (Англия); Гика, Тексье, Люрса (Франция); Лунда и Кука (Норвегия) и др.

Ученые не только занимаются исследованием соразмерностей архитектурных памятников и предметов прикладного искусства античной Греции и средневекового Запада, но и стремятся осмыслить выявленные в результате анализа закономерности в свете теории композиции. Исследования Гика, основанные на анализах соразмерностей памятников, выполненных Хембиджем, Лундом и Куком, позволили ему прийти к выводу о необходимости разработки «эстетической геометрии», чему посвящена его книга «Эстетика пропорций в природе и искусстве».

В период послевоенного восстановления разрушенных городов в странах Европы возрос интерес к пропорциям в пластических искусствах и архитектуре как к научной проблеме, имеющей большое значение для архитектурно-художественной практики. В 1951 г. в Милане созывается первый международный конгресс, посвященный пропорциям, с участием архитекторов, художников, философов, искусствоведов, математиков. На конгрессе выступали с докладами и научными сообщениями: проф. Рудольф Виттковер (Лондон) — «Теория пропорций в средние века и в эпоху Возрождения»; проф. Матил Гика (Париж) — «Пятиугольная симметрия и золотое сечение в морфологии живых организмов»; д-р Джемс Аккерман (США) — «Пропорции и геометрические конструкции Миланского Собора 1400 г.»; д-р Функ Хеллет (Франция) — «Божественная пропорция в живописи эпохи Возрождения»; Чезаре Баирати — «Геометрия древних греков и применение несоизмеримых (иррациональных) соотношений в классической архитектуре в VI-IV веках до нашей эры, соответствующих теории Хембиджа»; проф., д-р Андреас Шпейзер (Базель) — «Пропорции и орнамент»; проф. Ганс Кайзер (Берн) — «Гармония в растительном мире»; проф., д-р Зигфрид Гидион (Цюрих) — «Целое и части в современном искусстве»; инженер Луиджи Нерви (Рим) — «Пропорции в технических конструкциях»; архитектор Эрнесто Роджерс (Милан) — «Измерение и пространство»; Макс Билл (Цюрих) — «Идея в пространстве»; Г. Вантонгерлоо (Париж) — «Пропорции и симметрия с современной точки зрения»; Дж. Северини (Милан) — «Античные и современные гармонические отношения»; Карало Гидион-Велькер (Цюрих) — «Конструктивные пропорции в творчестве Пауля Клея». Судя по приведенной тематике, круг поднятых на конгрессе проблем охватывал вопросы пропорций в историко-теоретическом и в эстетическом аспекте и не затрагивал архитектурно-художественной практики стран Востока.

На этом конгрессе Лe Корбюзье прочитал лекцию на тему своей книги «Модулор — гармонический измеритель, основывающийся на размерах человеческого тела и применимый универсально к архитектуре и технике». Создание измерительного прибора «модулор» было основано на осмыслении необходимости организации в эпоху машинной техники предметно-пространственной среды, которая была бы соразмерна человеку не только в состоянии его покоя, но и в состоянии его движения. Это было нечто новое в трактовке понятия архитектурных пропорций. В то же время в оценке объективных качеств пропорций автор оставался на позициях Адольфа Цейзинга, т. е. отдавал предпочтение отношениям «золотого сечения», поскольку ими выражены пропорции человеческого тела.

Исходными параметрами для измерительного прибора «модулор» принята средняя величина человеческого роста — 6 футов, или 182,9 см, и высота человека с поднятой рукой — 226 см. Та и другая величина, последовательно поделенные в среднем и крайнем отношении, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,618 — измерительную шкалу: в первом случае «красную», во втором — «синюю». Шкала выражена как в системе метрической, так и в антропометрической, т. е. в футах и дюймах, поскольку обе эти системы сосуществуют в метрологии многих стран и народов. Главная задача создания измерительного прибора «модулор» заключалась в облегчении применения пропорций, основанных на «золотом сечении», в архитектурном проектировании.

Русская архитектуроведческая наука уделила большое внимание проблеме архитектурных пропорций: одни ученые рассматривают проблему с позиций историко-теоретических, другие — как теорию композиции в современной архитектурной практике и технической эстетике.

Профессор Г. Д. Гримм, представитель старшего поколения русских ученых, многие годы жизни посвятил исследованию проблемы архитектурных пропорций. Диапазон исследований ученого широк. По времени он охватывал период от египетской древности вплоть до 30-х годов прошлого века. Исследованием охвачены сотни объектов архитектуры. Гримм, сторонник превосходства системы «золотого сечения» над другими системами архитектурного пропорционирования, уделил внимание математическому аспекту прогрессии «золотого сечения» и рекомендациям применения системы в современном проектировании.

И. В. Жолтовский, крупный мастер русской архитектуры, известный и как теоретик, в своем творчестве руководствовался не только художественной интуицией, но и системой «золотого сечения», которой он, так же как и Гримм, отдавал предпочтение. И. В. Жолтовский прекрасно понимал, что ряд «золотого сечения», имеющий быстрый темп роста, не удовлетворял зодчего, когда ему был необходим более медленный темп — более плавные переходы и пропорциональные отношения. Поиски удовлетворительного решения приводят к «открытию» производных «золотого сечения». Для получения первой производной Жолтовский поступает следующим образом: от большого отрезка минусуется малый, остаток делится в среднем и крайнем отношении, тогда исходный отрезок членится на отношение 528:472. Тем же способом получена вторая производная 507:493. Эти новые производные Жолтовский назвал функцией «золотого сечения».

И. В. Жолтовский не «отрывал» метода пропорционирования от других сторон творчества зодчего. Найденные в процессе проектирования пропорции он анализировал, пользуясь отношениями «золотого сечения» и его производных.

Глава 3 «Золотое сечение» в природе

3.1 «Золотое сечение» в природе

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения. Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число α. Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных, а также явление филлотаксиса.

3.2 Филлотаксис

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал ученый Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто смешивают.

Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первый взгляд, кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях листорасположения.

Существует несколько способов листорасположения. В первом листья побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель - числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом отросших на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

Оказалось, что каждое растение характеризуется своим листорасположением.

Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу j = 0,61803…

Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.

При изменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев. Формула 1/2 характеризует двурядное расположение листьев под углом Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе друг от друга. При формуле 1/3 угол между листьями будет , а при формуле 2/5 - и т.д. В предельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотой пропорции - 0,38196… угол расхождения листьев станет равным Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе , который был назван «идеальным» углом, или углом золотой пропорции ( =Ф2). Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза.

3.3 Принципы формообразования в природе

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

Рис. 5. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно.(Рис. 6) От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

Рис. 6. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

Рис. 7. Ящерица живородящая

В ящерице (Рис. 7) с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия.

При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.

Систолическое давление крови в аорте равно 0,382 , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечно диастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4 , что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы представленной ниже.

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же

за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

Высота лица / ширина лица,

Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

Ширина рта / ширина носа,

Ширина носа / расстояние между ноздрями,

Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения 4

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. Принципу Золотого Сечения подчинены и периоды обращения планет Солнечной системы.

Строение всех встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле. Это является самым ярким доказательством их осознанной сотворенности согласно некоему проекту, замыслу. Формула золотого сечения и золотые пропорции очень хорошо известны всем людям искусства, ибо это главные правила эстетики. Любое произведение искусства, спроектированное в точном соответствии с пропорциями золотого сечения, являет собой совершенную эстетическую форму.

По этому закону Великого Божественного Творения созданы галактики, сотворены растения и микроорганизмы, тело человека, кристаллы, живые существа, молекула ДНК и законы физики, тогда как ученые и люди искусства лишь изучают этот закон и стараются подражать ему, воплощать этот закон в своих творениях.

Вне сомнения, что все в нашем мире, в окружающей нас жизни сотворено Всевышним Господом без какого либо подобия. Тогда как люди только копируют и подражают примерам, существующим в природе, которые Он сотворил.

Мы лишь воспроизводим с большей или меньшей степенью мастерства подобия совершенства форм жизни, что окружают нас повсеместно.

Глава 4 «Золотое сечение» в фотографии

Существует несколько правил для получения визуально гармоничных фотографий. Наиболее популярным и полезным является правило «золотого сечения». Разработанное живописцами, это правило действует по принципу, что если вы делите изображение в соотношении 2:1, композиция обретает законченность.

Всё, что необходимо для применения этого правила - разделить видоискатель вашей камеры на 9 секторов воображаемыми вертикальными и горизонтальными линиями - своеобразную решетку. Затем вы можете применять эту решетку для расположения наиболее значимых элементов композиции. Если присутствует очевидный центр композиции (например, единственное дерево в поле, красный цветок среди желтых или лодка, дрейфующая на морских волнах), вам следует расположить ее на одном из четырех пересечений решетки, таким образом, чтобы она была на треть сверху или снизу рамки и на треть с каждой стороны. Можно использовать любую точку, но, располагая объект таким образом, вы автоматически получаете наиболее выигрышную композицию, чем при условии, когда точка фокусирования расположена любым другим способом.

Вертикальные линии решетки можно также использовать для разделения рамки по вертикали. Если вы, например, снимаете строение в промежутке между деревьями, расположите его между деревьями на одну треть, отступив от левого края изображения, а здание - на одну треть от верхнего края. Таким образом, глаз будет непроизвольно следовать между деревьями и фокусироваться на строении. Когда солнце заходит за горизонт на море, на поверхности воды образуется световая линия бликов, играющая роль рамки и разделяющая композицию. Естественным побуждением было бы расположить отражение ниже середины видоискателя камеры, но расположение его в соответствии с правилом «золотого сечения» будет более эффектным. И, наконец, при фотографировании ландшафта многие фотографы имеют обыкновение располагать линию горизонта по центру. Но если это хорошо смотрится на абсолютно симметричных композициях, то при зеркальном отражении объекта, к примеру, на поверхности озера этого следует избегать, поскольку линия горизонта делит изображение на две равные части, в результате чего, получается слишком статичная и не интересная композиция.

Более эффектно использовать горизонтальные линии воображаемой решетки для определения места расположения линии горизонта. Размещение линии горизонта вдоль верхней линии решетки даст соотношение ландшафта и неба 2:1 и выделит передний план сцены, тогда как расположение по нижней линии решетки даст соотношение 1:2 и выделит небо. Не обязательно бездумно следовать этому правилу, но, в основном, чем дальше от центра видоискателя вы располагаете линию горизонта, тем лучше.

Правило «золотого сечения» используется преимущественно при съемке ландшафтов, натюрмортов и т.д. Но оно также полезно при съемке крупным планом и объектов, где присутствует центр композиции или естественное деление композиции. Несмотря на то, что правило «золотого сечения» оказывает существенную помощь при выстраивании композиции, никогда не вписывайте изображение в это или любое другое правило насильно. Это сделает вашу работу предсказуемой и, что гораздо хуже скучной.

Правило золотого сечения было известно еще строителям египетских пирамид, но оно не потеряло своей актуальности и теперь. Правило золотого сечения - основа гармоничной и легко воспринимаемой композиции - при фотографировании пейзажей в горах может быть применено с большим эффектом. Это возможно потому, что горные пейзажи зачастую содержат много наклонных и вертикальных линий, в дополнение к горизонтальным линиям, столь характерным для равнинных пейзажей. Формально, правило золотого сечения заключается в расположении линий и объектов не посередине кадра, а немного сбоку - так, что бы соотношение расстояний от, например, линии до ближней и до дальней границ кадра равнялось соотношению расстояния от линии до дальней границы к размеру всего кадра.

Для практического применения в фотографии часто бывает достаточно следовать правилу третей: например, расстояние этой линии до левой границы кадра равно удвоенному расстоянию до правой, и т. д. Очевидно, что в прямоугольном кадре легко насчитать четыре линии золотого сечения (правая, левая, верхняя и нижняя), и четыре точки золотого сечения, соответственно лежащих на пересечении этих линий. Почему надо помещать объект в линию или точку золотого сечения? Из психологии восприятия известно, что элемент сцены (камень, цветок, освещённое солнцем пятно на склоне горы), помещённые в точки золотого сечения, привлекают на себя внимание зрителя. Этим, безусловно, надо пользоваться для подчёркивания интересных, несущих смысловую нагрузку элементов сцены, или, наоборот, не помещать туда бессмысленные, несоответствующие художественному замыслу элементы, типа отцветшего цветка или валяющейся бутылки. С другой стороны, правило золотого сечения не должно быть догмой. Например, не стоит помещать береговую линию озера на уровень нижнего золотого сечения, если поверхность озера проецируется в кадр как монотонная серая полоса, занимающая целую треть кадра.

Центр внимания кадра и «вопрекизмы». Взгляд зрителя надо уважать. Это означает, что его нельзя заставлять мучительно блуждать по вашей фотографии от одного небрежно помещённого объекта к другому, в попытках понять, что тут более интересно - этот пень или тот камень? Иными словами, в вашей композиции должен быть центр внимания. Однако, недостаточно просто поместить некий объект в точку золотого сечения и уповать на психологию восприятия. Надо, чтобы вся композиция работала на «вежливое препровождение» взгляда зрителя к этому объекту. Что же именно должно быть в центре внимания? Всё, что смотрится красиво или необычно там, где вы снимаете.

Глава 5 «Золотое сечение» в экономике

В горах, из-за небольшого разнообразия композиционных элементов, всегда бывает легко (и очень полезно) «сменить материал» - например, показать цветок на фоне камней, или камень на фоне мхов, или кочку мха на фоне падающей воды, или, камень, о который разбивается струя водопада, и т. д. При поиске таких парных комбинаций можно руководствоваться вопросом: а что в пределах этой сцены есть такого, что растёт (стоит, лежит) вопреки давлению окружения? Дерево на камне – идеальный пример такого «вопрекизма». Запечатлённый пример такой «героической борьбы» всегда вызовет одобрение вашего снимка зрителем. Взглянув чуть более философски на задачу о центре композиции, можно сказать, что она, в конце концов, сводится к простому вопросу – что вы хотите сказать этим кадром? Постарайтесь ответить себе на этот вопрос, компонуя кадр (а не рассматривая его потом), и если ответа нет – лучше не снимайте его вообще.

Подчёркивание диагоналей. Траектория движения фокуса внимания зрителя редко бывает параллельно краям кадра, поэтому расположение отдельных линий сцены по диагоналям кадра воспринимается гармонично и позволяет связать содержимое кадра (например, передний и задний план) в единое целое. К сожалению, классический пример построения диагонали в равнинном пейзаже – дорога, выходящая из левого (или правого) нижнего угла и заканчивающейся где-то на горизонте (перспективная диагональ) - вряд ли будет работать в горных пейзажах по простой причине отсутствия в горах прямых дорог. Зато, для съёмки в горах более чем достаточно естественных диагоналей. Например, ею может стать наклонный пласт горной породы или сбегающий по нему поток воды наклонённая ветром ёлка или застрявшее в водопаде бревно. Для перспективной диагонали хорошо подойдёт тень от крутой скалы или отражение скалы в горном озере.

Художественная диагональ не есть диагональ геометрическая. Иными словами, она вовсе не обязательно должна пролегать строго из одного угла кадра в противоположный. Существует множество вариантов неполных диагоналей. Например, хорошие результаты также получаются при использовании диагоналей, идущих из угла в точку, делящей противоположенную сторону кадра в соотношении золотого сечения, или соединяющей точки золотого сечения, лежащие на противоположенных сторонах кадра и так далее, то есть, возможны многочисленные варианты.

Боковое оформление кадра. Иногда бывает очень хорошо поместить на левую или правую границу кадра какой-нибудь вертикальный объект (чаще всего – дерево, вертикальную стенку скалы и т. д). Делают это для того, чтобы внимание зрителя не уходило «за кадр», что часто бывает при подчеркивание нескольких диагоналей в одном направлении (например, из левого верхнего угла в правый нижний). Такое «сползание внимания» особенно актуально при отсутствии ярко выраженного центра внимания в кадре.

Статистические исследование макроэкономических структур показали проявление в экономической архитектуре действия Закона Золотого сечения.

Известный канадский эксперт по вопросам солнечно-земных связей, лауреат премии Калифорнийского института циклов Теодор Ландшейдт сказал, что после того, как он открыл проявления золотого сечения в динамике Солнца, то осознал: «Золотое сечение – это не только эстетические пропорции, важные для мира искусства, но и всеобъемлющий космический принцип».

Множество количественных статистических наблюдений обнаружило действие некого закона, ранжирующего количественные характеристики в ряд, логарифм которого образует прямую линию. Так, Жорж Кинг слей Зипф (1902–1950), построив иерархический ряд количества городов по одинаковому размеру, обнаружил, что логарифм ряда создает прямую линию. Аналогичные проявления действия некого закона находили и в других статистических наблюдениях, среди которых касающийся экономики принцип Парето. Вместе с законом Лотка, законом Брадфорда и т. п., они были объединены в Закон силы (power-law). Изобретатели указанных закономерностей не провели аналогию своих изобретений с законом золотого сечения, хотя, мы считаем, более детальное рассмотрение статистических находок могло доказать, что между Законом силы и Законом золотого сечения отличия нет. Ведь любой ряд чисел, где следующая величина изменяется относительно предыдущей на какую-то постоянную величину (индекс), может быть сгруппирован с получением нового ряда, где два соседних числа ряда будут формировать золотую пропорцию.

Приведенные примеры в природе и в статистических закономерностях указывают на то, что любая система подпадает под действие универсального закона структурирования, что и дает ей возможность динамически развиваться с минимальными затратами энергии. И, как показали наши исследования, экономические системы тоже не является исключением из правил.

Теодор Ландштейдт, который нашел проявления ЗЗС не только в солнечных циклах и солнечном ветре, геомагнитных бурях, климате и температуре, но и в экономических циклах, был уверен, что циклы имеют внутреннюю структуру, и в них можно найти универсальные пропорции и получить ключ к предвидениям.

Действительно, расчеты, проведенные нами по статистическим данным США, показали, что за период с 1929 по 2003 г. фактический тренд реального ВВП, имея усредненный темп прироста – 3,3%, за период каждого пятнадцатилетнего циклического прироста увеличивался относительно базового 1929 г. почти в полном соответствии с рядом золотой пропорции. Таких циклов, оказалось, пять, однако и они являются промежуточными фракталами относительно более мощного цикла.

Найденная закономерность дает ключ лишь к долгосрочным прогнозам, в то время как в среднесрочном периоде, а тем более в краткосрочном, трендовая динамика почти ничего не дает, поскольку необходимым становится еще один ключ, что позволит прогнозировать отклонение от указанного тренда.

Если пропорции золотого сечения действительно являются высшим проявлением структурного совершенства, то они должны иметь свое проявление и в экономической архитектонике.

Действительно, эмпирические исследования подтверждают тот факт, что и экономические пропорции подпадают под действие универсального закона как на уровне мировой экономики, так и на макро- и микроуровнях отдельных стран. Если на уровне мировой экономики это наблюдается в группировке стран по уровню ВВП (по паритетам покупательной способности) на душу населения, то на уровне отдельных экономик – в структурировании предприятий по уровню производства, в распределении валового располагаемого дохода между институциональными секторами экономики, в дифференциации доходов населения.13

Безусловно, что дальнейшее исследование законов гармонизации экономических пропорций может доказать множество других проявлений действия ЗЗС, особенно в случаях, когда есть самоорганизация экономических систем. И наоборот, целевое и не всегда оправданное вмешательство разных институций в формирование экономических структур ,ведет к нарушению ее самоорганизации, что может привести к ухудшению способности системы к само воспроизводству и развитию, в чем можно было убедиться во время трансформационного кризиса в Украине и в 2005 г., когда бюджетное перераспределение доходов привело к значительному структурному сдвигу в доходах институциональных секторов экономики на пользу домохозяйств, что быстро ввело экономику в инвестиционный кризис и в процесс торможения экономической динамики.

Как показывает статистический анализ, золотые пропорции можно найти в экономике любого уровня, а также в структуре любых экономических циклов. Отсюда перспективным становится комплексное исследование структур геофизических и экономических глобальных циклов, а также их влияния на экономические процессы в отдельно взятых странах. Полученные находки позволят в малом фрактале рассмотреть целое и наоборот, что даст ключ к оценке ситуаций и прогнозированию. Моделирование экономической динамики с учетом влияния абсолютных отклонений от золотых пропорций от фактических показывает отрицательное влияние этих отклонений на стабильность развития.

Ярким примером рецессивного действия искривления золотых пропорций на экономику и позитивную роль их гармонизации в восстановлении роста является трансформационный украинский кризис и выход из него. Ведь в течение кризисного падения происходили самые значительные искривления в макроструктурных пропорциях ВВП, а именно в распределении первичных и валового располагаемого дохода между институциональными секторами экономики, что привело к нарушению пропорции, определяющей стабильность развития – между потребительскими затратами и капитал образованием. В результате указанных искривлений произошло сокращение объемов инвестиций в сферу производства и развития человеческого капитала. Также имела место значительная потеря бюджетных средств – вследствие направления ресурсов на поддержку фактически обанкротившихся предприятий. Масштабность ресурсных потерь была впечатляющей и стала одной из главных предпосылок углубления и пролонгации экономического кризиса в стране.

Заключение

Поиск совершенства в передаче на полотне или в камне изображения человека еще в древние времена выработал стандарты, критерии и нормы исследования органического мира. На смену стихийности, спекулятивным домыслам, фантазиям и суевериям постепенно пришла установка на объективное, доказательное, эмпирически обоснованное знание. Накопительная биологическая работа в XVI-XVII вв. значительно расширила сведения о морфологических и анатомических характеристиках организмов. Следствием накопительной работы является развитие теоретического компонента биологического познания - выработка понятий, категорий, методологических установок, создание первых теоретических концепций, призванных объяснить фундаментальные характеристики живого. И одной из универсалей такой важной характеристики, как гармоничность объектов природы, стал принцип «золотого сечения», применение которого в различных сферах деятельности людей прослеживается уже в течение нескольких столетий.

Многие художники, особенно работавшие в пластических искусствах, ведомые интуицией, ощущением "жара холодных числ", чувствовали, что в гармонии с присущими ей общими законами соразмерности, законами соотношения единого целого и его частей действует его величество Число. Причем число в пифагорейском смысле - как выражение сущности. Это число, равное примерно 1,62, воспринимаемое нами как эталон привлекательности и гармонии, является основным природным механизмом, помогающим наиболее полно черпать информацию из окружающего мира.

Литература

А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” – М.: Школа-Пресс, 1998
Библиотека Мошкова. Лаврус В. Золотое сечение; n-t/tp/iz/zs.htm
Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964
Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.
Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М.: Мир, 1989
Журнал «Квант», 1973, № 8.
Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.
Информация из интернета сайта http://www.ed.vseved.ru/
Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Высшая школа, 1989. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998
М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” – М.: Мир, 1971
Медицинская газета. Золотое сечение «Давида». Дата выпуска: 05.11.2004. Номер выпуска: 087.
Московская правда / Зазеркалье N187. Дата выпуска: 20.09.2008. Номер выпуска: 203.
Наука и жизнь (Москва). Зачем фотографу математика? Дата выпуска: 16.08.2010. Номер выпуска: 8.
Н. Васютинский “Золотая пропорция” – М.: Молодая гвардии, 1990
Парадокс. Девушка с числом. Дата выпуска: 01.03.2004. Номер выпуска: 03.
Стахов А. Коды золотой пропорции.
Экономическая газета, Москва. Золотое сечение. Дата выпуска: 13.05.1998. Номер выпуска: 19.
RBC Daily. Тайны пропорции. Дата выпуска: 24.12.2009

Рисуем "Ночь в лесу"

Снежный всадник

В Китае испытали "автобус будущего"

Выбери путь

Почему Уран и Нептун разного цвета