Творческая работа "Математические софизмы"

МОУ «Лесогорская СОШ»

СОЧИНЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

на тему

«Математические софизмы»

«Математику уже затем учить надо,

что она ум в порядок приводит»

М.В.Ломоносов

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я и хотел рассмотреть. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Поскольку я пока еще учусь в 5 классе, то рассмотрю простейшие арифметические софизмы доступные для моего понимания.

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что же такое математический софизм?

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Математический софизм  представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату.  История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы. Они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.

          Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида: «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это - двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял...», то вывод стал бы логически безупречным.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, или апории, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элей. Так, Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее

черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед

расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

А вот и некоторые  современные математические софизмы, которые наиболее популярны и известны.

 «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b

и a обозначим через c .

Имеем b - a = c,  b =  a + c. Перемножаем два эти равенства по

частям, находим: b2 - ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей  bc.

Получим: b2- ab - bc =  ca + c2- bc, или b(b -a - c) = - c(b - a -c),

откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

В чем ошибка?

Разбирая софизм, выясняем, что:

Мы делили обе части равенства на выражение b-a-c,

Но b-a=с, значит b-a-c=0,

Мы разделили на 0!

«Два умножить на два будет пять»

Напишем 44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11), получим

4=5, откуда следует

2*2=5.

Ошибка скрылась в самом начале, при выносе за скобку выносится только числитель, знаменатель должен оставаться прежним.

 «Один рубль не равен 100 копеек».

1 р=100 коп (1)

10 р=1000 коп (2)

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп (3), откуда следует:

1 р=10000 коп.

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

                       10 р.2  =100 000 к .2 ,

которое после деления на 10 дает

                        1 р. 2 = 10 000 коп. 2, (*)

а не равенство (3), как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

 «Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 +  = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы:

1. Деление на 0;
2. Неправильные выводы из равенства дробей;
3. Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
4. Нарушения правил действия с именованными величинами;
5. Путаница с понятиями «равенства» и «эквивалентность» в отношении множеств;
6. Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
7. Неравносильный переход от одного неравенства к другому;
8. Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Математические софизмы:

• приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед в изучении математики, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций;
• помогают развивать логику и навыки правильного мышления;
• развивают наблюдательность, вдумчивость, критическое отношение к тому, что изучается;
• это увлекательно!

Часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

В  нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Использованная литература:

1. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера  «Математические софизмы», Москва, «Просвещение», 2003г.

2. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г.

3. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия», 2004г.

Интернет ресурсы:

www.gadaika.ru