Седьмая районная научно-практическая конференция обучающихся общеобразовательных школ «Шаги в науку-2015»

Секция № 16

Комбинированная работа

Тема:

«Признаки делимости»

Автор работы: Мишин Павел, учащийся 6 класса

         Образовательное учреждение: муниципальное казенное    общеобразовательное учреждение «Дедиловская средняя общеобразовательная школа» администрации муниципального образования Киреевский район.

 Адрес ОУ: 301274, Тульская обл, Киреевский р-н, Дедилово с, Советская, 60, 

                Контактный телефон: 8-48754-47593

Руководители работы: Соловьева Надежда Юрьевна, учитель математики МКОУ «Дедиловская СОШ»

                   Контактный телефон: (8) 910-559-24-36

2014-2015  учебный год.

Содержание

Введение.        

1.Изучение признаков делимости.        

2.Классификация признаков делимости.        

2.1. Признаки делимости по последним цифрам числа.        

2.2.Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел        

2.3.Признаки делимости  составных чисел.        

3.Практическая часть.        

Заключение        

Список литературы        

Введение.

Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться ею, звали Фалес. А о числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе в 6 веке до нашей эры. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора! Но мало ли что рассказывали люди в то легковерное время!

Если отбросить сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки. Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» - провозгласил он.

Разумеется, о том, что натуральные числа бывают четными и нечетными, задолго до Пифагора знал любой продавец на базаре его родного острова Самоса. Ведь ему приходилось раскладывать свой товар попарно, и иногда это удавалось, а иногда яблоко, мешок муки или баран оказывались лишними. Но Пифагор стал думать о свойствах четных и нечетных чисел. Он сложил два четных числа и получил снова четное число. То же самое вышло, когда он сложил два нечетных числа. А от сложения четного числа с нечетным получилось нечетное число. Наверное, такое тысячи раз случалось и у египтян, и у вавилонян, да и у греков, живших до Пифагора. Но никто из них не ставил вопроса «А почему это так?» Получается – и хорошо, а почему – не наша забота. Не задумывались до Пифагора и о том, почему если один из множителей четный, то и произведение окажется четным, а если все множители нечетны, то нечетным будет и произведение.

Если при решении задачи надо выполнить действия сложения или умножения, то мы не затрудняемся над этим, главное – уметь складывать и умножать. Если же имеем дело с вычитанием, то это действие не всегда выполнимо, если рассматриваются только неотрицательные числа (натуральные числа и нуль). Но с первого взгляда на уменьшаемое и вычитаемое можно сделать заключение о возможности или невозможности выполнения вычитания.

Иначе обстоит дело с действием деления, оно далеко не всегда выполняется нацело. На практике возникает необходимость, не выполняя деления, предсказать -  делится  число нацело или нет. Вот почему в математике особое внимание уделяется делимости чисел, исследуются условия делимости, выводятся определенные правила и признаки.

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (ок. 1179 – после 1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. Признак Паскаля состоит в следующем: натуральное число разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число  b, делится на это число.

Цель работы: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

Задачи исследования:

Изучить историю вопроса.

Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000 изучаемые в школе.

Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101.

Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел.

Систематизировать и обобщить признаки делимости натуральных чисел на 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101.

Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Предмет исследования: делимость натуральных чисел.
          Методы исследования: сбор информации, обработка данных,   наблюдение, сравнение, анализ,

Актуальность:        

    При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, в особенности многозначное,  получаем остаток, ошибаемся, тем самым  теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

1.Изучение признаков делимости.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Говоря о делении мы всегда будем предполагать делитель отличный от нуля. Установим несколько простейших свойств делимости.

1. Число а делится само на себя. Это свойство называется  рефлексивностью.
2. Если а делится на b и b делится на с, то а делится на с. Свойство транзитивности.
3. Если а делится на b и b делится на а, то либо a=b, либо a=-b.
4. Если а делится на b и |b|>|a|, то а=0
5. Для того, чтобы а делилось на b, необходимо и достаточно, чтобы |a| делилось на |b|.

На основании этой теоремы в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число.

6. Если делится на b,  делится на b, …,  делится на b, то ++…+ делится на b.

Следствие. Если сумма двух чисел и одно из слагаемых делится на некоторое число b, то другое слагаемое также делится на b.

Теорема о делимости произведения.

Если в данном произведении хоть один из сомножителей можно поделить на определенное число, то и все произведение будет делиться на это же число.

Этими основными свойствами я пользовался в своей исследовательской работе.

Чтобы узнать, каково данное число – простое или составное, не всегда нужно заглядывать в таблицу простых чисел. Часто для этого достаточно воспользоваться признаками делимости.

В начале 6 класса мы изучили признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, 100 и 1000. Мне стало интересно, а существуют ли другие признаки делимости, с помощью которых можно легко узнать – делится ли данное число без остатка?

Напомню ранее изученные признаки в школе.

              Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой или нулем.

Пример:

1. Число 874 делится на 2, так как последняя цифра 4 – четная.
2. Число 911 не делится на 2, так как 1 – нечетная цифра.
3. Число 1560 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр  делится на три.

Пример:

1. Число 671 не делится на 3, так как сумма цифр 6 + 7 + 1=41, 4 + 1=5  не делится на 3.
2. Число 1281 делится на 3, так как сумма цифр 1 + 2 + 8 + 1=12, 1 + 3 =3 делится на 3.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда  последняя цифра делится на 5, то  есть если она 0 или 5.

Пример:

1. Число 11595 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.
2. Число 2670 делится на 5, так как число оканчивается 0.

Признак делимости на 9.

 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма  цифр  числа делится на 9.

Пример:

1. Число 3328686 делится на 9, так как сумма цифр числа 3+3+2+8+6+8+6=36, 3+6=9 делится на 9.

Признак делимости на 10, 100 и 1000

1.Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается 0.

2. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается двумя последними нулями.
3. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда оно оканчивается последними тремя нулями.

Я обратил внимание, что признаки делимости  можно разбить на три группы:

- делимость по последним цифрам числа;

- делимость по сумме цифр числа;

- делимость составных чисел.

Я изучил следующие признаки делимости и проверил на практике их справедливость.

2.Классификация признаков делимости.

2.1. Признаки делимости по последним цифрам числа.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Примеры:

     1. Число 112 делится на 4, так как две последние цифры числа образуют двузначное число, которое делится на 4.

        2. Число 4700 делится на 4, так как последние две цифры числа делятся на 50.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

1. Число 29560 делится на 8, так как 560 делится на 8.
2. Число 45000 делится на 8, так как три последние цифры нули.

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Примеры:

1. Число 3480 делится на 20, так как двузначное число 80 делится на 20.
2. Число 3600 делится на 20, так как последние две цифры числа делятся на 50.

      Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример:

1. Число 775 делится на 25, так как две последние цифры 75 делятся на 25.
2. Число 5600 делится на 25, так как последние две цифры числа делятся на 50.

Признак делимости на 50.

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Примеры:

1. Число 4950 делится на 50, так как последние две цифры числа делятся на 50.  

2. Число 6700 делится на 50, так как последние две цифры числа делятся на 50.

Признак делимости на 125

Число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Примеры:

1. Число 6125 делится на 125, так как три последние цифры образуют число, которое делится на 125.
2. Число 5000 делится на 125, так как число оканчивается тремя нулями.

2.2.Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел

Признак делимости на 7.

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Пример:

1. Число 182 делится на 7, так как 18*3+2=56

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Пример:

1. Число 488908 делится на 7, так как |488 - 908|=|-420|=420 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Пример:

1. Число 768 делится на 8, так как 7*4+2*6=28+12=40

          Признак делимости на 11.

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Пример:

1. Число 7645 делится на 11, так как |(7+4) – (6+5)|=|11 – 11|=0 делится на 11.
2. Число 46849 делится на 11, так как |(4+8+9) – (6+4)| = |21-10| = 11  делится на 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Пример:

1. Число 279609 делится на 11, так как 27+96+109 = 132, 01 + 32 = 33 делится на 11.

Признак делимости на 13.

Признак 1: число делится на 13 тогда: когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Пример:

1. Число 338 делится на 13, так как 33 + 8*4 = 33 + 32 = 65 делится на 13.

Признак 2:  число делится на 13 тогда: когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Пример:

2. Число 4576 делится на 13, так как 457 – 9*6 = 467 – 54 = 403, 40 – 3*9= =40 – 27 = 13 делится на 13.

Признак делимости на 17.

Признак 1:  число делится на 17 тогда: когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример:

1. Число 646 делится на 17, так как |64 – 5*6| = |64 – 30| = 34 делится на 17.

Признак 2:  число делится на 17 тогда: когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится       на 17.

Пример:

1. Число 918 делится на 17, так как |91 + 12*8| = |91 + 96| = 187,  

 |18 + 12*7| =|18 + 84| = 102, |10 + 12*2| = 34 делится на 17.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример:

1. Число 4864 делится на 19, так как  486 + 2*4= 486 + 8 =494,  

49 + 4*2 =49 + 8 = 57 делится на 19.

Признак делимости на 23.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Пример:

1. Число 5819 делится на 23, так как 58 + 19*3 = 58 + 57 = 115, 1 + 15*3 = 1 + 45 = 46 делится на 23.

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Пример:

1. Число 17043 делится на 23, так как 1704 + 7*3 = 1725, 172 + 5*7 = 172 + 35 = 207, 20 + 7*7 = 20 + 49 = 69 делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Пример:

1. Число 5313 делится на 23, так как 53 + 7*1 + 3*3 =53 + 7 + 9 = 69 - делится на 23.

Признак делимости на 27.

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимости на 29.

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29

Пример:

1. Число 9483 делится на 29, так как 948 + 3*3 = 948 + 9 = 957,  95 + 7*3 = 116, 11 + 3*6 =  11 + 18 = 29.

Признак делимости на 30.

 Число делится на 30, когда оно заканчивается 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Пример:

1. Число 12720 делится на 30, так как оно оканчивается  0 и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 2 = 12 делится на 3.

Признак делимости на 31.

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Пример:

1. Число 7998 делится на 31, так как |799 – 3*8| = |799 – 24| = 775,

|77 – 3*5| = |77 – 15| = 62  делится на 31.

Признак делимости на 37.

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Пример:

1. Число 851 делится на 37, так как делится |3*8 + 4*5 – 1*7| = |24 + 20 – 7| =                 = |44 – 7| = 37  делится на 37.

Признак 3:  число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

Пример:

1. Число 592 делится на 37, так как  |5 – 11*9 + 10*2| = |5 – 99 + 20| = |- 74| = 74 делится на 37.

Признак делимости на 41.

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Пример:

1. Число 533 делится на 41, так как |53 – 4*3| = |53 – 12| = 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59.

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Пример:

1. Число 885 делится на 59, так как 88 + 6*5 = 88 + 30 = 118,

11 + 6*8 = 11 + 48 = 59.

Признак делимости на 79.

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Пример:

1.  Число 1817 делится на 79, так как 181 + 8*7 = 181 + 56 = 237,

23 + 8*7 = 23 + 56 = 79.

Признак делимости на 99.

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Пример:

1. Число 35838 делится на 99, так как 3 + 58 + 38 = 99.

Признак делимости на 101.

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

Пример:

1.  Число 494092делится на 101, так как  |49 – 40 + 92| = 101.
2. Число 29694 делится на 101, так как |2 – 96 + 94| = 0.

2.3.Признаки делимости  составных чисел.

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Правила делимости чисел:

•        Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

•        Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Пример:

    1. Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и делится на 3 (сумма  цифр числа 9+3+8+4=24, 2+4=6 делится на 3)

2. Число 2214 делится на 6 так, как 8*4+4=36 делится на 6.

Признаки делимости на 12.

1 признак: число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4.

Пример:

1. Число 624 делится на 12, так как оно делится на 3 (сумма цифр 6 + 2 + 4 = 12) и двузначное число 24 делится на 4.

2 признак: число делится на 12, когда разность  удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 12.

Пример:

1. Число 504 делится на 12, так как 50*2 – 4 = 96.

Признак делимости на 14.

Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

Пример:

1. Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15.

Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример:

1. Число 1020 делится на 15, так как сумма всех цифр 1+ 2 = 3 делится на 3 и последняя цифра 0.

Признак делимости на  18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Пример:

1. Число 414  делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр    4 + 1 + 4 = 9 делится на 9.

3.Практическая часть.

Задача 1.

Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?

Решение:

Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом, делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.

Ответ: 504.

Задача 2.

В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Решение:

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при счете дюжинами, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок без делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.

Ответ: 547 тарелок.

Задача 3.

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого встречаются все цифры от 1 до 9.

Решение:

Искомое число должно делиться на 72, а значит, на 9 и на 8; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, которое делится на 9. Для того, чтобы число делилось на 8, оно должно оканчиваться такими тремя цифрами, которые образуют трехзначное число, делящееся на 8. Учитывая все это, цифры необходимо расставить так, чтобы наименьшие стояли левее. Таким число является 123457968.

Ответ: наименьшее число 123457968.

Задача 4.

Маугли попросил своих друзей – обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли достались лишь 35 орехов. По сколько орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?

Решение:

Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то и принесли они поровну. Число 35 делится на 5, поэтому имеем 5*7 = 35.

Возможны два варианта:

1. Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, значит, каждая собрала 5 + 4 = 11.
2. Обезьян было 7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 орехов, значит, каждая собрала 5 + 4 = 11.

Задача 5.

Готовясь к занятию кружка, ребята нашли такие 2 натуральных последовательных числа, наименьшие из возможных, что сумма цифр каждого из них делится на 17. Какие числа нашли ребята?

Решение:

Наименьшее число, отличное от нуля, делящееся на 17, есть число 17, следующее за ним 34. Нас это не удовлетворят. Чтобы число было наименьшим, оно должно быть возможно меньшей значимости, а значит, цифры в его записи наибольшими из возможных. Рассмотрим число 8899. Сумма его цифр 8 + 8 + 9 + 9 =34 (делится на 17). Следующее за ним число 8900 имеет сумму цифр 8 + 9 = 17, тоже делится на 17, что удовлетворяет условию.

Ответ: 8899 и 8900.

Задача 6.

Сколько всего натуральных чисел, не превышающих 500 и не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Решение:

Посчитаем количество чисел, делящихся на 2 (500 : 2 = 250). На 3 делится 166 чисел (500 : 3 = 166 (ост. 2)). При этом дважды учтены числа, делящиеся на 2и на 3, то есть на 6.  Таких чисел 83 ( 500 : 6 = 83 (ост. 2). Следовательно, чисел, делящихся на 2 и на 3, 250 + 166 – 83 = 333. На 5 делится 100 чисел (500 : 6 = 100). При этом учтены числа, делящиеся на 5 и на 2, то есть на 10. Таких чисел 50 (500 : 10 = 50). Так как они вошли в число чисел, делящихся на 2, то здесь их надо исключить: 100 – 50 = 50. Среди этих чисел учтены в числе тех, которые делятся на 3, здесь их нужно исключить:  50 – 33 = 17. Исключая числа, делящиеся на 2 и на 5, а также на 3 и на 5, дважды исключили числа, делящиеся на 2, на 3 и на 5, то есть на 30. Таких чисел 16. Следовательно, 333 + 17 + 16 = 366, а значит, чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5, будет 500 – 366 = 134.

Ответ: 134 числа.

        Но признаки делимости можно применять не только при решении логических задач, но и для развлечений.

1. Угадай задуманное число.

Предложи задумать какое-либо трехзначное число и приписать к нему точно такое же число. Получившееся шестизначное число попроси умножить на 2, результат разделить сначала на 7, затем что получится на 11 и, наконец, на 13. После этого спроси, какой получился ответ, и ты немедленно назовешь задуманное число, разделив на 2.

2. Делимость на 11.

Предложи написать любое многозначное число. К этому числу ты можешь быстро приписать справа или слева одну цифру так, что получившиеся число разделится на 11.

3. Угадай задуманное число.

Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа задуманного, а результат произведенных сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то получишь задуманное число. Математика Л. Магницкого.

4. Старинный фокус.

Возьми 24 спички и три различных предмета. Позови три участника. Первый зритель получает одну спичку, второй – две, третий – три. Ты поворачиваешься к ним спиной и просишь взять каждого по вещице из лежащих на столе. Предложи теперь зрителю, держащему предмет взять ровно столько спичек из числа оставшихся в кучке, сколько у него на руках. Зритель, взявший второй предмет, пусть возьмет дважды столько спичек, сколько у него на руках. Последнему зрителю, взявшему третий предмет, предложи взять четырежды столько спичек, сколько у него на руках. После этого пусть все три зрителя положат свои предметы в карманы.

Обернувшись к зрителям и взглянув на оставшиеся спички, сразу говоришь, какой предмет он взял.

Заключение

 Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.

Признаки делимости часто используются при решении олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах.

Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах.

Цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы.

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика.

 Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

2. За страницами учебника математики.

Н.Я. Виленкин. Москва «Просвещение» 1996.

3. Россия. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — Лениздат, 1991.2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.

4. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4—8 кл. сред. шк. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1988.

5.  Интернет ресурсы.