Численное интегрирование и решение алгебраических уравнений
Исследовательская работа, выполнена студенткой, показывает методы решения алгебраических уравнений и вычисление интегралов при помощи метода прямоугольников, метода трапеции, метода Симпсона.
Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического образования.
Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках.
Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ЭВМ и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, который необходимо уметь проводить студентам, обучающимся на специальностях 270000 "Информационные технологии".
Технологическая цепочка включает в себя следующие этапы:
1. Построение математической модели исследуемого объекта (сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи).
2. Построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения
поставленной задачи и его обоснование.
3. Программирование алгоритма на ЭВМ и его тестирование.
4. Проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма.
5. Анализ полученных результатов.
Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих этапов с целью его уточнения и корректировки.. Решение этих более простых
задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Т.е. фактически используется некоторая модель исходной задачи.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 chislennye_metody.ppt | 361 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Для решения алгебраических уравнений существуют многочисленные методы, из которых рассмотрим лишь три: метод половинного деления; метод Ньютона; метод секущих. Задачу вычисления определенного интеграла можно решить численными методами: метод прямоугольников; метод трапеций; метод Симпсона.
Решения алгебраических уравнений Метод половинного деления Для применения метода половинного деления необходимо установить окрестность или отрезок [a, b], на котором расположен один из корней уравнения, (рисунок 1).
для реализации этого метода необходимо: Задать в явном виде уравнение f (х) , корни которого необходимо определить. (Е- погрешность) Определить начальный интервал [a, b], внутри которого лежит корень. Задать точность нахождения корня уравнения f (х) . Реализовать итерационную процедуру.
Решения алгебраических уравнений Метод Ньютона Предположим, что у нас определено начальное приближение х ₒ к одному из корней уравнения (1). Тогда в точке х ₒ можно вычислить левую часть решаемого уравнения f (х ₒ ).
Уравнение касательной, проходящей через точку имеет вид: Для реализации метода Ньютона необходимо: 1. Задать в явном виде уравнение f ( x ) , корни которого необходимо определить. 2. Определить первую производную функции f ( x ) в аналитическом виде. 3. Определить начальное приближение х ₒ , обеспечивающее быструю сходимость метода. 4. Задать точность нахождения корня уравнения f ( x ). 5. Реализовать итерационную процедуру.
Решения алгебраических уравнений Метод секущих Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих.
Для реализации метода секущих необходимо: 1. Задать в явном виде уравнение f ( x ) , корни которого необходимо определить. 2. Определить начальные приближения хₒ и х 1 , обеспечивающие быструю сходимость метода. 3. Задать точность нахождения корня уравнения f ( x ). 4. Реализовать итерационную процедуру.
Численное интегрирование Метод прямоугольника Интервал от а до b разбивается на прямоугольники и вычисляется по формуле:
Численное интегрирование Метод трапеции
Площадь этой трапеции (интеграл от линейной функции), используемая в качестве приближения к значению интеграла от f ( x ), определяется по формуле: Полная формула приближенного значения интеграла будет записана в виде:
Численное интегрирование Метод Симпсона В методе Симпсона площадь криволинейной трапеции рассчитывается как сумма площадей ряда криволинейных трапеций, у которых криволинейная сторона представляет собой участок параболы.
Полная формула Симпсона определяется: Таким образом, для реализации метода прямоугольников, трапеции и Симпсона для вычисления определенного интеграла необходимо: задать в явном виде определенный интеграл, площадь которого необходимо определить. После этого задаются пределы интегрирования, и шаг интегрирования. Затем проводится расчет
Список литературы Чечкин А.В. Математическая информатика М: Наука, 1991. Информатика. Базовый курс. Под. Ред. С.В. Симоновича –СпБ: Питер, 2000г. Котлинская Г.П., Галиновский О.И. Программирование на языке Си. - Минск: Высшая школа, 1991. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. - Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1991. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра: Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. - М.: Мир, 1991. Амосов А.А., Дубинский Ю.А. Вычислительные методы для инженеров. М: Высшая школа, 1994. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука Сиб. отделение, 1991.
Прекрасная химия
Как представляли себе будущее в далеком 1960-м году
Свадьба в Малиновке
Всему свой срок
Иван Васильевич меняет профессию