Исследовательская работа на тему: "Золотые числа"

Муниципальный конкурс исследовательских работ учащихся в области естественно-математических наук.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

 «Ново-Ашапская основная общеобразовательная школа» Бардымского района Пермского края.

Направление: математика (общая алгебра)

Тема работы: «Золотые числа»

Автор работы:

Уразманова Альбина А.

МБОУ «Ново-Ашапская ООШ»

9 класс

 Руководитель работы:

ТимгановаНурия М.

Учитель математики

МБОУ «Ново-Ашапская ООШ»

Новый Ашап, 2013

Оглавление

1. Введение                                                                                       стр.3
2. Основная часть (исследовательская часть)                               стр.4-7
3. Заключение                                                                                   стр.8
4. Библиографический список                                                        стр.9
5. Приложение                                                                                  стр.10-12

Введение.

Цель работы:   выведение способа нахождения золотых чисел.

Задачи:

1. Найти способ нахождения золотых чисел;
2. Найти как можно больше золотых чисел.

"Золотое" число тесно связано с живой природой. Дело в том, что оно присутствует в телах, имеющих пять осей симметрии, т.е. "пентасистемах". В неживой природе, в кристаллографии наблюдаются различные кристаллы с любым числом осей симметрии, кроме пяти. Живая материя вся построена по принципу пентасистемы. Наша планета - также пентасистема.

     Знаменитый математик 13 века Фибоначчи, решая задачу увеличения численности кроликов при их размножении, открыл замечательный ряд чисел, названный его именем: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55 и т.д.

В этой последовательности чисел каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух ему предшествующих. Высшие члены этого ряда становятся все более близкими друг к другу, а их отношения стремятся к дроби 1.62. Например, 5/3=1.66... 8/5=1.6; 13/8=1.62 и т.д.

А для достижения своей цели я много читала, размышляла и нашла  способы  нахождения квадратов  разных  чисел. Например, числа, которые оканчивается на 5, можно возвести в квадрат таким способом:

15²=225;      25²=625=(2·3)25;    75²=5625=(7·8)25;  

105²=11025=(10·11)25;   135²=18225=(13·14)25.

  Отсюда  получаем правило возведения в квадрат таких чисел: в результате этих чисел в конце стоит всегда 25, а перед этим числом пишем произведение первого числа с последующим числом.

      Мне стало интересным то, каким путем можно получить золотые числа, зная, что среди однозначных чисел их всего четыре: 0,1,5,6.

И я поставила перед собой эту проблему. Если найду способы  вычисления таких золотых чисел, то обязательно расскажу своим одноклассникам про эту новость. Или будем применять на уроке при изучении темы, связанные с квадратом.

                                             Основная часть

Золотые числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число.

Например,  6²=36,         5²=25,          25²=625.

Однозначных золотых чисел всего четыре: 0,1,5,6. Это известно всем школьникам среднего звена. А сколько же существуют вообще таких золотых чисел среди многозначных?

Сначала вычисляла с двузначными числами, начиная с 15 до 95, каждый из которых возвела в квадрат. Потом пришла к выводу, что таких чисел существует только два: 25 и 76.

25²=625;        76²=5776;

Среди трехзначных чисел с помощью калькулятора нашла два таких числа: 376 и 625.

376²=141376;             625²=390625.

Я подумала, что все эти золотые числа должны оканчиваться на 76. Поэтому, перед числом 76 попробовала поставить все цифры, начиная от 1 до 9. И получила число 376. То же самое сделала с числом 25.

 Действия с возведением в квадрат сначала выполняла только с цифрой 5.

5²=25

25²=625

625²=390625

Потом я возвела в квадрат число 390625 и получила 152587890625. Значит, число 390625 не является золотым числом.  Долго думала (неделю)  и придумала такой способ: перед числом 625 поставила  число 90 и получила число 90625. Возвела его в квадрат и получила   число 8212890625. Затем посмотрела, перед числом 90625 стоит цифра 8. Эту цифру 8 поставила перед числом 90625. Получила число 890625. Возвела снова это число в квадрат и получила снова число, оканчивающееся на это же число: 793212890625. Перед числом 890625 стоит цифра 2. Эту цифру 2 поставила перед числом 890625. Получила число 2890625. И это число возвела в квадрат, получила число 8355712890625.

90625²=8212890625

890625²=793212890625

2890625²=8355712890625

       И таким образом, переставляя цифры с места на место, получили 18 золотых чисел. Самое последнее число 2256259918212890625 возвела в квадрат сама и получила тридцатисемизначное число. Значит, таких золотых чисел, связанных с цифрой 5 не только 18, но бесконечное множество.

5²=25

25²=625

625²=390625

90625²=8212890625

890625²=793212890625

2890625²=8355712890625

12890625²=16616821290625

212890625²=45322418212890625

8212890625²=67451572418212890625

18212890625²=331709384918212890625

918212890625²=843114912509918212890625

9918212890625²=8370946943759918212890625

59918212890625²=3590192236006259918212890625

259918212890625²=67557477392256259918212890625

6259918212890625²=39186576032079756259918212890625

56259918212890625²=3165178362321142256259918212890625

256259918212890625²=65669145684477392256259918212890625

2256259918212890625²=5090708818534039892256259918212890625

922562599182128906252=85112174940978543523922562599182128925

………………………………………………………………………………

Последнее число, найденное мной, называется ундециллионом - это 37-значное число (приложение №3). Получила вот такую красивую фигуру, похожую на треугольник.  

Для чисел, связанных с цифрой 6, такой способ не подошёл. Сначала число 6 возвела в квадрат, получила 36. Среди двузначных чисел  перебирала все числа от 1 до 9. В итоге получила число 76, т.к. 76²=5776;        Перед числом 76 стоит 7.  776² не даёт такого числа, поэтому перебирала несколько вариантов и через день (когда подметала пол)  нашла такой способ: числа, стоящие перед 6, 76, и т.д. стала вычитать из 10: 10-3=7; 10-7=3. Эти полученные числа приписала перед числами 6,76,.. и нашла квадраты этих чисел. Например,

10-3                                            6²=36

10-7                                     76²=5776

10-1                                  376²=141376

 10-0                              9376²=87909376

109376²=11963109376

7109376²=50543227109376

87109376²=7588043387109376

787109376²= 619541169787109376

1787109376²=3193759921787109376

81787109376²=6689131260081787109376

1081787109376²=1170263260011081787109376

 910817871093762=8295891943037691081787109376

4910817871093762=81161321588708491081787109376

………………………………………………………………………

Вывод.

 Таким образом, золотых чисел, связанных с цифрой 6, нашла только 13, а их- тоже бесконечное множество (приложение №2).  Последнее золотое число, связанное с цифрой 6, вот это - 491081787109376 .   Итак,   всего золотых чисел, найденных мною - 32.

Заключение.

Математическое исследование, проведенное мною, оказалось не только интересным, но и полезным. Своей работой я удовлетворена полностью, так как  эта задача была повышенной сложности. Главное для меня не результат, а сам процесс этой работы (сбор информации, попытка самостоятельно  разобраться в незнакомой мне задаче).

Ур-ра! Я нашла два  разных способа нахождения золотых чисел!..

Библиографический список.

1. Журнал МШ №13, 2008 год, «Проектная деятельность»
2. Журнал МШ №20, 2009 год, «Об организации исследовательской деятельности школьников»

                                             Приложение.

1.        1081787109376

        1081787109376

                                                                      _______________

                                                                         6490722656256

          7572509765632

        3245361328128

                                                                   9736083984384

                                                                 181787109376

                               7572509765632

                          8654296875008

                                                        7572509765632

                 1081787109276

             8654296875008

                                                1081787109376

        ______________________________

                                             1170263260011081787109376

Последнее золотое число, связанное с цифрой 6: 1081787109376.

2.        91081787109376

        91081787109376

        __________________        

           546490722656256

                                                                    637572509765632

                                             273245361328128

                                                                819736083984384

                                   91081787109376  

                             637572509765632

                           91081787109376

          728654296875008

        91081787109376

                                               819736083984384

____________________________________________________        

                                               8295891943037692081787109376                                                                                                                                  

Значит, число 910817887109376 не является золотым числом.

3.                                                                                             2256259918212890625

                                                                          2256259918212890625

        _____________________

        11281299591064453125

             4512519836425781250  

         13537559509277343750

                                               20306339263916015625

                                          18050079345703125000

                                         4512519836425781250

                                     2256259918212890625

            20306339263916015625

          20306339263916015625

        11281299591064453125

        4512519836425781250  

                                               13537559509277343750

              11281299591064453125                                                      

              4512519836425781250

            4512519836425781250

        _______________________________________

        5090708818534039892256259918212890625

Чтобы найти следующее золотое число, нужно число 92256259918212890625 умножить на это же число. Но я не стала этого делать, потому что уже 100% уверена, что получится золотое число.