В работе описаны основные методы построения элементарных функций с преобразованиями и рассмотрено построение графиков сложных функций (без производной): "y=f(v(x))", "y=f(x)+g(x)", "y=f(x)*g(x)".
Слайд 1
Графики сложных функций Работу выполнил: ученик 11 класса МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка» Закиев Ринат Руководитель: Шапеева А.В. – учитель математики МАОУ «ЛИИТ №36»Слайд 2
Цели Выявить способы построения графиков сложных функций
Слайд 3
Задачи изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования; выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить. Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования - графики сложных функций.
Слайд 4
Прием №1 График функции у = f ( x )+ b получается из графика функции у = f ( x ) (рис.1) на вектор (0, b ) вдоль оси ординат у = f ( x ) у = f ( x )+ b
Слайд 5
Прием №2 График функции у = f ( x + b ) получается из графика функции у = f ( x ) на вектор (- b ,0) вдоль оси абсцисс у = f ( x + b ) у = f ( x ) у = f ( x )+ b
Слайд 6
Прием №3 График функции у = - f ( x ) получается симметрией графика функции у = f ( x ) относительно оси абсцисс у = f ( x ) у = - f ( x )
Слайд 7
Прием №4 График функции у = f (а x ) получается сжатием графика функции у = f ( x ) к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением от оси ординат в раз, если 0< a <1.на вектор (0, b ) вдоль оси ординат у = f ( x ) у = f (а x )
Слайд 8
Прием №5 График функции у = f (- x ) получается симметрией графика функции у = f ( x ) относительно оси ординат у = f ( x ) у = f (- x )
Слайд 9
Прием №6 График функции у = а f ( x ) получается умножением каждой ординаты графика функции у = f ( x ) на а , т.е. растяжением от оси абсцисс в а раз, если a > 1, и сжатием к оси абсцисс в раз, если 0< a <1. у = f ( x ) у = а f ( x )
Слайд 10
Прием №7 График функции у = / f ( x )/ совпадает с графиком функции у = f ( x ) там, где f ( x ) 0, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где f ( x ) < 0 у = f ( x ) у = / f ( x )/
Слайд 11
Прием №8 График функции у = f (/ x /) при x 0 совпадает с графиком функции у = f ( x ) , при x < 0 он получается симметрией « правой половины» графика функции у = f ( x ) относительно оси ординат у = f (/ x /) у = f ( x )
Слайд 12
Построение графика функции y = f ( v ( x )) На бумаге или мысленно нужно построить оба графика: график внутренней функции у = v ( x ) и график внешней функции у = f ( x ), и анализируя поведение этих графиков, построить график функции y = f ( v ( x )).
Слайд 13
Построить график функции у = arctg 2 x v =2 x y ( v )= arctgv
Слайд 14
у = arctg 2 x Результат
Слайд 15
Построить график функции у = ln ( x 2 – 3 x +2). y = x 2 – 3 x +2 y = lnv
Слайд 16
Результат у = ln ( x 2 – 3 x +2)
Слайд 17
Алгоритм построения графика функции y=f(v(x)) Начертить графики внутренней и внешней функций. Определить промежутки монотонности внутренней функции y = v ( x ) и отметить их на оси Ох плоскости хОу. На каждом промежутке определить границы изменения v = v ( x ) и выбрать те значения, которые попадают в область определения функции y = f ( v ). По графику внешней функции у = f ( v ) найти характер изменения функции у. В системе координат хОу начертить график у = у(х).
Слайд 18
Метод построения функции у = f ( x ) + g ( x ) Построить график функции у = х + sinx . у = х у = х-1 у = х + 1 у = sinx у = х + sinx
Слайд 19
Метод построения функции у = f ( x )∙ g ( x ) Построить график функции у = х ∙ sinx . у = х у = -х у = sinx у = х ∙ sinx
Слайд 20
Выводы 1.Графики функций y = f ( v ( x )), у = f ( x )+ g ( x ), у = f ( x ) ∙ g ( x ) можно построить без использования производных, особенно этот метод особенно подходит, если f ( x ) и g ( x ), v ( x ) – функции разных типов. 2.Для построения графиков нужно знать свойства функции, уметь читать графики полученных функции, исследовать поведение графиков в бесконечности. 3. Построение графиков, как и всевозможные другие способы геометрической интерпретации, является весьма эффективным средством для решения алгебраических задач, в том числе и задач с параметрами.
Слайд 21
Чему научился во время работы повторил и углубил знания свойств и методов построения графиков элементарных функций; приобрел опыт построения графиков функций; научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;
Слайд 22
Чему научился во время работы приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере; узнал, что тема « Построение графиков сложных функций», очень объемная и интересная, рассмотреть все методы сразу невозможно, т.е. есть можно дальше продолжать работу по данной теме.
Слайд 23
Литература В.Дьяконов. Maple 6: учебный курс.- СПб.:Питер,2001. В.К.Егерев, Б.А.Радунский, Д.А.Тальский. Методика построения графиков функций.- М. : «Высшая школа», 1970 . В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2006. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 – 11классы. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М. : «Мнемозина»,2001. С.М. Никольский. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений .- М. : «Просвещение школа»,2002. Е.М.Родионов, С.Л. Синякова. Математика. Пособие для поступающих в вузы. –М.: «Ориентир»,2003. http:/ к kvant.mccme.ru
Слайд 24
Спасибо за внимание!
Муниципальное образовательное учреждение
«Гимназия № 36 «Золотая горка»
Построение графиков сложных функций
Выполнил: ученик 11 класса
МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»
Закиев Ринат
Руководитель:
Шапеева А.В., учитель математики
МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»
Набережные Челны
Оглавление
Введение ……………………………………………...………............................... .3
Основная часть……………………………………………………………...
Заключение…………………………………………………………………...20
Литература……………………………………………………………………22
Введение
При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. При этом реализация метода основывается на выполнении следующих действий:
Замечание. Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток – в том, что корни, в общем случае, определяются приближенно.
Пример 1. 2х = -х2 +3
К этому уравнению нельзя применить стандартные приемы решения. Если построим эскиз графиков функции у =2х и у = -х2 +3, то увидим, что уравнение имеет два корня, один из них равен 1 (проверяем), а значение другого корня -1,7 (точное значение не можем определить).
Пример 2. Что можно сказать о корнях уравнения ?
Обе функции - убывающие на своих областях определения. Хотя бы два корня можно угадать: и
. Остается вопрос: есть ли другие корни и сколько их, какому промежутку они принадлежат?
Построим графики функции .
По рис.1 мы видим, что на некотором промежутке графики функции
« сливаются», по рисунку 2 можем определить только промежуток, которому принадлежат корни уравнения [0;1] , а о количестве корней ничего не можем сказать (рисунки отличаются по масштабу).
Рис.1 рис.2
После решения несколько таких уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и неравенства.
Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков построения графиков сложных функций. Актуальность этой проблемы определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ (и в части В, и в части С) имеются задания, при решении которых используется функционально – графический метод, свойства функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом. ( В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно – параметрический метод. М: «Экзамен»,2006).
В пособие для поступающих (Е.М.Родионов, С.Л. Синякова. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им.Н.Э.Баумана,2003) много заданий на построение графиков функций..
Поскольку в школьном курсе математики на эту тему «Построение графика сложной функции» отводится мало времени, то я решил изучить методы построения сложных функций (без производной).
Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил: если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то сможем построить и графики сложных функций.
Цель работы:
- выявить способы построения графиков сложных функций.
Задачи:
- изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования;
- выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить.
Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования - графики сложных функций.
(Сложную функцию y=f(v(x)) называют также композицией двух функций )
Основная часть
Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике.
Методы построения элементарных функций
Умения строить графики функций и их читать, т.е. определять промежутки монотонности и другие характеристики функции по их графику, - важный элемент математической культуры. Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения. Поэтому необходимо владеть простыми приемами построения графиков. Перечислим эти приемы:
Рис.1 рис.2
(рис.3)
График функции у = f(x) Графики функции у = f(x)+b и у = f(x+b)
(рис.4)
у = f(x) к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением от оси ординат в раз, если
Например, при построении графика функции у = 2sin() используются приемы 4, 2, 8, 6 (рис.10)
2. Построение графика функции y=f(v(x))
Посмотрим схему построения графиков сложных функции вида y=f(v(x)) без использования производной.
График функции v=2x График функции y(v)= arctgv.
График функции у = arctg2x имеет вид:
Контрольная точка: при х=0 у = π/4
Пример 2. Построить график функции у =
Решение. Построим графики функции у = и f(v)=
3. Построить график функции у = .
Решение. Построим графики внутренней и внешней функций.
4.Построить график функции у = ln(x2 – 3x +2).
Решение. Построим графики функций y= x2 – 3x +2 и y = lnv.
Данная функция является композицией двух функции v = sinx и y = 2v
8. Построить график функции y = arctg(lnx).
9. Построить график функции y = arctgx2
3. Метод построения функции у = f(x) + g(x)
Пример. Построить график функции у = х + sinx.
При построении следует обратить внимание на два обстоятельства:
Пример 2. Построить график функции у = .
4, Метод построения функции у = f(x)∙g(x )
Пример. Построить график функции у = х ∙ sinx.
Я провел работу по построению графика сложной функции и сделал следующие выводы:
- повторил и углубил знания свойств и методов построения графиков элементарных функций;
- приобрел опыт построения графиков таких функций, как:
y=f(v(x)); у = f(x)+g(x),у = f(x) ∙ g(x);
1) научиться читать графики различных функций и использовать их при решении уравнений и неравенств;
3) лучше различать графики различных функций.
При построении графиков функций я использовал систему компьютерной математики Maple 8.
Кто самый сильный?
Три орешка для Золушки
Астрономический календарь. Апрель, 2019
Всему свой срок
Как нарисовать портрет?