Исследовательская работа по теме "Решение задач практической направленности"

г. Нижнекамск Республики Татарстан

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №28»

Класс    7

Предмет  Математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Решение задач практической направленности

Руководитель Сабанина Валентина Павловна

учитель математики

Учащийся  Галимова Алсу

2015 г.

Оглавление

1. Введение                                                                                             - 3 стр
2. Основная часть

2.1. Теоретический материал                                                               -  4-7 стр

2. . Практическая часть                                                                     -  7-15 стр

3. Заключение                                                                                       -  16 стр
4. Список литературы                                                                          -   17стр

Введение.

Задачи на растворы, сплавы и смеси имеют практическую направленность. Например, мы пьём чай и кладем в чашку столько сахару, чтобы не пересластить (создаём нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды. Летом мы ходим за грибами, затем их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, при этом масса сухого вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ.

Кроме того, задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на ЕГЭ, но умеют решать их, увы, не многие. В своей работе я постараюсь рассмотреть способы решения данной  разновидности задач.

Учитывая актуальность данной темы, мною проведена данная исследовательская работа.

1.1.Цель исследования -  математическая классификация типичных способов решения задач.  

1.2.Предмет исследования - способы решения задач, включенные в школьные учебники, сборники задач.

1.3.Гипотеза исследования – знание типов задач, и умение переводить условие задачи на умение ее решать.

Цель, предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:

-    Изучить теоретический материал по данной теме;

-    Проанализировать тексты задач из учебников и задачников для средней школы;

-   Распределить задачи на группы и решить их.

Основная часть

1. Теоретический материал.

  Решая задачи на смеси и сплавы, нам нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Измерять количество компонентов смеси будем в единицах массы, а не объёма, так как изменения массы происходят линейно, а изменения объёма - по более сложной зависимости, и все равно приходится переходить к изменениям массы, но уже используя плотность веществ.

Говоря о смесях, растворах и сплавах будем  употреблять термин        «смесь» независимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Приведу примеры раствора, смеси и сплава.

Раствор.  В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах: 10:200*100%=5%.
Процентное содержание воды: 190:200*100%=95%.

Смесь. У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах: четвертая часть величины равна 25% .

Процентное содержание извести: три части из четырех равны 75%.

Сплав. Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах: 100:250*100%=40%.

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  — масса сплава или раствора.

А теперь посмотрим как решать  задачи на практике.

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 15%-ого раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

Решение. Нарисуем таблицу и заполним ее:
1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.
Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.

2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:

3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:

Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 6,25%.

При решении задач на смеси, растворы и сплавы используются следующие допущения.

1.Выполняется «закон  сохранения объёма или массы».

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав «раствор», то  выполняются равенства: + = V (сохраняется объём);

                     + = m (сохраняется масса).

2. Очень часто в задачах на смеси  и  сплавы  используется  понятие  объёмной концентрации и массовой концентрации компонент составляющих раствор или сплав. Объёмная или массовая  концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объёма  или массы  составляет данная компонента. Например,  если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объёма занимает «чистая «соль. Значит, объёмная концентрация соли в растворе равна 0,4.  Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4/7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы второго сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди . То есть массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны 4/11 и 7/11.

В качестве примера приведу следующие задачи:

   Пример1.  Сплав меди и алюминия  массой 10 кг содержит 35% меди. Сколько килограммов в этом сплаве составляет алюминий?

Решение.  В сплаве 35% меди,  тогда алюминия будет 100%-35%= 65%. В 10 кг. сплава алюминия будет 10∙0,65=6,5 кг.

Ответ:6,5 кг.

Пример 2. В железной руде содержатся железо и примеси в отношении 7/2. Сколько тонн железа в 378т. руды?

Решение.  Массовая концентрация железа в руде  составляет 7/9.  Из 378т руды получится  378∙7/9=294т.

Ответ: 294т.

2.Практическая часть.

Анализируя условия,   выбранных для решения задач я разделил их на группы: задачи на понижение концентрации; задачи на повышение концентрации; задачи на смешивание растворов разных  концентраций; задачи на переливание.

Задачи на понижение (повышение) концентрации

1. Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15% ?

Решение.

Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи.

Так как масса сахара не изменилась, то составим и решим уравнение:

0,15∙(40+х) = 7,2

6 + 0,15х = 7,2

0,15х = 7,2- 6

0,15х = 1,2

х = 1,2: 0,15

х = 8

Ответ: 8 кг.

2.Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, в котором содержится 40% меди?

 Решение.

Пусть добавили х кг олова. Так как масса меди в исходном и полученном сплавах одна и та же, то составим уравнение:

0,4(12 + х) = 12  0,45

0,4(12 + х) = 12 0,45

4,8 + 0,4х = 5,4

0,4х = 5,4 – 4,8

0,4х = 0,6

х = 1,5.         Ответ: 1,5 кг.

3. Сколько килограммов 5% -  го раствора соли надо добавить к 15 кг 10%-го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%- ный раствор?

Решение.

 Пусть добавили х кг 5%- го раствора соли. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

1,5 + 0,05х = 0,08(15 + х)

 1,5 + 0,05х = 1,2+ 0,08х

0,05х- 0,08х = 1,2 – 1,5

- 0,03х = - 0.3

Х= - 0,3: (-0,03)

 Х= 10

Ответ: 10 кг.

4.В 5%-й раствор соли добавили 55г соли и получили 10%-й раствор. Сколько граммов 5%-го раствора было?

Решение.

  Пусть было х г 5%-го раствора. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,05х + 55 = 0,1∙(х+55)

0,05х+ 55= 0.1х + 5,5

0,05х – 0,1х = 5,5 – 55

-0,05х = -49,5

Х = -49,5:(-0,05)

Х = 990

Ответ: 990г.

5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

15%= 0,15

80% = 0,8

1) 0,15 ∙  8 = 1,2 (кг) -  масса сухого вещества в 8кг;

2) 1,2кг сухого вещества - это 80% массы высушенных цветов, значит, масса высушенных цветов равна

 1,2: 0,8 = 1,5 (кг).

Ответ: 1,5кг.

6. Из 22кг свежих грибов получается 2,5  кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

Решение.

 Заполним таблицу по условию задачи:

1. 2,5∙ 0,88 = 2,2 (кг) -  масса сухого вещества;
2. 2,2: 22 ∙ 100 = 10%-  сухого вещества содержится в свежих грибах;
3. 100- 10 = 90  воды в свежих грибах.

Ответ: 90%.

7.Имеется 0,5т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. После выпаривания получили массу, содержащую 25% целлюлозы. Сколько килограммов воды выпарено?

Решение.

Пусть выпарили х кг воды.

Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

500∙ 0,15 = (500 – Х ) ∙0,25

75 = 125 – 0,25х

0,25х = 125 – 75

0,25х = 50

Х = 50:0,25

Х = 200

Ответ: 200 кг.

Задачи на смешивание растворов разных   концентраций

1. Один раствор содержит 20% соли, а второй- 70% . Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го солевого раствора?

Решение.

 Решим задачу по правилу «креста».

Составим схему:

                   20                                                                20      

                                                     50

                 70                                                                 30

Значит, 100 г смеси составляет 50 частей.

Одна часть – 100: (30+ 20) = 2(г), 70%-й раствор- 2∙ 30 = 60 (г), 20%-й раствор – 2 ∙20 = 40(г).

Ответ: 20%-го 40г, 70%-го 60г.

2. Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали:

а) 2кг жирного и 3кг нежирного творога,

б) 3кг жирного и 2кг нежирного творога.

Решение:

а) Решим задачу по правилу «креста».

Составим схему:

20                                        х-5

                                                   Х

                         5                                                20-х

б) Заполним таблицу по условию задачи:

Жирность творога - это доля жира или его концентрация в твороге.

Найдем ее по формуле а =

Ответ: а) 11%; б) 14%.

3.Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20т руды с содержанием меди 8%?

Решение.

Пусть взяли х т «бедной» руды.

Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,06х + 0,11(20-х) = 20 0,08

0,06х+ 2,2- 0,11х = 1,6

0,06х – 0,11х =  1,6 – 2,2

-0,05х = -0,6

х= 0,6: 0,05

х=12

Ответ: 12т.

4.При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято?

Решение.

Пусть взяли х г 5%-го раствора кислоты.

Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,05х+ 0,4∙(140 – х) = 0,3 ∙ 140

0,05х + 56 – 0,4х = 42

0,05х – 0,4х = 42 – 56

-0,35х = -14

Х= -14:(-0, 35)

Х= 40

Ответ: 40г 5%-го и 100г 40%-го.

5.Сколько граммов воды и 6%-го раствора перекиси водорода надо добавить к 36г 3%-го раствора перекиси водорода, чтобы получить 54г 55-го раствора перекиси водорода?

Решение.

Пусть добавили х г 6%-го раствора перекиси водорода.

Так как при прибавлении воды масса перекиси водорода в растворе не изменяется, то составим и решим уравнение:

 1,08 + 0,06= 0,05∙ 54

0,06х = 2,7 – 1,08

0,06х = 1,62

Х= 1,62: 0,06

Х= 27

Найдем массу добавленной воды: 54 – 36- 27= 1(г)

Ответ: 27 г перекиси и 1г воды.

Задачи на переливание

1.В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй-1л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение.

1) В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило  , а кофе - 1 -  .

2)Во второй кастрюле осталось 0,87л молока, и добавили 0,13 смеси, в которой кофе было 0,13 ·

Ответ: одинаково.

Задачи на повышение концентрации

1.Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение.

45%-это 0,45; 60%-это 0,6.

36. · 0,45=16,2кг меди содержится в данном сплаве.

Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав, равна х кг, тогда (36+х)кг- масса сплава после добавления меди, а масса меди в новом сплаве (16,2 + х) кг. Зная, что медь в новом сплаве составила 60%, составим и решим уравнение:

16,2 + х = (36+х) ∙ 0,6

16,2 + х = 21,6+0,6х

х - 0,6х = 21,6-16,2

0,4х = 5,4

Х = 13,5

Ответ:13,5кг.

        2.Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После  того как из сплава выделили    содержащейся  в нём меди и 60 % цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. какова была масса исходного сплава?

Решение. Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г меди. Зная, что в сплаве осталось   часть содержащейся в нём меди и 40 %, или    части цинка, составим и решим уравнение:  (х + 640) + х = 200,    19х = 3800,  х = 200.

Значит, цинка было 200 г, а меди  (200 + 640) = 840 г, и масса сплава  200 + 840 = 1040 г, или  1 кг 40 г.

Ответ: 1 кг 40 г.

Заключение.

Задачи на смеси и сплавы до начала исследования вызывали у меня страх. Я не умела  их решать. Изучив теоретический материал и решив большое количество задач  мне стало интересно. Теперь хочется рассмотреть и более сложные задачи.

В процессе решения каждой задачи я действовала по схеме:

1.  Изучала  условие задачи. Выбирала  неизвестные величины (обозначала  их буквами) относительно которых составляла пропорции. Выбирая неизвестные параметры, создавала  математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Данное умение мне пригодится при сдаче экзамена, ведь  в этом году на ЕГЭ уже более 20% задач базового уровня составляют задачи на умение строить и исследовать математические модели.

2.Находила  план решения. Используя условие задачи находила  все взаимосвязи между  данными величинами.

3.Оформляла  найденное решение  (переводила  словесную формулировку в модель).

4. Изучала полученное решение, выполняла  критический анализ результата.

При решении задач на смеси  сначала я путала проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Теперь я запомнила, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества равна произведению массы раствора на массовую долю.

 В большинстве случаев  задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее. Если при решении использовать схемы, рисунки или вспомогательные таблицы.

При решении задач на смешивание растворов разных концентраций использовала диагональные схемы («правило креста»). На диагональной схеме в  точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У конца этих прямых слева от точки пересечения указывал  концентрации составных частей смеси, а справа- разности концентраций смеси и ее составных частей.

Список литературы:

1. Математика 5 класс: учебник/авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И.   Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2010.

2. Математика 6 класс: учебник/авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2010.
3. Алгебра.7:учебник/автор: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова,       Просвещение, 2010.
4. Прокопенко Н. И. Задачи на смеси и сплавы. – М.: Чистые пруды, 2010.
5. Готовимся к ЕГЭ, Математика./ Л.О. Деницева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др.-М.:Дрофа, 2004.
6. Тестовые задания  для подготовки к ЕГЭ -2008 по математике. /ЕА Семенко и др., Просвещение, 2008.