проект "Теорема Варьона и ее практическое применение"

Слайд 1

Слайд 2

Предмет исследования --- планиметрические задачи ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА, БИМЕДИАНЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ ПРОБЛЕМЫ – ВЫЯСНИТЬ , ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА ПОЗВОЛЯЕТ РАЦИОНАЛЬНЕЙ ПОЛУЧИТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИПОТЕЗА ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА НАДЕЖНЫЙ ПОМОЩНИК В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Слайд 3

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться на практике применять ее с наименьшими временными затратами ЗАДАЧИ: А)Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника , теорему Вариньона и следствия из нее. Б)Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и с помощью теоремы Вариньона. В)Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.

Слайд 4

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

Слайд 5

ПЬЕР ВАРИНЬОН (1654-1722) Пьер Вариньон- французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики колледжа Мазарини . Ему принадлежит одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника. Вариньон написал учебник по элементарной геометрии, в котором эта теорема впервые появилась.

Слайд 6

Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника Выпуклый четырехугольник Самопересекающийся четырехугольник Вогнутый четырехугольник

Слайд 7

Теорема Вариньона Дано: ABCD- выпуклый четырехугольник AK=KB ; BL=LC ; CM=MD ; AN=ND Доказать: 1) KLMN- параллелограмм; 2) SKLMN=SABCD/2 Доказательство 1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL - средняя линия ABC , то KL ║ AC . По тем причинам MN ║ AC . → KL ║ NM и KL= MN= AC/2 . → KLMN - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD. 2. Средняя линия отсекает от него , S которого в 4 раза < S исходного . Поэтому сама ∑ S 1- ого и 3- го треугольников равна ¼ S всего четырехугольника. То же и относительно ∑ S 2- го и 4-го треугольников. Поэтому S KLMN составляет ½ S ABCD Теорема доказана.

Слайд 8

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ 1. Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). 2. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. 3. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. 4. Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.

Слайд 9

ТЕОРЕМА О БАБОЧКАХ Доказательство. Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем: Формулировка: Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Слайд 10

Задачи из школьного курса геометрии. Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии (№567, 568) Задача 1. Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Доказательство. а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба; Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника; Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Слайд 11

Конкурсные задачи. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» ( n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток». ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Из следствия следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части. Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Слайд 12

Разбор задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот. 1-ый способ 1- AC – диагональ. FM - средняя линия треугольника ABC. N K – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC= AD , AC – общая сторона) => K N = F M. Также K N || F M (AC|| F M, AC||K N ) => K F MN- параллелограмм. 2- из первого следует, что K N = F M. Аналогично можно доказать, что FK = M N. 3- ABCD – прямоугольник => AC=BD. => K F = F M=MN=NK=> K F MN – ромб. 2-ой способ А) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (из следствия теоремы Вариньона); Б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (из следствия теоремы Вариньона).

Слайд 13

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер. Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда, чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Теорема Вариньона – красивейшая опорная задача, которая помогает решить, что называется, в один присест, массу планиметрических задач, в том числе повышенной сложности и олимпиадных.

Слайд 14

Список использованной литературы 1. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четырехугольника // Математика . 2006 - №22. 2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Т.1,2 –М.: Наука, 1995 3. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. - М.:Наука , 1981 4. BestReferat.ru// Бимедианы четырехугольника 5. dic.academic.ru// Что такое теорема о бабочках ? 6. infourok.ru> issledovatelskaya … teorema variona // Исследовательская работа «Теорема Вариньона» 7. peopl е . su // Пьер Вариньон биография 8. referat.yabotanik.ru// бимедианы четырехугольника / реферат по математике. 9. ru.vikipedia /org> Теорема Вариньона (геометрия) 10. treugolniki.ru> teorema-varinj о na // Лекции и примеры решения задач