Лабиринты: поиск решения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №10»

Реферат на тему:

“Лабиринты: поиск решения”

Выполнила: Малыгина Дарья Андреевна, 7 “Б” класс

Руководитель: Горячева Елена Валерьевна,

учитель математики 1 квалификационной категории

Почтовый адрес: 607220 г. Арзамас,

 пр. Ленина, д. 206а, тел. (83147) 4-35-55

Электронный адрес: arzschool10@rambler.ru

г.Арзамас, 2016

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

1. История лабиринтов………………………………………………………. 3

2. Лабиринты в наши дни…………………………………………………….5

3. Лабиринты в разных областях человеческой деятельности……………..6

4. Способы выхода из лабиринтов…………………………………………...6

5. Задачи с лабиринтами……………………………………………………...8

Заключение…………………………………………………………………...10

Список литературы…………………………………………………………..10

Введение.

 В учебниках истории рассказывается о лабиринтах, их удивительном устройстве и легендах, с ними связанных. Меня увлекла эта тема, а особенно вопрос: «Если бы я очутилась в лабиринте, смогла бы  найти выход из него?» Все лабиринты,  о которых я слышала, находятся очень далеко от нас. Но оказывается, мы живем в мире лабиринтов. Устройство линий электропередач, канализации, сетей дорог, каналов и т.д. – все это более или менее сложные лабиринты. Для организации наибольшей эффективности работы необходимо оптимизировать процесс построения всех этих коммуникаций. То есть «пройти лабиринт». Таким образом, задача о прохождении лабиринта приобретает практический интерес.

 Цель: Показать, что используя математический метод нахождения выхода из лабиринта можно решить практические задачи современной жизни.

 Задачи:

1. Изучить историю лабиринтов, рассмотрев литературу по данной теме
2. Найти элементы лабиринта в современной жизни
3. Рассмотреть способы выхода из лабиринта.
4. Сформулировать и решить практические задачи с лабиринтами.

1. История лабиринтов.

Лабиринты распространены во всем мире в виде уникальных изображений или сооружений и характерны для всех известных культур. Их смысл и поныне остается тайной.

Лабиринт - какая-либо структура (обычно в двумерном или трёхмерном пространстве), состоящая из запутанных путей к выходу (и/или путей, ведущих в тупик).

 Под лабиринтом у древних греков и римлян подразумевалось более или менее обширное пространство, состоящее из многочисленных залов, камер, дворов и переходов, расположенных по сложному и запутанному плану, с целью запутать и не дать выхода несведущему в плане лабиринта человеку.

Первые похожие на лабиринт наскальные рисунки появились на Земле еще в каменном веке. Трудно сказать, что имел в виду доисторический художник, высекая извилистые линии и спирали, но идея передавалась сквозь века, превратившись, наконец, в глобальный символ — семь линий,  закрученных вокруг центра.

Лабиринты бывают самой разнообразной формы и устройства. До наших дней сохранились еще и запутанно-сложные галереи, и ходы пещер, и архитектурные лабиринты над могилами, и извилистые планы на стенах или полах, обозначенные цветным мрамором или черепицей, и извивающиеся тропинки на почве, и рельефные извилины в скалах [6].

Самый древний лабиринт находился рядом с озером Биркет-Карун, расположенным к западу от реки Нил, неподалеку от города Каир. Он был построен еще в 2300 году до нашей эры и представлял собой окруженное высокой стеной здание, где было полторы тысячи наземных и столько же подземных помещений. Общая площадь лабиринта составляла 70 тысяч квадратных метров. Посетителям не разрешалось осматривать подземные помещения лабиринта, там располагались гробницы для фараонов и крокодилов - священных в Египте животных.

В Греции самым известным лабиринтом был лабиринт на острове Крит, в котором жило страшное чудовище Минотавр.

 Самый известный церковный лабиринт находится в кафедральном соборе французского города Шартра. Он был создан в 1235 году из белого и синего камня и его диаметр составляет 10 метров. Большие напольные лабиринты были сделаны в средневековых соборах Франции и Италии, а также в церквях разных городов этих стран, в том числе в Амьене, Байё, Орлеане, Равенне, Тулузе. Об использовании лабиринтов в известных религиозных зданиях один специалист пишет: «Средневековая христианская церковь заимствовала форму лабиринта из язычества и приспособила ее для собственных потребностей, привнеся в эту форму христианский смысл». По всей видимости, лабиринты были использованы церквями христианского мира для того, чтобы показать жизнь христианина в рамках канонов мифологии, придуманной древними египтянами. Церковные лабиринты также использовались для инсценировки походов крестоносцев на Иерусалим. Достичь центра лабиринта означало достичь Иерусалима и добиться спасения. Для некоторых религиозных людей лабиринт представлял собой дорогу, ведущую к раскаянию; чтобы получить прощение грехов, по ней нужно было проползти на коленях, а ритуальное шествие по этой дороге заменяло паломничество в Святую землю [6].

В России тоже есть свои лабиринты. Так, на Соловецких островах насчитывается около 30 лабиринтов и более 1000 насыпей-курганов и разнообразных символических узоров  из камня. Большинство из них относится                                                        к 11-1 тысячелетиям до н. э. До сих пор эти сооружения остаются одними из самых загадочных мест на Земле. На них нет никакой растительности, кроме мхов и ягодников. Высаженные растения и деревья погибают, а животные избегают этих мест [7].

В XIII-XIX веках лабиринтами называли особого рода садовые украшения, состоящие из более или менее высоких живых изгородей. Они были расположены так, что между ними образуются дорожки, ведущие к одному центру, но изгибающиеся в разные стороны и сообщающиеся между собой весьма замысловато. Гуляющему нелегко было добраться до этого центра, также как и найти обратный путь. Самый знаменитый и существующий до сих пор кустарниковый лабиринт был сооружен в 1690 году при дворе Вильгельма Оранского в Хэмптон-Корте. Самый большой лабиринт в мире находится в Турене (Франция). Его площадь — больше 4 гектар, а образуют его сельскохозяйственные растения — кукуруза и подсолнечник [6].

2. Лабиринты в наши дни.

В настоящее время в Европе и Америке лабиринты создаются при госпиталях, церквах, школах и тюрьмах. Их можно рассматривать как средство психотерапии или просто как место для отдыха. Каждый человек вкладывает в посещение лабиринта свой собственный смысл.

 Иначе устроены ходы-головоломки, именуемые на английский манер «мейзами» (maze). Мейзы по своему строению более изощренны и запутанны, нежели лабиринты. Как правило, в них заложены несколько дорог к цели, два или более входов и выходов, дорожки сообщаются между собой и образуют развилки. Решить мейз, то есть пройти к его центру или какой-либо цели, не так-то просто. Создатели выстроили сложные задачи: выбрать правильный вход, угадать направление на развилке или не попасть дважды на одну и ту же дорожку. Идея мейзов восходит к Средневековью и представляет собой результат освоения математической науки. В последние несколько десятилетий мейзы - головоломки — играют большую роль в индустрии досуга и развлечений. Например, в 1988 году в Лидсе высадили «живую изгородь» - 2400 тисовых деревьев - причем так, что дорожки лидской «головоломки» образуют изображение королевской короны. Для большего эффекта по углам «путаницы» были установлены башни и бастионы. Но самое примечательное в этом лабиринте - выход. Пройдя к центру вполне обычным способом - по аллеям, посетители совершают обратный путь по подземному гроту, специально устроенному для этой цели. Вход в грот находится на холмике, одновременно служащем смотровой площадкой. К числу «юных» относится и самый большой в мире «символический» лабиринт, находящийся в саду английского замка Бленхайм. Его длина составляет 88 м, ширина - 55,5 м. А символическим он назван потому, что на его «стенах» изображены  геральдические знаки Британской империи [5].

Но существуют лабиринты  искусственного происхождения, созданные человеком невольно. Примером таких лабиринтов являются различные шахты, рудники, каменоломни, называемые общим словом «катакомбы».

 В наше время, по утверждению Мартина Гарднера, «существует две области науки, в которых интерес к лабиринтам остается неизменно высоким: психология и  конструирование вычислительных машин». Однако существует еще одна область человеческой деятельности, в которой лабиринты являются необходимым атрибутом – это компьютерные игры. В связи с этим у  пользователя компьютера появляются две задачи: прохождение лабиринтов в игровых программах и создание лабиринтов для «своих» программ.

3. Лабиринты в разных областях человеческой деятельности.

 Идея лабиринта как неупорядоченной структуры пространства нашла применение в технике. Например, в любой гидравлической системе наиболее ответственными элементами, обеспечивающими  надежность и эффективность работы, являются уплотнения. Уплотнение - это устройство, предотвращающее или уменьшающее утечку жидкости или газа через зазоры между деталями машины или какого-либо иного сооружения, а также защищающее детали от проникновения грязи и пыли. Уплотнения бывают контактными и бесконтактными или лабиринтными. Уплотняющий эффект в лабиринтных уплотнениях достигается за счет возникновения гидравлического сопротивления при течении через малый зазор вязкой жидкости. Для повышения гидравлического сопротивления делают лабиринтные канавки, которые изменяют площадь сечения.

С помощью лабиринта был найден метод изучения поисковой деятельности живых организмов, животных. В естественной среде животные часто вынуждены преодолевать всевозможные препятствия и запоминать сложные пути. Опыты показали, что животные сначала медленно разведывали, изучали лабиринт, затем преодолевали маршрут все быстрее, наконец, наступал момент, когда они автоматически преодолевали весь путь. Таким образом, лабиринты оказались средством для изучения сложных механизмов памяти, а также поведения животных в различных ситуациях [9]. «Большие лабиринты» используются в авиации, при подготовке космонавтов,  и в других случаях, требующих концентрации внимания. Лабиринты используют и разработчики вычислительных машин. Один из первых самообучающихся роботов получил имя «Тесей». Конструкторы ЭВМ рассматривают роботов, умеющих находить дорогу в лабиринтах, как составную часть программы создания самообучающихся машин, то есть машин, способных, подобно живым организмам, извлекать ценную для себя информацию из опыта.

4. Способы выхода из лабиринта.

Специалисты различают три конфигурации: лабиринты односвязные, лабиринты многосвязные без «петли» вокруг цели и лабиринты многосвязные с замкнутой «петлей» вокруг цели. Односвязными называются лабиринты, не содержащие замкнутых маршрутов и не имеющие отдельно стоящих стенок. Лабиринты с отдельно  стоящими стенками и с замкнутыми маршрутами называются многосвязными. При этом, если замкнутый маршрут не проходит вокруг цели, то лабиринт второй конфигурации; если же цель можно обойти по замкнутому маршруту, значит, лабиринт третьей конфигурации. В лабиринтах первой и  второй конфигурации всегда можно достичь цели, если двигаться все время, касаясь рукой стенки. (Правило «одной руки»). Правда, этот путь не будет самым коротким. Придется пройти долгий путь, заходя во все тупики, но в итоге цель будет достигнута. В лабиринте третьей конфигурации таким способом никогда не достичь цели. Вы просто обойдете ее по наибольшему замкнутому маршруту. Часто мы вообще не знаем, с лабиринтом какой конфигурации имеем дело. Существует универсальный алгоритм для прохождения любых лабиринтов.

Алгоритм Люка-Тремо:

1. На выходе туннеля к перекрестку и на входе с перекрестка в туннель всегда делаем отметку с одной и той же стороны (например, справа) по ходу движения.

2. От первого перекрестка идем по какому угодно пути, пока не достигнем или нового перекрестка, или не зайдем в тупик. Тогда:

3. Если мы зашли в тупик, то следует вернуться назад, а пройденный путь отбросить (пункт 1), отметив его дважды (вход-выход). От перекрестка идти в другом направлении.

4. Если мы приходим к новому перекрестку, то двигаемся в любом направлении, отметив путь, по которому пришли, и путь, по которому уходим.

5. Если мы приходим к известному нам перекрестку не тем путем, которым уходили, то немедленно поворачивать назад (не забыв пункт 1).

6. Никогда не ходите по пути, отмеченному дважды.

7. Если больше нет путей без отметок, следует выбрать путь, отмеченный одной меткой.

 Решение задач на прохождение замкнутых лабиринтов с петлей было найдено Леонарда Эйлером. Лабиринты, как известно, состоят из коридоров, перекрестков, тупиков, и маршруты в них могут быть представлены графами, то есть фигурами, состоящими из точек и линий, их связывающих. Точки называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины, - рёбрами графа. Вершины, из которых выходит нечётное число рёбер, называются нечётными вершинами, а вершины, из которых выходит чётное число рёбер, называются – чётными. Эйлер установил следующие свойства графа:

1. Если все вершины графа чётные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф.
2. Граф с двумя нечётными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине.
3. Граф с более чем двумя нечётными вершинами, невозможно начертить одним росчерком.
4. Граф, который содержит более двух нечётных узлов, не может быть начерчен одним росчерком. Его можно обойти по нескольким маршрутам так, что в каждом из них никакая ветвь не будет пройдена дважды. Если сеть содержит 2n нечётных узлов, она может быть целиком покрыта n маршрутами.

С помощью этих свойств была решена известная задача о кенигсбергских мостах, которая положила начало задачам на вычерчивание фигур одним росчерком [4].

Задача. В г. Кёнигсберге было семь мостов через реку Прегель. Можно ли, прогуливаясь по берегам реки, пройти по каждому мосту ровно один раз?

План города для решения этой задачи можно изобразить графом. На этом графе четыре узла (они соответствуют берегам С и В и островам А и D) и семь кривых, которые обозначают мосты. Если бы существовал искомый маршрут, то эту сеть кривых можно было бы вычертить одним росчерком [4].

5. Задачи с лабиринтами.

Задача 1.  «О бегстве королевского шута». «Чтобы выбраться из двора, куда я попал, следовало преодолеть подземный лабиринт. Спустившись на несколько ступенек вниз, я попал в его центр А, чтобы отыскать дверцу В. Но мне было хорошо известно, что в абсолютной тьме этого страшного сооружения я мог блуждать часами, чтобы снова вернуться туда, откуда начал свой путь. Как же мне добраться до дверцы?»

Решение.

Как шут нашел во тьме путь из лабиринта? Он просто прикоснулся своей левой (или правой) рукой к стене и, не отрывая ее, двинулся вперед. Красная линия на рисунке поможет проследить его путь, если шут пошел из А влево. Однако если бы центральная часть оказалась окруженной изолированной стеной наподобие кольца со щелью, то шут все ходил бы и ходил вокруг этого кольца [10].

Задача 2. Голодная лиса вышла из вырытой под деревом норы и начала бродить по лесу от дерева к дереву в поисках добычи. Чёрной линией изображён путь лисы. Наконец она устала и легла отдохнуть под одним из деревьев (дерево загораживает лису и её не видно)

 Где сейчас лиса? Под каким деревом находится её нора? Сколько решений имеет задача?

Решение. Рассмотрим данный рисунок как граф, у которого две нечётные вершины, значит, нора лисы находится в одной из них, а сама лиса – во второй, или наоборот, т.е. задача имеет два решения [3].

Задача 3. Обведите нарисованную здесь фигуру одним росчерком, т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии.

Решение. Имеем граф с двумя нечётными вершинами, который можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине [4].

Задача 4. На рисунке  дан план квартиры.  Разрывы в линиях обозначают двери. Маленькому мальчику захотелось за один обход пройти через все двери свое квартиры по одному разу. Его папа помог ему в этом. С какой комнаты мальчик мог начать свой путь?

Решение. Начертим соответствующий плану граф. Вершины 1 и 4 нечетные значит, начав движение в одной нечетной вершине, в конце мальчик окажется в другой нечетной вершине. Задача имеет два решения [2].

Задача 5. Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все 12 рёбер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место она не может.

Решение. Получаем граф с восемью нечетными вершинами. Так как граф имеет более двух нечетных вершин, его нельзя начертить одним росчерком, т.е. оса не сможет  последовательно обойти все 12 рёбер куба, не проходя дважды по одному ребру [2].

Вывод:

1. В данной работе были рассмотрены разные виды лабиринтов и способы их прохождения.
2. Анализ изученной литературы показал, что существует универсальный способ прохождения лабиринтов.

Заключение.

В наши дни лабиринты как строения тоже создаются, но в них уже не вкладывается тот ритуальный смысл, что много веков назад. Лабиринт сегодня – это место отдыха и развлечения. Лабиринты часто встречаются в компьютерных играх. Игры такого типа разгружают мозг. Ведь, как известно, одним из вариантов отдыха от интеллектуальной работы является смена фокуса, на котором сосредоточено внимание. Не обязательно заниматься чем-то монотонным и не требующим мыслительной работы. Можно просто сфокусироваться на другой теме. Лабиринты можно увидеть и в детских игрушках-головоломках, например, вот в таком  шаре Perplexus.

Список литературы.

1. Асарина Е.Ю., Фрид М.Е. Математика выводит из лабиринта. Серия «Занимательная математика» (СЕЗАМ) – М.: ТОО ПКП «Контекст», 1995г.
2. Березина Л.Ю. Графы и их применение. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979г.
3.  Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. Москва «Наука», 1978г.
4. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. Москва 1992г.
5. http://renatar.livejournal.com/23129.html
6. http://ru.wikipedia
7. http://www.slavruss.narod.ru/osnown/KL1.htm
8. http://levvol.ru/answer_euler.php
9. http://www.sova-kr.narod.ru/fun/
10.  http://domzadanie.ru/index.php