"Леонард Эйлер и его круги"

Министерство образования Республики Хакасия

МБОУ «Малоарбатская СОШ»

Леонард Эйлер и его круги.

Выполнила: Миронова Евгения

ученица 11 класса

Руководитель: Чебодаева Г.Г.

учитель математики

Малые Арбаты

Оглавление

Стр

1. Введение……………………………………………………….. 3
2. Биография

1. Швейцария (1707—1727) …………………………..……..4
2. Первый приезд в Россию (1727—1741)…………………..5
3. Пруссия (1741—1766)……………………………………..6
4. Снова Россия (1766—1783)……………………………….8

3. Круги Эйлера…………………………………………………...11
4. Решение задач с помощью кругов Эйлера…………………....13
5. Задачи для самостоятельного решения………………………..22
6. Заключение………………………………………………………23
7. Литература………………………………………………………24
8. Приложение……………………………………………………..25  

1. Введение

Объект исследования – математика.

Предмет исследования – Леонард Эйлер и его геометрическая схема

решения математических задач.

Гипотеза - возможно ли решение текстовых математических задач

геометрическим способом.

Проблема - найти более наглядное, эффективное и  быстрое решение                                математических задач.

Цели:

1. Изучение  творческой биографии Леонарда Эйлера и его методики решения математических задач с помощью кругов.
2. Решение математических задач методом кругов Эйлера.
3. Развитие умения наблюдать и анализировать, выделять существенные признаки и на их основе делать выводы.

Задачи:

1. Рассмотреть творческий и жизненный путь Леонарда Эйлера.

2. Показать применение кругов Эйлера для решения :

а) простых  задач;

б) сложных задач.

Методы исследования:

а) анализ

б) синтез

в) сравнение

г) обобщение

2. Биография

2.1. Швейцария (1707—1727)

Эйлер вычислял без всякого  усилия,

Как человек дышит или как орел парит над землей.

ДОМИНИК АРАГО

Леонард Эйлер, сын Пауля Эйлера и его жены Маргариты Брюкер,  -  идеальный математик XVIII века. Эйлеру повезло: он родился в Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев. Он родился в Базеле 15 апреля 1707 г., но уже в следующем году вместе с родителями переехал в соседнюю деревеньку Рюген, где его отец стал кальвинистским пастором. Пауль Эйлер был сам хорошим математиком, учился у Якова Бернулли. Он хотел, чтобы Леонард наследовал его профессию и стал его преемником в приходе, но, к счастью, допустил оплошность, начав учить сына математике. Юный Эйлер рано понял, чего он хочет. Тем не менее он оставался покорным сыном и, повинуясь воле отца, 20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал  студентом  факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы  он  стал  священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная  работоспособность  сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути. В возрасте 17 лет; тогда отец стал настаивать, чтобы он оставил математику и все свое время уделил богословию. Но после того как Бернулли сказали ему, что удел его сына стать великим математиком, Пауль Эйлер отступил. Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И немудрено, что способный мальчик вскоре обратил на себя  внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. А 8 июня 1724г.17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра. Первую самостоятельную работу Эйлер написал в возрасте 19 лет. Говорили, что она сразу выявляет и сильные и слабые стороны многих последующих его работ. Парижская академия объявила на 1727 г. премию по решению задачи о расположении мачт на кораблях. Работа Эйлера премии не получила, но заслужила похвальный отзыв. Впоследствии он возместил эту потерю, удостоившись премий 12 раз.                                       В начале зимы 1726 года Эйлеру сообщили из Санкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей. 

2.2.Первый приезд в Россию (1727—1741)

Бернулли были надежными людьми. В 1727 г. Эйлер получил официальный вызов в Петербург для поступления на отделение медицины Академии наук. 22 января 1727 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской Академии. 28 января вышел указ сената о создании Академии.. Но радость бедного Эйлера была вскоре омрачена. В тот самый день, когда он ступил на землю России, умерла Екатерина I .

Екатерина I, 1по-видимому, была женщиной широкого ума и именно она за 2 года своего правления после смерти Петра Великого осуществила его желание учредить Академию наук. После ее смерти новые правители России смотрели на Академию как на ненужную роскошь и в течение нескольких беспокойных месяцев обдумывали, как разделаться с ней и выслать иностранных членов академии домой. Такова была ситуация, когда Эйлер прибыл в Петербург.

Но все устроилось, и Эйлер приступил к работе. В течение 6 лег он не отрывался от стола, не только потому, что был поглощен без остатка математикой, но также потому, что не решался вести нормальную жизнь в обществе из-за окружавших его вероломных соглядатаев.

В 1733 г. Даниил Бернулли возвратился в Швейцарию и 26-летний Эйлер занял положение ведущего математика в академии. Эйлер решил жениться и устроить свой быт. Его выбор пал на Катарину, дочь живописца Гзелля, которого Петр Великий привез с собой в Россию. В один из последних дней 1733 г. 26-летний Леонард Эйлер женился на Екатерине Гзель, которой в это  время тоже было 26 лет. Свадьба, Новый год – два праздника сразу!  Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Эйлер был одним из нескольких великих математиков, которые умели работать всюду, при любых условиях. Он очень любил детей (у него своих было 1З, из которых 5 умерло в раннем детстве) и часто писал свои работы, держа на коленях ребенка в то время как старшие дети играли вокруг него. Легкость, с которой он разрабатывал наиболее трудные вопросы математики невероятна.

О потоке идей, исходивших от него, сохранилось много легенд. Некоторые из них, безусловно, являются преувеличением. но говорят, что Эйлер мог набросать математическую статью за полчаса — между первым и вторым приглашением к обеду. Как только статья была закончена она занимала место наверху постоянно растущей кипы работ, ожидающих издания Когда был нужен материал для трудов академии, издателю оставалось лишь взять какую-то подборку из этой кипы. Когда в 1730 г. малолетний царь умер, императрицей стала Анна Иоанновна (племянница Петра), и это событие благоприятно отразилось на судьбе академии.

2.3. Пруссия (1741—1766)

После смерти Анны в 1740г. русское правительство стало более либеральным, Но Эйлер достаточно уже натерпелся и был рад принять приглашение Фридриха Великого стать членом Берлинской академии наук.

Эйлер подал руководству Петербургской Академии прошение об отставке: того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призвание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным паспортом.

Академия не стала возражать. Эйлер был «отпущен от Академии» в 1741 году и утверждён почётным академиком с окладом 200 рублей. Взамен он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии — и действительно, все проведённые в Пруссии годы добросовестно участвовал в публикациях Академии, редактировал математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты. На квартире Эйлера, годами жили молодые русские учёные, командированные на стажировку. Известно об оживлённой переписке Эйлера с Ломоносовым, в творчестве которого он высоко ценил «счастливое сочетание теории с экспериментом». В 1747 году он дал благоприятный отзыв о статьях Ломоносова по физике и химии, утверждая: Все сии сочинения не только хороши, но превосходны, ибо он изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкованию самым остроумным ученым людям, с таким основательством, что я совсем уверен в справедливости его изъяснений. При сем я должен отдать справедливость г-ну Ломоносову, что он дарован самым счастливым остроумием для объяснения явлений физических и химических.

В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений Иоганна Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: «Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости».

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходят его работы огромной важности для науки: «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Морская наука» (1749), «Теория движения Луны» (1753), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755). Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открывает вариационное исчисление. Вскоре Эйлер избирается членом четырёх ведущих Академий наук.

В 1753 году Эйлер купил поместье в Шарлоттенбурге (пригород Берлина) с садом и участком. Мать известила Эйлера о смерти в Швейцарии его отца; вскоре она переехала к Эйлеру.

Огромную популярность приобрели в XVIII веке, а отчасти и в XIX-м, эйлеровские «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе…», которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Это научно-популярная энциклопедия широкого охвата, написанная ярко и общедоступно.

Работоспособность Эйлера до конца жизни оставалась исключительной. Он «выдавал» в среднем 800 страниц «ин-кварто» (страница размером в ¼ от бумажного листа) в год. Это немало даже для сочинителя романов; для математика же такой объём научных трудов можно считать рекордным.

Всемирная слава не вскружила голову Эйлеру. По отзывам современников, он всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным, чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому. Однако отношения с королём не складываются: Фридрих II находит нового математика невыносимо скучным, совершенно не светским, и обращается с ним пренебрежительно.

В 1759 году: умер Мопертюи, президент Берлинской Академии наук. Пост президента Академии король Фридрих II предложил Даламберу, но тот отказался. Фридрих, недолюбливавший Эйлера, всё же поручил ему руководство Академией, однако без титула президента.

С начала 1760-х годов Эйлер, всё более третируемый королём, взвешивал перспективу переезда в Лондон. Однако вскоре его планы изменились. В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая осуществляла политику просвещённого абсолютизма. Хорошо понимая значение науки как для прогресса государства, так и для собственного престижа, она провела ряд важных, благоприятных для науки, преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица предложила Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, — говорилось в письме её представителю, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

Эйлер действительно запросил больше: оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии; ежегодная пенсия 1000 рублей супруге после его смерти; оплачиваемые должности для троих его сыновей, в то числе пост секретаря Академии для старшего. Все эти условия были приняты.

Эйлер возвращается в Россию, теперь уже навсегда.

2.4. Снова Россия (1766—1783)

В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже II, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове в доходном доме по адресу: Николаевская набережная, 15. На доме установлена мемориальная доска,  в нём располагается средняя школа. На приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии

Как раз в это время стало слабеть зрение Эйлера на второй глаз, и вскоре он ослеп совершенно. Но он немедленно нашел способ поправить непоправимое. Перед тем как последний луч света угас для него, он наловчился писать свои формулы мелом на большой грифельной доске. После этого он диктовал объяснения формул своим сыновьям. Его математическая производительность не только не уменьшилась а, наоборот, возросла.

Эйлер в течение всей жизни обладал феноменальной памятью. Он наизусть знал «Энеиду» Вергилия. Эйлер мог всегда процитировать первую и последнюю строку любой страницы своего экземпляра знаменитой поэмы. Его память была и зрительной и слуховой. Он также обладал необыкновенной способностью производить вычисления в уме, не только арифметического характера, но и более трудного типа, требовавшие обращения к высшей алгебре и анализу. Все основные формулы в полном объеме математики того времени точно укладывались в его памяти.

Как иллюстрацию способностей Эйлера, Кондорсе рассказывает что 2 студента Эйлера, суммируя сложный сходящийся ряд  вплоть до 17-го члена, разошлись только на единицу в 50-м знаке результата. Чтобы решить, кто из них прав, Эйлер проделал все вычисление в уме и нашел правильный ответ. Эти удивительные качества Эйлера теперь пригодились ему, и он не очень много потерял как математик, лишившись зрения. Теория Луны — исследование ее движения, что было единственной задачей, когда-либо вызывающей головную боль Ньютона, — получила свою первую разработку в руках Эйлера. Весь сложный анализ был проведен им полностью в уме.

В 1771 г.через 5 лет после возвращения  в Петербург, в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий,  в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память.

        Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом. Однако эта неприятность оказалась лишь временной. В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Вензель, который согласился сделать  Эйлеру операцию –и удалил с левого глаза катаракту. Вся операция заняла 3 минуты – и Эйлер снова стал видеть! Окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать – лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Но разве мог Эйлер «не вычислять»? Уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. Однако , как ни странно, отнёсся он к  событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе. В 1773 г. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Николаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс  обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. Последующие десять лет – до самой своей смерти – Эйлер именно ему диктовал свои труды. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами старшего сына» и ряда своих учеников

В 1776 г. (когда ему было 69 лет) Эйлер испытал тяжелую потерю: умерла его жена. В следующем году он женился снова, на Саломее Гзелль — сводной сестре первой жены.

Эйлер систематизировал и унифицировал обширные области, напичканные частными результатами и изолированными теоремами, расчищая почву и увязывая стоящие вещи с помощью легко реализуемой мощи своего аналитического аппарата. Даже сейчас многое из того, что изучается в курсах математики высших учебных заведений, практически является таким же, каким оно осталось у Эйлера.

Даже в творческом отношении Эйлер сочетал учебные цели со своими открытиями. Его великие трактаты 1748, 1755 и 1768— 1770 гг. по анализу немедленно стали классическими и в течение трех четвертей века продолжали вдохновлять молодых людей, которым предстояло стать великими математиками. В своем труде по вариационному исчислению Эйлер впервые раскрыл себя как математик высшего класса.

Но он не был только математиком. В литературе и во всех естественных науках он, по крайней мере, был хорошо начитан. Но даже когда Эйлер наслаждался «Энеидой», он не мог не искать новых задач, чтобы подвергнуть их атаке своего математического гения. Строка «Якорь брошен, стремительный киль останавливается» заставляла его в таких обстоятельствах заниматься движением судна. Его неуемная любознательность поглотила однажды даже астрологию, но он показал, что не привел ее в надлежащий вид, вежливо отказавшись составить гороскоп царевича Ивана в 1740 г., сославшись на то, что это относится к компетенции придворного астронома.

Одно сочинение берлинского периода — его прославленные «Письма к одной немецкой принцессе», содержащие уроки механики, физической оптики, астрономии, акустики и т. д., — показывает нам Эйлера как изящного литератора. Письма стали популярными и распространялись в виде книг на 7 языках. Эйлер оставался полноценным математиком, здоровым душой и телом до самой последней секунды своей жизни. Смерть наступила на 77-м году его жизни, 18 сентября i783 г. Насладившись после полудня вычислением законов поднятия воздушного шара на грифельной доске как обычно, он пообедал с Лекселем и своей семьей. «Планета Гершеля» (Уран) была тогда только что открыта; Эйлер набросал вычисления ее орбиты. Немного позже он попросил принести ему внука. Удар случился, когда он играл с ребенком и пил чай. Трубка выпала из его рук, и со словами «я умираю»  «Эйлер перестал жить и вычислять».

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

Эйлер — автор более чем 800 работ по: математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

По отзывам современников, по характеру Эйлер был добродушен, незлобив, практически ни с кем не ссорился. Ему требовалось для полноты жизни только одно — возможность регулярного математического творчества. В то же время он был жизнерадостен, общителен, любил музыку, философские беседы.

 «Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель», — любил повторять Лаплас Труды Эйлера с большой пользой для себя изучали и «король математиков» Карл Фридрих Гаусс, и практически все знаменитые учёные XVIII—XIX веков. Именем великого ученого – математика названы: кратер Euler на Луне,астероид 2002 Эйлер,Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге,благотворительный фонд поддержки отечественных учёных,Медаль (англ. Euler Medal), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its Applications) за достижения в этой области математики. Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планируется выпуск 75 томов, из них вышло 72. 8 дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем).

3. Круги Эйлера

Леонард Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Леонард Эйлер за свою 76-летнюю жизнь  написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.

Пример диаграммы Эйлера. B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру .При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако, этим методом еще до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

«Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.

4. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задача 1. Ученики нашего класса принимали участие в олимпиаде по биологии и русскому языку, часть – только по биологии, а часть в двух олимпиадах. По биологии принимало участие 85%, по русскому языку 75%. Сколько процентов учащихся участвовало в двух олимпиадах?

Решение. Составим схему:

В кружке под буквой «Б» обозначим учащихся, участвующих в олимпиаде по биологии, под буквой «Р» - по русскому языку. В общей части кружков обозначим учащихся, участвующих в двух олимпиадах. Теперь от всех учащихся (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим учащихся, участвующих только по русскому языку (15%). А теперь от всех, участвующих по русскому языку (75%), отнимем эти 15%. Получим участвующих в двух олимпиадах (60%). Ответ: 60%.

Задача 2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение. Изображение:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц лилий, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2, так как лилии и фиалки у двоих. В оставшейся части круга «лилий» ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части круга «фиалок» ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг. Ответ: 9 подруг.

Задача 3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение. Изображение:

18 + 11 + 17 - 3 - 10 - 6 + 1 = 28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30 - 28 = 2. Ответ: 2 вратаря.

Задача 4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение. 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2 Аналогично получаем: (х − 6) — только автобусом и (х + 4) — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3. Ответ: 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 - 10 - 12 - 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3.

Задача 5. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучают не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Решение А + Н = 34 Ф + Н = 25 Н = 6 А + Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х одновременно Изображение:

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х + 25 – х – 6 – х – 3 = 40 – 2х = 40 – 34 + 3 – 25 – 2х = –10 х = 5 Ф + Н = 5 человек. А + Н = 8 человек. А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек. Н = 6 человек. Ф = 25 – 5 – 6 –8 = 6 человек. Всего 40 человек.

Задача 6. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 магнитофонов, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и магнитофон, 19 - и магнитофон, и телевизор, 15 - холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение: Изображение:

Купили только холодильники: 35 - (20 - 3) - (15 - 3) - 3 = 4. Купили только магнитофоны: 36 - (20 - 3) - (19 - 3) - 3 = 0. Купили только телевизоры: 37 - (15 - 3) - (19 - 3) - 3 = 6. Тогда всего покупателей было: 4 + 17 + 3 + 16 + 12 + 6 = 58. 65 - 58 = 7 посетителей магазина не купили ничего. Ответ: 7.

Задача 7. Спортивный класс

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.

Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,

а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов.

Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта.

Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта -

баскетболом занимаются

16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

одним лишь хоккеем

17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лишь футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

z = 2.

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ. Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.

Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Задача 8. В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, 9 - в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?» Надеемся, что задача не очень сложная и Вы с ней легко справитесь. В самом деле, легко заметить, что 19 ребят (35 - 16=19) посещают кружки, из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога (12-10=2) увлекаются математикой. Оказывается, упростить решение этой задачи помогают  круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определённым свойством.

Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим круги поменьше:

Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологи-математики, о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри большого круга 35 учеников, внутри кругов М и Б - 35-16=19 учеников, внутри круга М - 12 ребят, значит, в той части круга Б, которая не имеет ничего общего с кругом М, находится 19-12=7 учеников, следовательно, в МБ находится 2 ученика (9-7=2). Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой.

С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи:

1)35-16=19(чел.);

2) 12+9=21 (чел.);

3)21-19=2(чел.). Вопросы к каждому действию постарайтесь поставить сами. Уверены, у вас всё получится!

Задача 9. В туристической группе из 100 человек 75 человек знают немецкий язык, 65 человек-английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка?

Решение. Изобразим условие задачи в виде кругов Эйлера. В большом круге, изображающем 100 туристов, поместим 2 меньших круга, изображающих знатоков английского и немецкого языков.

Легко видеть, что 90 туристов (100-10) знают хотя бы один язык; 15 туристов (90-75) знают только английский язык, 75-15=50 – туристов знают оба языка.

Ответ: 50 туристов.

Задача 10. В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение.

Д –драмкружок; Х - хор; С - спорт. В круге Д - 27 ребят, в круге Х - 32 человека, в круге С - 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор или драмкружок, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек.

Задача 11. В областной спартакиаде участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет юношеский спортивный разряд по одному или нескольким видам спорта: лёгкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 - по плаванию. Сколько учеников из этой команды имеют разряды по трём видам спорта, если по лёгкой атлетике и гимнастике - 4 человека, по плаванию и гимнастике - 2 человека?

Ответ; один человек.

Указание: А - круг, изображающий имеющих разряды по лёгкой атлетике; Б - по гимнастике; В - по плаванию.

5. Применение кругов Эйлера на уроках биологии.

Операция выявления отношений между понятиями и моделирование их в кругах Эйлера.

Отношения         Отношения

подчинения                                                  противоречия

природа  А                                                           А / не А

грибы  Б

растения грибы животные

        отношения        Р        С                  Ж        

            противоречия        А        грибы        Б

                      А//Б                

                                            биосфера

соподчинение        Ж.П.        Н.П.

                                                   почва

6. Задачи для самостоятельного решения

12. Часть жителей одного городка умеют говорить только по-русски, часть только – по - белоруски, а часть - умеет говорить на обоих языках. По-русски говорят 75%, а по-белорусски - 85% жителей. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

13. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и волейболом - трое, волейболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом. Сколько ребят одновременно увлекается тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается только одним из этих видов спорта?

14. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют "3" 19 человек, по математике - 17 человек и по физике - 22 человека. Только по одному предмету имеют "тройки": по русскому языку - 4 человека, по математике - 4 человека и по физике - 11 человек. Семь человек имеют "тройки" и по математике и по физике, из них пятеро имеют тройки по русскому языку. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трёх предметов?

15. Каждый из 40 человек, путешествующий автобусом "Граунд" знает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 36 человек знают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 19 человек - хотя бы один из языков: немецкий, французский; 8 человек - только немецкий. Одновременно два языка - английский и немецкий - изучают на 5 человек больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучают каждый из языков и сколько изучают каждую пару языков?

16. Контрольная работа по математике состояла из задачи, уравнения и неравенства. Контрольную работу писали 40 человек. Правильно решили только задачу 2 ученика, только неравенство - 4 человека, только уравнение - 3 человека. Не решили только задачу 7 человек, только уравнение - 5 человек, только пример - 6 человек. Остальные выполнили всю работу правильно. Сколько таких учащихся?

17. Пол комнаты площадью 12м2 покрыт тремя коврами: площадь одного ковра 5м2, другого - 4м2 и третьего - Зм2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5м2, причём 0,5м2 из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какова площадь пола, не покрытая коврами? Какова площадь пола, покрытого только одним первым ковром?

7. Заключение:

В результате работы над данной темой мы пришли к следующим выводам:

1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью;

2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества.

3) Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

4) Путем применения кругов Эйлера, можно легко обобщать многие факты биологии, экономики и химии.

8. Литература:

1. Белл Э.Т. Творцы математики. М.Просвещение.1979 г.
2. Гусев В.А. и другие. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М. Просвещение.1984 г.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.Просвещение. 1981 г.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.Просвещение. 1982 г.
5. Давыдов В.В. О понятии развивающего обучения . М. Серия «Библиотека Развивающего обучения»
6. Котек В.В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961 г.
7. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII – XIX веков. 1956 г.
8. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. «Наука». 5 издание.
9. Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука,1968 г.
10. Задания международного конкурса «Кенгуру». 2006-2007 год.
11. Задания дистанционной математической школы Г.Новосибирск. 2 год обучения. 2008 – 2009 учебный год.

  9. Приложение:

Базельский университет в XVII—XVIII веках

Снова Россия (1766—1783)

Здание Петербургской Академии наук во второй

половине XVIII века (Кунсткамера)

.

Швейцарская банкнота с портретом молодого Эйлера

Почтовая марка ГДР, посвящённая Леонарду Эйлеру,

1983, 20 пфенигов (Михель 2825, Скотт 2371)

Леонард Эйлер. Портрет работы Иогана Кёнига.

1881 г. (изображение: «Природа»)

Мемориальная доска на доме Эйлера в Берлине

Надгробие Л. Эйлера, гранитный саркофаг, 1837 год

Леонард Эйлер, портрет (1753), выполненный

Эмануэлем Хандманном (Kunstmuseum, г. Базель)