Презентация Решение ОДУ

Слайд 1

Слайд 2

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи. Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном(1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем .

Слайд 3

Постановка задачи При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений ( ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Слайд 4

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n- го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x): з десь y(n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная . Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ. Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C 1 , C 2 , …, C n

Слайд 5

Задача Коши (начальная задача ) Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке : то есть, задано определенное значение независимой переменной (х 0 ) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х 0 ) называется начальной . Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x 0 , y 0 ) Такого рода задача встречается при решении ОДУ , которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени ( t = 0 ) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени ( t ) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

Слайд 6

Метод Эйлера Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой ( y ) и независимой ( x ) переменных между узлами равномерной сетки: где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 . Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y i+1 , если известно y i в точке х i :

Слайд 7

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения следует , что значение есть значение производной функции y(x) в точке x= xi - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной , проведенной к графику функции y(x) в точке x= xi .

Слайд 8

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x= x i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной.

Слайд 9

Численное интегрирование Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура ) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла. Численное интегрирование применяется, когда: Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x) , для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией φ(x) . Такой функцией обычно является полином ( кусочный полином) То есть:

Слайд 10

Обзор методов интегрирования Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов – кубатурными ). Методы Ньютона- Котеса . Здесь φ(x) – полином различных степеней. Сюда относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона . Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Здесь узлы сетки для квадратурного или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. В основном применяются для вычисления кратных интегралов . Сплайновые методы. Здесь φ(x) – кусочный полином с условиями связи между отдельными полиномами посредством системы коэффициентов . Методы наивысшей алгебраической точности. Обеспечивают оптимальную расстановку узлов сетки

Слайд 11

Рассмотрим один из них : метод прямоугольников Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс. Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = x i .

Слайд 12

Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = x i . Вычислим Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

Слайд 14

Численное дифференцирование основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом . Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы). Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в её середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде: Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином) , для которой приближенно полагают

Слайд 15

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x о, x1 ,…, xn строят интерполяционный полином P (n)(x) в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно полагают

Слайд 16

Спасибо за внимание!