Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Опубликовано Козина Наталья Александровна вкл 30.10.2017 - 15:43

Автор:

Ряшин Кирилл Олегович

Актуальность исследовательской работы состоит в предложенных способах решения задач на нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге с применением формулы Пика, которая не изучается в школьном курсе математики. С подобными задачами каждый выпускник школы встретится на ГИА.

Цель данной работы: познакомиться с различными способами нахождения площадей многоугольников на клетчатой бумаге, научиться решать задачи с использованием формулы Пика и выбирать рациональный способ решения в конкретных случаях.

Методы исследования, которые использовались в данной работе: поисковый, информационно-аналитический, исследовательский, анализ и классификация информации, сравнение и обобщение полученных результатов.

Теоретическая значимость исследования: расширение знаний о способах вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Практическая значимость исследования: освоение решения задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика, создание справочного буклета, в котором представлены пять способов нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Для полноценного анализа возможных способов решения задач на клетчатой бумаге в работе представлены 6 задач из образовательного портала для подготовки к экзаменам "Решу ОГЭ" (http://math.oge.sdamgia.ru/), каждая из которых решена несколькими способами.

В ходе исследования было выяснено, что формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки. Также были проведены практические занятия с учащимися 9 и 11 классов по данной теме.

Скачать:

Вложение	Размер
ryashin_kirill_geometriya_na_kletchatoy_bumage._formula_pika.docx	475.63 КБ

Предварительный просмотр:

Департамент образования Ямало – Ненецкого автономного округа

Департамент образования администрации МО Ямальский район

МБОУ «Новопортовская школа – интернат имени Л.В. Лапцуя»

IX муниципальное заочное соревнование юных исследователей

«Ступень в будущее. Юниор»

Секция: Естественные науки. Прикладная математика (геометрия).

Исследовательская работа

Автор: Ряшин Кирилл Олегович, обучающийся 6а классаМБОУ "Новопортовская школа-интернат имени Л.В. Лапцуя".

Научный руководитель: Козина Наталья Александровна, учитель математикиМБОУ "Новопортовская школа-интернат имени Л.В. Лапцуя".

Адрес школы: 629712, ЯНАО, Ямальский район, с. Новый Порт, ул. Школьная, 2.

с. Новый Порт,

2016 г.

Оглавление

Введение 3

1. Теоретическая часть. 6

1.1. Многоугольники 7

1.2. Формулы площадей многоугольников 8

1.3. Способы вычисления площади многоугольника 9

1.3.1. Подсчет клеток. 9

1.3.2. Решение задач с использованием основных формул планиметрии. 9

1.3.3. Разбиение многоугольника на части . 10

1.3.4. Достраивание фигуры до прямоугольника 10

1.3.5.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика. 10

2. Практическая часть. Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге 12

2.1. Решение задач. 12

2.2. Анализ использования способов решения задач 12

2.3. Проведение практического занятия с учащимися 9, 11 классов в 2014 -2015 уч. году 13

Заключение 14

Список литературы 15

Приложения XVII

Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика

Ряшин Кирилл Олегович

Ямало-Ненецкий автономный округ, МО Ямальский район, с. Новый Порт

МБОУ «Новопортовская школа-интернат им. Л.В. Лапцуя», 6а класс

Введение

Со всем недавно, 2 года назад, мой старший брат сдавал ЕГЭ по математике. Моя мама, учитель математики, помогала ему, объясняла, показывала разные способы решения задач. Каждый вечер они с мамой решали разные задания. Меня заинтересовало задание по геометрии: нужно было вычислить площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см и записать ответ в квадратных сантиметрах. Первоначально меня поразила простота задания. Но, геометрических фигур очень много. Как и фигуры могут быть различными, так и способы решения данной задачи тоже различны.

В этом году я учусь в 6 классе. В кабинете математики после обеда всегда идут консультации по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ по математике. Работая дополнительно с учителем математики, я опять увидел, как уже учащиеся 9 класса решают эти задания на клетчатой бумаге. Получается, что и в 9, и в 11 классах есть подобные задания на экзаменах. Сколько же формул нужно знать, чтобы решить эти задания? Но мой учитель, Наталья Александровна, сказала, что есть много способов решения этих заданий. И один из способов - формула Пика.

Меня это заинтересовало. Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Я ознакомился с этой формулой и попробовал решить с помощью формулы Пика задачи на клетчатой бумаге. Задачи решались очень быстро и легко. А ведь я не знаю многих формул нахождения площадей четырехугольников.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально, что, несомненно,облегчит учащимся решения задач по данной теме на выпускных экзаменах.

Актуальность

С подобной задачей каждый выпускник школы встретится на государственной итоговой аттестации (ГИА). Поэтому, можно сделать вывод о необходимости подробного изучения данной темы с первыми шагами в геометрии. Мне, как и всем учащимся, необходимоовладеть навыками вычисления площадей геометрических фигур различными способами. Приобретенные знания и умения пригодятся каждому выпускнику не только на ГИА, но и повседневной жизни.

Проблема

Качество знаний учащихся по математике на ГИА в 9 и 11 классах в Ямальском районе снижается. Это видно из анализа результатов проведения ГИА-9, ЕГЭ-11 в общеобразовательных организациях муниципального образованияЯмальский район в 2012/2015 учебных годах^[1]. В 2014-2015 учебном году в 11 классе средний балл взят из профильного уровня (см. Таблица 1).

Таблица 1

Сводная таблица результатов экзаменов по математике 9 и 11 классов в 2012/2015 уч. годах

Учебный год	Качественная успеваемость по математике по району, 9 класс (%)	Средний балл по району в11 классе
2012-2013	74	41,3
2013-2014	21	37,1
2014-2015	18	39

Но как показывают результаты выпускных экзаменов в 9 и 11 классах, не каждый учащийся может справиться с данным заданием на экзамене. Я проанализировал результаты решения задач на клетчатой бумаге на ГИА в разрезе 3 лет в 11 и 9 классах и взял результаты пробных экзаменов в 9 – ых, 11 классах в 2015-2016 уч. году в МБОУ "Новопортовская школа-интернат имени Л.В.Лапцуя". Данные представлены в Таблице 2.

Таблица 2

Сводная таблица по решаемости задач на клетчатой бумаге на ГИА в разрезе трех лет

Учебный год	Класс	Обозначение задания в работе	Проверяемые элементы содержания	% выполнения
2012-2013	9	12	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	100
2012-2013	11	В6		86
2013-2014	9	12		55
2013-2014	11	B5		67
2014-2015	9	12		86
2014-2015	11 (профиль)	3		86
2015-2016(пробный экзамен)	9	12		43
2015-2016(зимняя сессия)	11	3		33

Из данной таблицы видно, что нет стабильности в правильном решении данных задач у учащихся.

Цель работы:познакомиться с различнымиспособами нахождения площадей многоугольников на клетчатой бумаге, научиться решать задачи с использованием формулы Пика и выбирать рациональный способ решения в конкретных случаях.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Задачи:

Изучить теоретические сведения, используя литературу по данной теме и Интернет-ресурсы.
Изучить общие способы вычисления площади многоугольника
Рассмотреть различные способы решения данных задач совместно с учителем математики.
Научиться решать задачи с помощью формулы Пика
Провести практическое занятие с одноклассниками и учащимися 9 и 11 классов по данной теме.
Изготовить справочныйбуклет для учащихся и выпускников школ.

Объектисследования:площадь многоугольников на клетчатой бумаге.

Предмет исследования:применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования:

Поисковый.
Информационно-аналитический.
Исследовательский.
Анализ и классификация информации.
Сравнениеи обобщение полученных результатов.

Теоретическая значимость исследования: расширение знаний о способах вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Практическая значимость исследования: освоение решения задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика, создание справочного буклета, в котором представлены пять способов нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.

1. Теоретическая часть.

1.1. Многоугольники

Многоугольник— это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев)^[2].

Также в другой учебной литературе приводится другое определение многоугольника: многоугольник - это геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а не смежные не имеют общих точек^[3].

Многоугольник часто называют по количеству сторон его вершин четырех-, пяти-, шести-, семиугольником и так далее.

Изучая справочную литературу, я узнал, что существуют еще и другие многоугольники: ромб, параллелограмм, трапеция, а также выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся на узлах решетки (вершины клетки).

Параллелограмм(др.-греч.— линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Ромб – четырёхугольник (параллелограмм), у которого все стороны равны между собой (см. ПриложениеI, рис. 1). Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Трапеция(от др.-греч.— «столик»; «стол, еда») – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами трапеции (см. ПриложениеI, рис. 2).

Оказывается, что вариантов многоугольников может быть великое множество, что исключает нахождение универсального решения задачи нахождения их площади

1.2. Формулы площадей многоугольников

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник (см. ПриложениеI, рис.3).

С понятием площади мы познакомились еще в начальных классах, научились находить площадь прямоугольника и квадрата.В 5 классе познакомились с формулой площади прямоугольного треугольника и с двумя свойствамиплощадей^[4]:

Равные фигуры имеют равные площади.
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Из учебника "Геометрия 7-9 классы" авторов Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. я узналформулы площадей других геометрических фигур.

1.2.1.Площадьпараллелограмма равна произведению его основания на высоту^[5]:

S = AD h,

где S — площадь параллелограмма;a — основание;h — высота, проведенная к данному основанию.

Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть наследующий рисунок 4 в ПриложенииI. Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.

1.2.2.Площадь треугольникаравнаполовине произведения его основания на высоту^[6]:

S = аh , где а-длина одной из сторон треугольника, h-высота, опущенная к этой стороне (см. ПриложениеI, рис. 5).

Данную формулу можно запомнить, дополнив данный треугольник ABC – до параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна сумме площадей равных треугольников ABC и CDA. Значит, площадь одного треугольника равна:

1.2.3. Площадь ромбаравна половине произведениюдлин его диагоналей.S = d1d2, где d1, d2 - длины диагоналей (см. ПриложениеI, рис. 6). Площадь ромба можно вычислить по формуле площади параллелограммаS=a·h^[7].

1.2.4. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту^[8]:

S = (a + b)h ,где а, b – длина каждого из оснований трапеции,h – высота трапеции (см. ПриложениеI, рис.7).

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

1.3. Способы вычисления площади многоугольника

1.3.1. Подсчет клеток(см. ПриложениеI, рис. 8).

Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника. Их10.
Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. Здесь таких клеток 5.
Осталась одна половина клетки.
Сложим полученные количества полных клеток:S = 10+5 = 15 (см2). Ответ: 15

1.3.2. Решение задач с использованием основных формул планиметрии.

Определяем вид многоугольника.

Для нахождения площади данного многоугольника (см. ПриложениеI, рис. 9) воспользуемся формулой площади треугольника:

Опустим высотуh. Её длина (определим по клеткам) равна 5 см.
Определим длину основания (по клеткам)а = 7 см.
Вычисляем площадь по формуле: S = ∙ 5 ∙ 7 = 17,5 (см2).Ответ: 17,5

Нахождение площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями(см. ПриложениеI, рис.10).

В этом случае можем воспользоваться формулой нахождения площади ромба.

S = ∙ d1d2,еслиd1d2,где d1, d2– взаимно перпендикулярные диагонали четырехгольника. Имеем, S = ∙ 7 ∙ 9 = 31,5 (см2).Ответ: 31,5

1.3.3. Разбиение многоугольника на части(см. ПриложениеI, рис.11).

Воспользуюсь 2-ым свойством площади: если разбить фигуру на несколько частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Нужно:

выполнить дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которыхможновычислить по формулам;
сложить площади полученных фигурS = S1 + S2 .

1.3.4. Достраивание фигуры до прямоугольника(см. ПриложениеI, рис. 12).

В этом случае площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник. Тогда надо:

достроить многоугольник до прямоугольника;
найти размеры, площадь полученного прямоугольника;
вычесть площади лишних частей (фигур) из площади прямоугольника.

1.3.5.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика.

Изучая различные способы решения задач на нахождение площадей, я, во-первых узнал новое имя из истории математики и убедился, что существует ещё один, способ вычисления площадей многоугольников, он не входит в школьную программу (в Германии - входит), но он очень прост! Формула Пикаприменяется для вычисления площади многоугольника,вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки(с целочисленными вершинами) (см. ПриложениеI, рис. 13).

Формула была открыта в 1899 году австрийским математиком Георгом Пиком(GeorgAlexanderPick). Я изучил его биографию, узнал, когда и при каких обстоятельствах была открыта эта формула^[9].

В чём состоит формула Пика? Линии, идущие по сторонам клеток, образуют клетчатую решётку, а вершины клеток — узлы этой решётки.

Итак, формула ПикаS= В + Г - 1,где S — площадь многоугольника;В – количество узлов сетки, расположенных внутримногоугольника (внутренние точки);Г – количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника и на его вершины (точки на границе многоугольника)^[10] (см. ПриложениеI, рис. 14).

Приведу пример нахождения площади фигуры на формулу Пика, чтобы продемонстрировать красоту и простоту этого метода (см.ПриложениеI, рис. 14).

Количество узлов внутри многоугольника равно 7, т.е.В=7.
Количество узлов на сторонах (на границе) многоугольника равно 8, т.е. Г=8
Подставим значения в формулуS= В + Г - 1,
S= 7+8: 4-1= 7 +4 -1 =10(см2). Ответ: 10

Формула Пика справедлива и для единичного квадрата ( квадрата со стороной а = 1).В самом деле, если В=0, Г=4 , то для него S= 0 + 4:2 – 1= 1.

А еще я хочу заметить, что из формулы Пика следует очень важный факт. Количество точек (узлов) внутри и количество узлов (точек) на границе — число целое. Значит, площадь может получиться либо целым числом, либо полуцелым. Поэтому если площадь решетчатого многоугольника с вершинами в узлах получается, к примеру, равной 10,25, значит, допущена ошибка.

Я познакомился с пятью существующими способами вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Какой же из них самый рациональный? Посмотрим на практике…

2. Практическая часть. Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге

2.1. Решение задач.

Нет сомнения в том, что каждую задачу можно решить любым из перечисленных способов. Разные способы дают один и тот же результат.

Для полноценного анализа возможных способов решения задач на клетчатой бумаге, проверяющих на ГИА умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами, я отобрал 6 задач из образовательного портала для подготовки к экзаменам "Решу ОГЭ".(http://math.oge.sdamgia.ru/)

В работе представлены наиболее рациональные способы решения данных задач. Сначала я решал задачи с использование формулы Пика, а остальными способами решал задачи совместно с учителем математики (см. Приложение II, Таблица 1, Таблица 2, Таблица 3, Таблица 4,Таблица 5, Таблица 6).

2.2. Анализ использования способов решения задач

Проанализируем решение выбранных задач.

Я ни разу не использовал способ «Подсчета клеток», считая его не актуальным при решении экзаменационных задач во избежание ошибок.

Решив первую задачу (см. Приложение II, Таблица 1) разными способами видно, что в данном случае решать ее было рациональнее, используя формулу площади треугольника, то есть используя формулы планиметрии. Из решения второй задачи (см. Приложение II, Таблица 2) наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Пика и формулы площади трапеции. Решая третью, четвертую, пятую задачи (см. Приложение II, Таблица 3, Таблица 4, Таблица 5) разными способами, я решил, что наиболее рациональным оказался способ по формуле Пика.Из представленных способов решения шестой задачи (см. Приложение II, Таблица 6) самым громоздким был способ "Достраивания фигуры до прямоугольника", самым рациональным – по формуле Пика и разбиением многоугольника на части.

Все данные по рациональности решения задач я внес в таблицу (см. Приложение II, Таблица 7).

Задачи мной отбирались случайным образом. Определенный мной процент рациональности (если его так можно назвать) использования способа решения задач не является закономерностью. Таким образом, я считаю, что вычисление площади решетчатого многоугольника по формуле Пика – это самый рациональный, универсальный способ. Он действительно абсолютно не зависит от той фигуры, которая нам дана. Но в целях самопроверки рекомендую решить задачу еще одним удобным способом.

2.3. Проведение практического занятия с учащимися 9, 11 классов

в 2014 -2015 учебном году

В 2014-2015 уч. году совместно с учителем мы провели практическую работу по решению задач на нахождении площади многоугольника на клетчатой бумаге среди 11 и 9 классов. В данной работе приняли участие 32 учащихся. Сначала им было предложено решить эти же 6 задач без знания формулы Пика, а после знакомства с этой формулой было предложено решить эти задания, но уже с применением данной формулы.

Результаты первой практической работы таковы, что полностью с работой справились - 25% учащихся (8 человек). После знакомства с формулой Пика с работой справились 56% учащихся (18 человек).

Заключение

В ходе написания работы изучены литература и Интернет–ресурсы о многоугольниках и их площадях,формулы планиметрии вычисления площадей четырехугольников (трапеции, ромба, параллелограмма), треугольника. Я научился выполнять дополнительные построения: опускать высоту, строить диагонали, вычислять площадь выпуклого или невыпуклого решетчатого многоугольникаразличнымиспособами.

Их всего пять:

Подсчет клеток
Решение задач с использованием основных формул планиметрии
Разбиение многоугольника на части
Достраивание фигуры до прямоугольника
Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Изучая различные способы решения задач на нахождение площадей, я, во-первых, узнал новое имя из истории математики, рассмотрелдоказательство теоремы Пика. И убедился, что существует ещё один, метод вычисления площадей многоугольников, он не входит в школьную программу, но он очень прост и красив!

При помощи формулы Пика большинство представленных экзаменационных задач решаются за минуту. Поэтому я всем рекомендую данный способ запомнить.

Сравнивая и обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что каждый из рассмотренных способов в различных ситуациях представляет собой рациональный подход и значит, их всех надо знать и уметь применять.

Я советую выпускникам решать эти задачи на ГИА двумя-тремя способами (если позволит время) в целях самопроверки и получения верного результата.

Я подготовилсправочныйбуклет-памятку (см. Приложение III)для учащихся и выпускников школ, также провелпрактические занятия в5а классе, 9 и 11классах нашей школы в 2014-2015 уч. году. В конце учебного года хочу познакомить учащихся 9 классов с этой формулой. Надеюсь, им это поможет в дальнейшем при решении задач на экзаменах.

Список литературы

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. "Геометрия. 7—9 классы".
учебник для общеобразовательных учреждений. - М: Просвещение, 2011.
Лаппо Л.Д, Попов М.Ф "Математика. ЕГЭ-2015. Профильный уровень.Практикум"(экзаменационные тесты. 10 вариантов). - М: Экзамен, 2015.
Математика. ОГЭ-2016. 9 класс. Тематический тренинг: учебно-методическое пособие/Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. - Ростов н/Д: Легион, 2015.
Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2012.
Материалы (презентацияMSOffisePowerPoint) ДО Ямальский район "Анализрезультатов проведения Г(И)А-9 в общеобразовательных организациях муниципального образования Ямальский район в 2014-2015 учебном году".
Материалы (презентацияMSOffisePowerPoint) ДО Ямальский район "Анализрезультатов проведения ЕГЭ в общеобразовательных организациях муниципального образования Ямальский район в 2014-2015 учебном году".
Ященко И.В. "Математика. Типовые тестовые задания. ЕГЭ-2015". - М: Экзамен, 2015.

Электронные ресурсы удаленного доступа (Internet)

ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. Пик, Георг [Электронный ресурс]. - Режим доступа:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3
ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. Формула Пика [Электронный ресурс]. - Режим доступа:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0
ЕГЭ 2010. Математика. Задача B6. Рабочая тетрадь Смирнов В.А. (под редакцией А. Л. Семенова и И.В.Ященко) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://netnado.ru/zadacha-rabochaya-tetrade-smirnov-v-a-pod-redakciej-a-l-semeno/page-1.html
КакИменно.ру_«Образование и наука. Среднее образование» Как найти площадь параллелограмма? [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые данные. - Режим доступа: http://kakimenno.ru/obrazovanie-i-nauka/srednee-obrazovanie/548-kak-nayti-ploschad-parallelogramma.html
Образовательный портал для подготовки к экзаменам "Решу ОГЭ"[Электронный ресурс]. - Режим доступа:http://math.oge.sdamgia.ru/
Открытый банк заданий по математике ЕГЭ-2015 – профильный уровень[Электронный ресурс]. - Режим доступа:http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=0&posMask=8&showProto=true
Многоугольники, виды многоугольников[Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые данные. - Режим доступа: http://shkolo.ru/mnogougolniki-vidyi-mnogougolnikov/
Презентация "Площади фигур. Свойства площадей" [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые данные. - Режим доступа: http://dok.opredelim.com/docs/index-188.html
Расчет площади ромба [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.webmath.ru/web/prog46_1.php
Сайт Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ). Отчеты. Аналитические материалы. Математика.ЕГЭ. 2013, 2014,2015.г[Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy.

Приложения

Приложение I Как найти площадь многоугольника?

нахождение площади параллелограмма через его основание и высоту Площадь треугольника Как найти площадь ромба?

Как найти площадь трапеции?

Приложение II

Задача 1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 1

Решение 1. (Самостоятельное решение)

Решение 2. (Решал учитель)

Решение 3.(Совместное решение)

Г = 12, В = 4, S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 =9

Заметим, что данный треугольник ABCявляется прямоугольным (<A = 90о). Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна . Тогда катеты ABи ACданного треугольника будут равны . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то площадь данного треугольника будет равна 9.

Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно, S= 9.

Задача 2. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 2

Решение 1. (Самостоятельное решение)

Решение 2. (Решал учитель)

Решение 3. (Совместное решение)

Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

Из точки Bопустим перпендикуляр BHна AD. Он разобьет трапецию на прямоугольный треугольник ABHи прямоугольник HBCD. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 3. Смежные стороны прямоугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 6. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника и, следовательно, равна 9.

Основания ADи BCданной трапеции равны соответственно 4 и 2. Высотой является боковая сторона CD. Она равна 3.Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна 9.

Задача 3. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 3

Решение 1. (Самостоятельное решение)

Решение 2.

(Решал учитель)

Решение 3.

(Совместное решение)

Г = 6, В = 8, S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE.Катет AEравен 4, катетDEравен 2. Следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза ADравна 2√5 . Аналогично, для прямоугольного треугольника ABFкатет AFравен 1, катет BFравен 2, Следовательно, гипотенуза ABравна √5. Площадь данного прямоугольника равна произведению его соседних сторон, т.е. равна 10.

Разобьем данный прямоугольник ABCDна два треугольника ABDи BCD. Сторона BDу них общая и равна 5. Высоты AE и CF, опущенные на эту сторону, равны 2. Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону, то площадь каждого из этих двух треугольников будет равна 5 и, следовательно, площадь прямоугольника будет равна 10. Ответ. 10.

Задача 4. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 4

Решение 1. (Самостоятельное решение)

Решение 2. (Решал учитель)

Решение 3. (Совместное решение)

Г = 4, В = 7, S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8

Напомним, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна √2. Тогда диагонали АСи BDданного ромба будут равны соответственно 2√2 и 4√2, а его площадь будет равна 8.

Достроим на сторонах ромба четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны 1 и 3. Площадь каждого такого треугольника равна 1,5. Ромб вместе с этими треугольниками образует фигуру, состоящую из четырнадцати единичных квадратов. Следовательно, ее площадь равна 14. Вычитая из нее площадь четырех треугольников, получим, что площадь ромба равна 8.

Задача 5. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 5

Решение 1. (Самостоятельное решение)

Решение 2. (Решал учитель)

Решение 3. (Совместное решение)

Г= 4, В= 7, S = В + Г/2 – 1=7 + 4/2 – 1= 8

Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABCи ACD. Сторона ACу них общая и равна 4. Высоты BHи DHравны 2. Следовательно, площади этих треугольников равны 4 и, значит, площадь четырехугольника равна 8

Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABDи BCD. Сторона BDу них общая и равна 4. Высоты AHи CHравны соответственно 3 и 1. Следовательно, площади этих треугольников равны соответственно 6 и 2. Значит, площадь четырехугольника равна 8.

Задача 6. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Таблица 6

Решение 1. (Самостоятельное решение) pic.233

Решение 2. (Решал учитель)

Решение 3. (Совместное решение)

S= В +Г – 1 = 5 + 4 : 2 – 1 = 6 (см2).

Воспользуемся методом "Достраивания фигуры до прямоугольника".

1. Найдем площадь полученного прямоугольника, стороны которого равны 6 см и 4 см.

S□= ab= 6 ∙ 4 = 24 (см2),

2. Найдем площадь треугольника S1

Для этого опустим высоту h, она равна 2 см.

Основание а =6 см.

Значит S1 = a · h= ∙ 6∙ 2= 6 (см2).

3. Прямоугольные треугольники с катетами равными 3см и 4 см равны. Их площади найдем по формуле площади прямоугольного треугольника.

S2 = a2 · b2 = 3 ∙ 4= 6 (см2) иS3 = a3 · b3= ∙ 3 ∙ 4= 6 (см2).

4. Чтобы найти площадь четырехугольника, из площади прямоугольника вычтем сумму площадей треугольников .

S= S□– (S1 + S2 +S3) = 24 – ( 6 + 6 + 6)= 6 (см2)

Воспользуемся методом "Разбиения многоугольника на части". Получим два равных треугольника. Площади треугольников будем вычислять по известной формуле. Опустим высоты h1 = 3 см и h2 = 3 см. Значит h1 = h2,

Основание общее а = 2 см.

S = a · h1 = ∙3 · 2 = 3 (см2). Значит, площадь четырехугольника равна

S = 2S= 2 ∙ 3 = 6 (см2).

Таблица 7

Анализ рационального использования различных способов решения задач на клетчатой бумаге

	Задачи						Кол-во использования (%)	∑ рационального использования (%)
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	Кол-во использования (%)	∑ рационального использования (%)
Подсчет клеток							0	0
Вычисление площади по формулам геометрии	+	+					2 (33%)	2 (33%)
Разбиение многоугольника на части			+	+	+	+	4 (67%)	2 (33%)
Достраивание фигуры до прямоугольника						+	1 (17%)	1 (17%)
По формуле Пика	+	+	+	+	+	+	6 (100%)	5 (83%)

1. Подсчет клеток

Посчитать количество полных клеток внутри фигуры. (В данном треугольникеих 10).
Дополнить неполные клетки друг другом до полных клеток. (Здесь таких клеток 5)
Сложить количество полных клеток:

S=10+5=15(см2)

Ответ: 5

2. По основным формулам

планиметрии.

Определяем вид многоугольника.
Выполните дополнительные построения
Определитесь с формулой.
Произведите вычисления.

Для нахождения площади данного многоугольника воспользуемся формулой площади параллелограмма:S = a·h.

Опустим высоту h, на продолжение основания, получим: а = 3 см, h = 4 см.

Подставим значения в формулу

S=a·h=3∙ 4=12(см2)

Ответ: 12

3. Разбиение многоугольника на части

Выполнить дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых можно вычислить по формулам
Сложить площади полученных фигур (воспользовавшись свойством плошади)
S = S1 + S2 .

4. Достраивание

фигуры до прямоугольника

Достроить многоугольник до прямоугольника
Найти площадь полученного прямоугольника
Найти площади достроенных фигур
Вычесть сумму площадей достроенный(фигур лишних частей) из площади прямоугольника

В этом случае площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник. Из площади прямоугольника вычесть площадь четырех треугольников и квадрата.

Приложение III

5. Вычисление площади многоугольника по Формуле Пика

Для вычисления площади многоугольника, вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки (с целочисленными вершинами), применяют формулу Пика.

(Линии, идущие по сторонам клеток, образуют клетчатую решётку, а вершины клеток — узлы этой решётки)

где S — площадь многоугольника;

В – количество узлов сетки, расположенных внутримногоугольника(внутренние точки);

Г – количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника и на его вершины (точки на границе многоугольника).

Пример:

1. Подсчитаем красные

точки внутри

четырехугольника:

В = 7.

2. Подсчитаем зеленые

точки на границе и в

вершинахГ = 8.

3.По формуле

S= В + Г –1= 7 + 8 : 2 –1 = 10 (см2).

Ответ: 10.

Основные формулы площади

----------------------------------

Решаем задачи ОГЭ и ЕГЭ

***

Приложение к исследовательской работе

«Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика»

***

Выполнил ученик 6а класса

МБОУ "Новопортовская школа-интернат имени Л.В.Лапцуя"

Ряшин Кирилл

***

Руководитель: учитель математики

Козина Н.А.

***

апрель, 2016 г.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

$C:\Users\Windows7\Desktop\images.jpg$

MA.OB10.B6.65/innerimg0.jpg

[1]Материалы (презентация MSOffisePowerPoint) ДО Ямальский район "Анализрезультатов проведения Г(И)А-9, ЕГЭ-11 в общеобразовательных организациях муниципального образования Ямальский район в 2014-2015 учебном году.

[2]Многоугольники, виды многоугольников[Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые данные. - Режим доступа: http://shkolo.ru/mnogougolniki-vidyi-mnogougolnikov/

[3]Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия 7- 9 классы» учебник для общеобразовательных учреждений. - М: Просвещение, 2011; стр.98.

[4]Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2012; стр. 139.

[5]Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия 7- 9 классы», стр.124.

[6]Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия 7- 9 классы», стр.125.

[7]Расчет площади ромба [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.webmath.ru/web/prog46_1.php.

[8]Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия 7- 9 классы», стр.127.

[9]ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. Пик, Георг [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

[10]ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. Формула Пика [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Лиса и волк

Рисуем весеннюю вербу гуашью

Лягушка-путешественница

Астрономический календарь. Июнь, 2019

Глупый мальчишка