«Муниципальная конференция исследовательских и проектных работ обучающихся общеобразовательных организаций Черлакского муниципального  района Омской области «Шаги в науку»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Николаевская средняя общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ  

номинация математика

Как хорошо уметь считать!

Подготовила: учащаяся  5 класса

Литко Владислава                                                Руководитель: Пальман Юлия Викторовна

                                                               учитель математики  

2017 г

Оглавление

1.   Введение……………………………………………………………………3
2. Основная часть……………………………………………………………..4

2.1. Приёмы   сложения……………………………………………………4

2.2. Приёмы   вычитания…………………………......................................5

2.3. Приёмы   умножения……………………………………………….....5

2.4. Приёмы   деления…………………………………………...................9

2.5. Приемы возведения в квадрат………………………………………..10

    3.  Практическая часть………………………………………………………..11

         3.1. План исследования……………………………………………………11

         3.2. Методы ………………………………………………………………..11

         3.3. Результаты исследования………………………………………….....11

         3.4. Анкетирование учащихся…………………………………………….12

    4.  Выводы……………………………………………………………………..13

    5. Заключение…………………………………………………………………13

       Литература………………………………………………………………......14

       Приложение………………………………………………………………….15

1.  Введение.

Как хорошо уметь считать. Эта поговорка очень актуальна в наше время. Cчитать умеет каждый,  для этого особого искусства не требуется. Вопрос – как считать? Некоторые считают на микрокалькуляторе. Многие  считают столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счёта. С некоторыми из них нас познакомили на уроках математики. Нас заинтересовали эти приёмы и  сначала мы решили найти в литературе  и другие способы быстрого счёта, изучить их и показать одноклассникам.

Мы считаем, что данная тема актуальна, так как на уроках, да и в повседневной жизни мы постоянно выполняем арифметические операции в уме не используя, микрокалькулятор. Если вы умеете быстро и правильно считать  это облегчит понимание различных тем, повысит  вашу успеваемость на уроках и поможет вам улучшить результативность на экзаменах.

Гипотеза исследования: овладение приёмами быстрого счёта позволит повысить качество и скорость вычислений обучающихся.

 Цель исследовательской работы: изучить приёмы быстрого счёта, доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.

      Задачи исследования:

1. Изучить литературу, в которой встречаются различные приемы быстрого счёта.
2. Выбрать доступные приемы для учащихся 5 классов.
3. Провести исследование  навыков устного счёта обучающихся.
4. Познакомить,  обучающихся  с разнообразными приемами быстрого счета.
5. Провести эксперимент  о возможностях быстрого счёта обучающихся.
6. Сделать выводы о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

2. Основная часть.

         Рассмотрев множество приёмов и способов быстрого счета, которые представлены в различных источниках, и выбрали  лишь те, которые доступны в понимании и применении для любого ученика 5 класса. Приемы устных упражнений можно разбить на общие и частные. К общим относятся такие приемы, которые годятся для любых числовых данных и основаны на использовании законов и свойств арифметических действий.  

Объект исследования: приёмы быстрого счёта.

Предмет исследования: процесс вычислений.

Методы:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

- практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

- анализ полученных в ходе исследования данных.

2.1.Способы быстрого сложения чисел.

1)Промежуточное приведение к "круглым" числам.

Если хотя бы одно слагаемое близко к "круглому" числу десятков, сотен, тысяч и т.д. (100, 300, 1000, т.е. (А*10n - z), где z - сравнительно мало), то вычисления можно упростить:

• приведя одно из слагаемых к ближайшему "круглому" числу;
• выполнив более легкое вычисление с "круглым" и затем учтя поправку.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом.

Пример: 187+198=187+(198+2)-2=187+200-2=387-2=385

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

607+395= (600+7)+(400-5)= (600+400)+(7-5)=1000+2=1002

1. Нахождение наиболее удобного порядка вычислений.

Использование сочетательного и переместительного свойств сложения.

Пример: (42+37)+58=(42+58)+37=100+37=137

183+732+268+317=(183+317)+(732+268)=500+1000=1500

3. Поразрядное сложение чисел.

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):

Пример: 53+26+44+82= (50+20+40+80)+(3+6+4+2)=190+15=205

4. Способ "корневых" чисел.

При обработке статистических измерений иногда приходится складывать числа, "скапливающиеся" около одного "корневого" числа, на глаз близкого к среднему. Разумно провести такое сложение в три приема:

• найти сумму "корневых чисел";
• найти сумму отклонений каждого числа от "корневого";
• полученную сумму алгебраически (с учетом знака) прибавить к итогу пункта "1".

Пример: 37+34+33+35+34+33+34=34*7+(3+0-1+1+0-1+0)=238+2=240

2.2.Способы быстрого вычитания чисел.

1. Промежуточное приведение к "круглым" числам.

Если хотя бы одно слагаемое близко к "круглому" числу десятков, сотен, тысяч и т.д. (100, 300, 1000, т.е. (А*10n - z), где z - сравнительно мало), то вычисления можно упростить:

• приведя одно из слагаемых к ближайшему "круглому" числу;
• выполнив более легкое вычисление с "круглым" и затем учтя поправку.

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Пример: 358-197=358-(200-3)=158+3=161

297-195=(300-3)-(200-5)=300-3-200+5=100+2=102

2. Нахождение наиболее удобного порядка вычислений

Применение правил вычитания суммы из числа и числа из суммы.

Пример: 428-(128+126)=(428-128)-126=300-126=174

(619+282)-319=(619-319)+282=300+282=582

3. Поразрядное вычитание чисел.

Пример: 356-133=(300-100)+(50-30)+(6-3)=200+20+3=223.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:

Пример: 457-265=(300-200)+(150-60)+(7-5)=100+90+2=192.

4. Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого.

Пример: 158-69=(158+1)-1-69=159-69-1=90-1=89

223-115=223-(113+2)=(223-113)-2=110-2=108

2.3.Способы быстрого умножения чисел

1. Умножение на 4, 8, 16 и т.д.

Для умножения числа на 4, 8, 16 необходимо его последовательно удваивать.

Пример: 153·8=153·2·4=306·2·2=612·2=1224        

2. Умножение на 5, 50, 500 и т.д.

Коль на 5 умножаем, друзья,

Это значит, число мы делим на 2.

Без остатка число разделилось у нас? –

Мы к частному справа нолик

Припишем в тот час.

Если нечетное число увидели мы,

Пятерку к частному поставить должны.

Пример: 257·5= (257:2)+подставить 5=1285

               378·5=(378:2)+подставить 0=1890

Для умножения на 50, 500 число необходимо сначала умножить на 5, а потом на 10, 100 и т.д.

3. Умножение на 25

Как число на 25

Надо быстро умножать?

Смело на число смотри

На 4 его дели,

А если осталось число

На 25 умножай его.

К частному справа 2 нуля припиши,

Сумму этих чисел найди,

Ручку в руки возьми и ответ запиши.

Пример: 263·25=(263:2:2)+приписываю к частному 2 нуля = 6500 + +остаток от деления 3; 3·25=75 =˃ 263·25=6575

              588·25=(588:2:2)+приписываем 2 нуля=14700

4. Умножение на 125.

Как число на 125

Надо быстро умножать?

Смело на число смотри

И на 8 его дели,

А если осталось число

На 125 умножь его.

К частному справа 3 нуля припиши,

Сумму этих чисел найди,

Ручку в руки возьми и ответ запиши.

Пример: 79·125=(79:8)+приписываю к частному 3 нуля=9000+ остаток от деления 7; 7·125=875 =˃ 79·125=9875

5. Умножение на 15.

Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.

Пример: 307·15= 3070+(3070:2)=3070+1535=4605

6. Умножение на 11.

Вот двузначное число,

На 11 быстро умножим его.

Первую и вторую цифру

Без изменений оставь,

В середину же сумму

Этих чисел поставь.

Получилось трехзначное число

Ответом является оно.

(Если сумма больше 10,

С первым числом 1-цу сложи,

А остаток от числа в середину пиши).

Либо можно к числу приписать 0, а затем к получившемуся числу прибавить исходное.

Пример: 37·11=407

                24·11=264

                56·11=560+56=616

Вот трехзначное число,

На 11 тоже умножим его.

Первую и 3-ю цифру без изменений оставляем

Суммы считать начинаем:

Первое со вторым, второе с третьим быстрее сложи,

В середину последовательно числа пиши.

Если правильно считаем,

Ответ мы быстро получаем.

Пример: 196·11=2156

7. Умножение на 111.

С этим правилом почти ты знаком,

Небольшое отличие увидишь лишь в нем.

Вот двухзначное число,

На 111 быстро умножим его.

Данное число мы раздвигаем,

В середину дважды

Сумму этих цифр вставляем.

Получили четырехзначное число

Ответом является оно.

Пример: 76·111=8436

8. Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.

Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 10101, число надо повторить дважды/трижды.

Пример: 46·101=4646

               46·10101=464646

9. Умножение на 9, 99, 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, а из результата вычесть первый множитель.

Пример: 138·9=1380-138=1242

               35·99=3500-35=3465

               27·999=27000-27=26973

10. Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Пример: 6·278=6·(200+70+8)=1200+420+48=1668

                7·296=7·(300-4)=2100-28=2072

11. Умножение чисел, близких, но меньше 10n

• Найти дополнение каждого числа до 10n
• Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до 10n
• Найти произведение дополнений
• Результат, полученный во втором пункте, умножить на 10n и к полученному произведению прибавить произведение дополнений.

Пример: 997·998=995000+6=995006

                3        2  - дополнения до 1000

                998-3=997-2=995

                2·3=6

12. Умножение чисел, близких, но больших 10n

• Найти дополнение каждого числа до 10n
• К одному из сомножителей прибавить дополнение второго сомножителя до 10n
• Найти произведение дополнений
• К результату, полученному во втором пункте приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало n-разрядов.

Пример: 105·108=11340

                  5     8 – дополнения

                 108+5=105+8=113

                  5·8=40

13. Умножение любого пятизначного числа на 99 999.

36724·99 999=3672363276

(Первые пять цифр представляют собой названное число, уменьшенное на 1. Следующие 5 цифр являются дополнением каждой цифры названного числа до 9, последнее до 10)

2.4.Способы быстрого деления чисел.

1. Последовательное деление.

Если делитель является составным числом, то его можно разложить на два или большее количество множителей, а потом выполнить последовательное деление.

Пример: 840:35= 840:(7·5)=840:5:7=168:7=24

                720:40=720:(8·5)=720:8:5=90:5=18

2. Деление на 5, 50, 500.

При делении на 5 если делимое оканчивается на 5, то сначала мы отбрасываем эту пятерку, а оставшееся число удваиваем и прибавляем единицу.

Пример: 5675:5=567·2+1=1135

При делении на 5, 50, 500 если делимое оканчивается на 0, то сначала мы отбрасываем 0, два 0, три 0 соответственно, а оставшееся число удваиваем.

Пример: 6730:5=673·2=1346

              327600:50=3276·2=6552

             245000:500=245·2=490

3. Деление на 4, 8, 16

Чтобы число разделить на 4, 8, 16, последовательно находят его половины.

Пример: 5344:8=5344:2:4=2672:2:2=1336:2=668

4. Деление на 25

Если делимое оканчивается на два 0, то мы отбрасываем эти нули а оставшееся число умножаем на 4.

Пример: 56800:25=568·4=2000+240+32=2272

Если делимое не оканчивается на два 0, то:

• последние 2 цифры делим на 25 и запоминаем результат;
• цифры, находящиеся перед цифрами из пункта 1, мы умножаем на 4
• результаты, полученные в 1-ом и 2-ом пунктах складываем

Пример: 1) 86850:25=3474

                   50:25=2

                   868·4=3200+240+32=3472, 3472+2=3474            

 2)63175:25=2527

 75:25=3

631·4=2400+120+4=2524, 2524+3=2527

5. Деление на 125.

Если делимое оканчивается на три 0, то мы их отбрасываем, а оставшиеся цифры умножаем на 8.

Пример: 149000:125=149·8=800+320+72=1192

Если делимое не оканчивается на три 0, то:

• последние 3 цифры делим на 125 и запоминаем результат;
• цифры, находящиеся перед цифрами из пункта 1, мы умножаем на 8
• результаты, полученные в 1-ом и 2-ом пунктах складываем

Пример: 23625:125=189

               625:125=5

               23·8=160+24=184, 184+5=189

2.5. Приёмы возведения в квадрат.

           Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся 5.

             Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся 5, надо цифру десятков умножить на следующую за ней цифру, возвести в квадрат 5 и приписать справа после произведения.

Пример:  35*35=1225

Пример:   85*85=7225.

           Квадрат двузначных чисел, начинающихся с  5-ти.

1. к 25 прибавить цифру единиц;
2.  к сумме приписать справа квадрат единиц

Пример:  57*57=3249

1. 25+7=32
2. 7*7=49

                           3.Практическая часть.

3.1.План исследования.

1. Подготовить задания на применение приёмов быстрого счёта для учащихся 5 класса.
2. Провести первое тестирование  учащихся.
3. Провести анкетирование учащихся.
4. Познакомить обучающихся с приёмами быстрого счёта.
5. Провести второе тестирование учащихся.
6. Проверить работы провести анализ на предмет быстроты и качества вычислений. Разобрать допущенные ошибки.
7. Все результаты занести в таблицу.
8. Исследовать соотношение времени выполнение тестирования в 1 и в последующем случаях, сравнить. Сделать выводы.

3.2 Методы исследования.

1. Тестирование. Приложение 1.

2. Анкетирование на предмет выявления известных учащимся приёмов быстрого счёта. Приложение 2.

3. Анализ полученных результатов.

3.3. Результаты исследования.

У всех участников исследования наблюдается положительная динамика по времени выполнения тестов.

Качество выполнения теста. Процент правильно выполненных тестов.

           Качество выполнения теста снизилось у 2(20 %)  участников, осталось на прежнем уровне у 1(10%)  участников, повысилось у 7(70%)

3.4. Результаты анкетирования учащихся.

         При  выполнении заданий 1 теста учащиеся использовали только самые известные приёмы быстрых вычислений: поразрядное сложение, вычисление с помощью свойств  сложения и умножения на 11. При втором тестировании учащиеся ещё использовали приёмы  умножения на  5, 101, 10101.

                                              4. Вывод.

По результатам  исследовательской  работы можно сделать следующие выводы:

1.  При использовании приёмов быстрого счёта у всех участников эксперимента  уменьшилось время на выполнение теста (100%), при этом улучшилось качество выполнения вычислений.
2.  Установлено, что устно считают только 20% учащихся, знают и используют приёмы быстрого счёта  40%  учащихся.
3.   Гипотеза о том, что знание и использование приёмов быстрого счёта позволит увеличить скорость и качество  вычислений подтвердилась.

3. Заключение.

    С некоторыми приёмами быстрого счёта мы были знакомы с начальной школы, но взглянуть на них по новому, как на своих помощников при счёте, мы смогли  только при выполнении ра

Некоторые способы вычислений кажутся сложными, но выполняя их многократно,   легко запомнить и применять при решении примеров. Мои одноклассники после проведения исследования заинтересовались приёмами быстрого счёта и начали использовать их на уроках. Способы умножения на 5,11,101,10101 показались всем очень легкими и интересными. Возводить  в квадрат числа, оканчивающегося 5,   одноклассники научились быстро.  В 6 и 7 классе я хочу продолжить это исследование и овладеть и другими методами и приемами вычислений. За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Словосочетания «умножение решёткой», «шахматный способ», «русский крестьянский способ» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений и сравнить их с «сегодняшними».

        Несомненно, умение быстро и правильно считать пригодится нам на экзаменах, да и в повседневной жизни.

Литература.

1.  Я. Перельман.  «Быстрый счёт.  Тридцать простых приёмов устного счёта».  Ленинград. Дом занимательной науки. 1941.

2.  Я. Перельман. «Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел». Москва. ГОНТИ. Издание седьмое просмотренное и дополненное.1938.

3.  http://www.slideboom.com/presentations/539172/

4.  http://www.myshared.ru/slide/203108/

5. http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224

                                                                                               Приложение 1

Анкета участника

                                                                         Приложение 2

                             Тестовые задания