Устный счет - легко и просто!

Муниципальное общеобразовательное учреждение «СОШ №169»

    «Устный счет – легко и просто»

Выполнил:

Ярлыкова Владлена Владимировна,

 МБОУ «СОШ №169»,

6 «Б» класс

Руководитель:                                                                                  Баюшкина Светлана Николаевна,                                                           учитель математики  МБОУ «СОШ №169»

г. Зеленогорск  2017 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………...3

Глава I. Старинные способы вычисления

1. Русский крестьянский способ.…………………………………..………………..4
2. Метод Решетки ……………………………………………………………………4
3. Умножение на пальцах  ……………………………………..……………...…….5

Глава II. Практическая часть.

1. Анализ анкетирования……………………………………………………...……..7
2. Различные способы устного счета………………………………………….…….8

Заключение……………………………………………………………...……………….10

Список литературы…………………………………………………….…....................11

Приложение №1……..……………………………………………………………..……..12

Устный счет- легко и просто.

 Введение

Зачем нужно уметь считать?

Каждый человек сталкивается с необходимостью устного счета. Например, при оплате  покупки в магазине, услуг;  при выполнении расчетных работ. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии и т.д. нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Необходимо быстро производить вычисления при выполнении заданий  выпускных экзаменационных работ.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я сочла важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.

Актуальность моей  темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Объектом исследования являются алгоритмы устного счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Гипотеза: если овладеть приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений учащихся 6 класса.

Цель: обосновать важность использования нестандартных приемов вычислений для учащихся 6 классов на уроках математики.

Задачи:

1. Описать старинные способы вычислений и опытно– экспериментальным  путем выявить трудности в их  использовании;
2. Рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
3. Разработать памятку для учащихся «Устный счет – легко и просто»

Методы исследования:

поисковый;

практический;

 анализ полученных в ходе исследования данных.

Глава I. Старинные способы вычисления

1.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;

левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

деление заканчивается, когда слева появится единица;

вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                          

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

 1.2. Метод «Решетки»

Пример: перемножим 987 и 12:

рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

затем квадратные клетки делим по диагонали;

вверху  таблицы записываем число 987;

слева таблицы число 12;

теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

результат читаем по стрелке

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.3. Умножение на пальцах.

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Глава II. Практическая часть

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, я провела анкетирование (см. Приложение1 ).

 Всего опрошено 68 учащихся 6 – х классов.

1. Анализ  анкетирования:

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

2. Различные способы устного счета.

 На уроках  математики я узнала, что есть особые упрощенные способы быстрых вычислений. Я стала изучать литературу и нашла разные  приемы вычислений [4], [5]. С некоторыми из них я и хочу вас познакомить.

 Сложение натуральных чисел

Последовательное прибавление к одному числу разрядов другого, всегда начиная с высших.

72+64

 К 72 прибавим 60, а потом к 132 прибавим 4, получим 136.

3574+437=?

К 3574 прибавим 400, к 3974 прибавим30,затем к 4004 прибавим 7, получим 4011.

Можно еще быстрее: к 35 сотням прибавим 4, получим 39 сотен или 3900, а затем сложим 74 и 37, получим 111. Ответ 4011.

Сложение путем округления

96+47=100+47-4=143

2984+996=3000+1000-16-4=4980

 Сложение с перестановкой слагаемых

72+63+28=72+28+63=163 т. к. третье слагаемое является дополнением первого до 100

3014+77+2186+123 объединим в группы (3014+2186)+(77+123)=5200+200=5400

  Умножение и деление натуральных чисел.

Умножение на 11,111.

При умножении двузначного числа на 11, сумма цифр которого не превышает 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и вставить между ними сумму этих цифр.

63*11=6(6+3)3=693

При умножении двузначного числа на 11, сумма цифр которого превышает 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и вставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой прибавить 1, а вторую и третью оставить без изменения

67*11=6(6+7)3=6(13)7=737

Аналогично умножаем на 111, но мысленно раздвинув цифры, вставляем между ними сумму цифр дважды:

63*111=6(6+3)(6+3)3=6993.

Умножение на 22, 33,…99

Чтобы умножить на 22,33…99, надо  этот множитель представить в виде произведения однозначного числа(от2 до 9) на 11, затем произведение первых двух чисел умножить на 11:

24*22=24*2*11=48*11=528                       23*33=23*3*11=69*11=759

Умножение и деление на 25

Для того, чтобы научиться быстро умножать и делить на 25и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

Признак делимости на 4 .

На 4 делятся числа, у которых две последние цифры выражают число : на 4:

124 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.           1716 делится на 4, т. к. 16 делится на 4.

Чтобы умножить на 25, надо это число разделить 4 и умножить на100:

484*25=(484:4)*100=121*100=12100                        124*25=124:4*100=31*100=3100

Чтобы разделить на 25, надо это число разделить 100 и умножить на 4:

12100:25=12100:100*4=121*4=484

Умножение и деление на 75

Чтобы умножить число на 75, нужно это число разделить на 4 и результат умножить на 300:          32*75=32:4*300=8*300=2400

Чтобы разделить на 75, надо это число разделить 300 и умножить на 4:

2400:300*4=8*4=32

Умножение и деление на 50

Чтобы умножить на 50, надо это число разделить 2 и умножить на100:

484*50=(484:2)*100=242*100=24200                            124*50=124:2*100=62*100=6200

Чтобы разделить на 50, надо это число разделить 100 и умножить на 2:

12100:50=12100:100*2=121*2=242

Умножение и деление на 37

Для того, чтобы научиться быстро умножать и делить на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3.

На 3 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 3:

42 делится на 3,т. к. 4+2=6, а 6 делится на 3,

123 делится на 3,т. к. 1+2+3=6, а 6 делится на 3

      Чтобы умножить на 37, надо это число разделить 3 и умножить на111:

24*37=24:3*111=8*111=88

Изучая каждый из приемов, я составляла карточки-задания и на уроках рассказывала о новых быстрых способах вычисления одноклассникам и предлагала им выполнить эти задания. Многие ребята справлялись успешно.

Я нашла  множество других приемов быстрого счета, но с ними еще нужно разобраться, чтобы активно применять их в счете.

Заключение

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружила более быстрые и надежные способы вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Список литературы

1. Я.И. Перельман Занимательная математика. М.: Наука,1976.
2. В.И. Жохов, В.Н. Погодин Математический тренажер. М.: Мнемозина  2002.
3. Н.Я. Вилнкин, Р.С Гутер, Избранные вопросы математики. М.:Просвещение 1978.
4. П.Б. Ройтман,С.С. Минаева «Повышение вычислительной культуры учащихся» М. Просвещение 1985.
5. П.М.Камаев Устный счет. М.: Чистые пруды,2007.
6. Д.В. Климченко Задачи по математике для любознательных.  М.: Просвещение 1992.
7. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm 
8. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html 
9. http://kaa-07.narod.ru/CHISLO/RusUm.htm
10. https://ru.wikipedia.org

ПРИЛОЖЕНИЕ  1

Анкетирование

1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

Да                               Нет                                        Не знаю

2.  Умеете  ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

Да                               Нет                                        Не знаю

3.   Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий

Да                               Нет                                        Не знаю

4. А хотели бы узнать?

Да                               Нет                                        Не знаю

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При работе с научной литературой я обнаружила более быстрые способы устного счета.

В памятке представлены интересные способы быстрого счета.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда!

 Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Желаю успехов!!!

Метод решётки

Рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

затем квадратные клетки делим по диагонали;

вверху  таблицы записываем число 987;

слева таблицы число 12;

теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

результат читаем по стрелке

Умножение на пальцах

Умножаем на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72 

Сложение натуральных чисел

1.Последовательное прибавление к одному числу разрядов другого, всегда начиная с высших.

72+64=72+60+4=136

3574+437= 3574+400+30+7=4011

2.Сложение путем округления

96+47=100+47-4=143

2984+996=3000+1000-16-4=4980

3. Сложение с перестановкой слагаемых

72+63+28=72+28+63=163

т. к. третье слагаемое является дополнением первого до 100

3014+77+2186+123 объединим в группы (3014+2186)+(77+123)=5200+200=5400

Умножение и деление натуральных чисел

Умножение на 11,111.

63*11=6(6+3)3=693

67*11=6(6+7)3=6(13)7=737

63*111=6(6+3)(6+3)3=6993

Умножение на 22, 33,…99

24*22=24*2*11=48*11=528

23*33=23*3*11=69*11=759

Умножение на 37

24*37=24:3*111=8*111=888

(признак делимости на 3)

Умножение и деление натуральных чисел

Умножение и деление на 25

484*25=(484:4)*100=121*100=12100

124*25=124:4*100=31*100=3100

12100:25=12100:100*4=121*4=484

(признак делимости на 4)

Умножение и деление на 75

32*75=32:4*300=8*300=2400

2400:300*4=8*4=32

(признак делимости на 4)

Умножение и деление на 50

484*50=(484:2)*100=242*100=24200

12100:50=12100:100*2=121*2=242