Квадратные уравнения в трудах Диофанта

                       Тема: Квадратные уравнения в трудах Диофанта.

Цель: изучить способы решения диофантовых уравнений первой степени

Задачи:

1.научиться приёмам работы с научной литературой;

2.изучить материалы о творчестве Диофанта, в частности о его вкладе в теорию

чисел;

3.научиться решать неопределённые уравнения первой степени и квадратные уравнения методом Диофанта;

4.обобщить изученный материал, подготовить презентацию.

п.1 ДИОФАНТ.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С  другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года.

п.2. «АРИФМЕТИКА» ДИОФАНТА.

ЧИСЛА И СИМВОЛЫ.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос»).

Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.

Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:

«Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, даёт недостаток».

(-) х (-) = (+),

(-) х (+) = (-).

Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число.

Собственно говоря, до Диофанта никаких уравнений - ни определённых, ни неопределённых - просто не было. Рассматривались задачи, которые мы теперь можем свести к уравнениям, и не более того.

Наконец, во введении Диофант формулирует два основных правила преобразования уравнений: правило переноса члена уравнения из одной части в другую с обратным знаком и правило приведения подобных членов.

п.3. РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

Методы решения неопределённых уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Известно, что в символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решения.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.

Долгое время надеялись найти общий способ решения диофантовых уравнений. Однако в 1970г. ленинградский математик Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Я изучила способ решения диофантовых уравнений: – метод перебора – применяется для решения простейших задач.

Задача 1

Во дворе стоят скутеры и автомобили, всего у них вместе 18 колёс. Сколько скутеров и сколько автомобилей во дворе?

Решение        

Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число автомобилей, у – число скутеров:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х: у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

п.4. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача:  «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

или же:

100 - х2 = 96

х2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .

1.Башмакова И.Г., Диофант и диофантовы уравнения. - М.: «Наука», 1972г. - 68 с.

2.Соловьев Ю.Н., Неопределенные уравнения первой степени: Квант, 1992 г., №4.

3.Стройк Д.Я., Краткий очерк истории математики. - М.: «Наука», 1990 г. - 256 с.

4.Copyright © www.newreferat.com