Египет и зарождение математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Гимназия №1 города Липецка

Проект по математике

Египет и зарождение математики

Выполнила: ученица 6Г класса

Матвеева Анастасия

Руководитель: Левшина М.А.

Липецк 2014

Введение

           Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом, пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно 3000 лет до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Людям нужно знать, откуда пришла математика.

Делать открытия, не узнав историю прошлых открытий - невозможно, иначе все бы открывали лишь один велосипед, и не всякий прохожий сможет сказать её происхождение - все должны знать, откуда она математика.

Объектом данного исследования является египетская математика.

Цель моего исследования состояла в том, чтобы узнать и исследовать зарождение математики.

Предпосылки и зарождение математики в Древнем Египте.

Народы Древнего Востока на протяжении многих веков сделали немало

открытий в арифметике, геометрии и астрономии. Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили 2 великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь.
              Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего 1 владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой  узкую (33 см) и длинною ( 5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в  Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл  в Луксоре русский Египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А.С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, "Кожаный  свиток египетской математики", с большим трудом расправленный в 1927 г . и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Подобные папирусы , по-видимому , служили своего рода учебниками.
               Египет был земледельческим государством. Площадь, пригодную для земледелия, можно было увеличить путём проведения оросительных каналов или путём осушения болот. Работы по проведению каналов и осушению болот, необходимость устанавливать границы между полями потребовали создания сельских общин. Поэтому наряду с натуральным хозяйством этих общин появляется распределение, связанное  со значительными общественными работами, а так же частыми войнами. Организация централизованного государства приводит к появлению религии, вокруг дворцов и храмов возникают города, которые становятся центром торговли. Это и привело египтян к необходимости вычисления веса тел , площадей посевов и объёмов зернохранилищ, размера податей и количество камней , требуемое для возведения различных сооружений и военных укреплений. Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчёты, связанные с календарём. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила.

Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло так называемое иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались в виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой.

Многие решения находили путём проб, "ощупью", шла интенсивная работа творческой мысли , и неудивительно, что наука древних египтян внесла огромнейший вклад в жизнь человечества! Практика Древнего Египта породила теорию математики сегодняшнего дня и позволила великим учёным совершать великие открытия.

Нумерация.

Нумерация - обозначение предметов, расположенных в последовательном порядке.

Одна из древнейших нумераций египетская, До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевлённые предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Расшифровка этих надписей представляет огромные трудности, так как часто неизвестны ни язык древних народов, ни значения отдельных  иероглифов. Но постепенно письмена древних египтян были разгаданы.
       Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы, означающие (последовательно) : единицу, десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов :
                                                                                                     
                                                                                                                    
                                                                                                                     
         Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную верёвку, для тысячи - цветок лотоса, для десяти тысяч - поднятый кверху палец, а для десяти миллионов - всю Вселенную. Все остальные числа составляются из основных с помощью только одной операции - сложения. При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так:

                                                                                                                     

           А число 444 писали так:

                                                                                            
      Древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание.

 Как писать, так и считать тогда умели только специально обученные люди, для простых людей счёт был так же недоступен всем. как и письменность. Эта система применялась в Древнем Египте при торговле и сборе податей, особенно распостранившись при постройке Великих Пирамид, и постепенно угасла вместе с кастой строителей и счетоводов, при упадке Египта и подчинении его власти Александра Македонского.

Арифметика.

История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. Арифметика - наука о числах, их свойствах и отношениях - является одной из основных математических наук. Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Первые достоверные сведения об арифметических знаниях обнаружены в исторических памятниках Вавилона и Древнего Египта, относящиеся к III-II тысячелетиям до н.э.
          Египетские математические тексты особое внимание уделяли вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависят методы решения задач. Египтяне использовали такие арифметические операции, как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и любое деление без остатка приводило к громоздким вычислениям. Но в основном египетская арифметика слыла преимущественно арифметикой сложения.
           Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался определённый иероглиф. Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал "сложение", в других случаях он означал "вычитание". Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом, а при вычитании - наоборот.
            Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель. Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдалённых регионах.

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число. Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

   1х2=2
   2х2=4
   4х2=8
   8х2=16
 16х2=32
 Пример разложения числа "25":
    Кратный множитель для числа "25" - это 16, 25-16=9.
    Кратный множитель для числа "9" - это 8, 9-8=1.
    Кратный множитель для числа "1" - это 1, 1-1=0.
Таким образом число "25" - это сумма трёх слагаемых: 16, 8 и 1.
Пример : умножим "13" на "238":
   1х238=238
    4х238=952
    8х238=1094
--------------------
  13х238=3094

Известно, что 13=8+4+1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем:

13х238=(8+4+1)х238=8х238+4х238+1х238=3094.

Деление

Например, 30/20 = ?

1. Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путем удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4 … Для некоторых задач для упрощения счета первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся.
2. Напротив единицы писалось наименьшее число, в нашем случае это 20, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 40 (то есть 20 х 2), напротив 4 — 80 (то есть 40 х 2) …
3. Выбиралось такое число из второго ряда, которое было наиболее близко по значению к 30, то есть наибольшему числу в нашем примере. Это 20.
4. Числу 20 в первом ряду соответствовала цифра 1. Эти цифры запоминались.
5. Поскольку 30 было больше чем 20 и меньше, чем 40 (то есть сумма значений цифр из второго ряда не давала 30), далее использовалось деление пополам.
6. Для этого записывался такой ряд чисел, начиная с 1/2, что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего: 1/2, 1/4, 1/8 … Для других примеров могла быть использована другая дробь, однако принцип деления пополам предыдущего числа для образования последующего сохранялся.
7. Напротив 1/2 писалась половина наименьшего числа (так как если бы дробь умножалась на число), в нашем случае 20/2 = 10, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 1/4 писалось 5 (то есть 10/2) … Если делить дальше было нельзя (во втором ряду должны быть только целые числа!), то при необходимости (если решение ещё не было найдено) составлялся новый аналогичный ряд с использованием таких же или других дробей (например, 5 нельзя было разделить на 2, но можно было разделить на 5), пока числа из второго ряда не выбирали остаток суммы до большего по условию задачи числа.
8. Далее необходимо было найти такое минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме с ранее найденным числом 20 давали бы 30, то есть наибольшее число в нашем примере. Это число 10 (20 + 10 = 30).
9. Числу 10 из второго ряда соответствовала дробь 1/2 из первого ряда.
10. Отношение 30 к 20 равнялось сумме выбранных чисел из первого ряда, то есть 1 + 1/2 (=1,5)

Деление не всегда было связано с поиском дробных чисел, в этом случае подбиралось минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме давало бы наибольшее данное по условиям задачи число, а решением задачи в этом случае была бы сумма соответствующих им чисел из первого ряда.

Египетские дроби передавались предлогом r, который выражает отношение. Иероглифически этот предлог передавался знаком

Например, 1/4 писалась следующим образом:

Египетские дроби были аликвотными. В порядке исключения у древних египтян было два символа для обозначения дробей 3/4 и 2/3:

и

соответственно.

Геометрия

Геометрия - важный раздел математики. Её возникновение уходит вглубь тысячелетий и связано прежде всего с развитием ремёсел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры "трапеция" происходит от греческого слова "трапезион" (столик), от которого произошли также слово "трапеза" и другие родственные слова. От греческого слова "конос" (сосновая шишка) произошло название "конус", а термин "линия" возник от латинского "линиум" (льняная нить). И факты геометрии сначала имели опытное происхождение.
         Ещё 5 000 лет назад древние египтяне знали, что если сделать на верёвке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть её в форме треугольника, то получится прямой угол. А это было очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. В египетских папирусах того времени мы находим и другие геометрические факты, найденные опытным путём при измерении земельных участков, постройке зданий и т.д.

Геометрия у древних египтян сводилась к вычислениям площадей треугольников, прямоугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов параллелепипедов, цилиндров и пирамид. Но математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной, Задачи и решения, приведённые в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Древнеегипетские математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

Но несмотря на простоту и примитивность геометрических вычислений египтяне сотворили необыкновенное чудо света - египетские пирамиды, которыми и в наши дни восторгаются миллионы людей!

Заключение

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов.

А какое же значение имеют египетские знания?

Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний , еще не разделенную на арифметику, алгебру , геометрию.

Многие решения находили путем проб , «ощупью» ,шла интенсивная работа творческой мысли , и неудивительно, что

Наука древних египтян внесла огромнейший вклад в жизнь человечества!

Математика Древнего Египта оказала несомненное влияние на последующую судьбу науки.

Мы выяснили, что без практики и умений Древнего Египта, не совершались бы многие открытия и не появилась бы теория , которая в наше время ищет практического применения и что Практика Древнего Египта, действительно породила теорию математики сегодняшнего дня и позволила великим учёным совершать великие открытия.

        В настоящее время нет ни одной профессии, где бы можно было бы обойтись без математики. Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которого назвали "королём математики" как-то сказал: "Математика - царица наук, арифметика - царица математики".

Список используемой литературы

1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - naturalhistory. narod.
2. История математики с древнейших времен до начала XIXстолетия: в 3-ёх томах/ под ред. А.П. Юшкевича: Наука, 2010.- Том 1.
3. Кольман Э. история математики в древности. - Физматгиз,2011