«Замечательные линии и точки в треугольнике».

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ

ПОЛИЦИИ

Тематическое направление: Физико-математическое

Исследовательская работа
на тему:

«Замечательные  линии и точки  в треугольнике».

Выполнил: курсант 1курса 1 взвода Золотарев Станислав Владиславович

Руководитель: Караханова Инна Ивановна преподаватель математики ВКК

Москва 2018г

Содержание

1. Введение
2. Свойства точки Жергонна.
3. Свойство точки Нагеля.
4. Треугольник Жергонна.
5. Треугольник Нагеля.
6. Треугольник Рёло.
7. Практическая часть.
8. Заключение.
9. Список используемых источников.

1. Введение.

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок и слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике.
/Годфри Харди/

Тема нашей исследовательской работы была выбрана на кружке по математике. Нам хотелось изучить и собрать материал по теме «Треугольник», который не входит в школьную программу по геометрии. Проанализировать и обобщить собранный материал.

Математика - очень интересная и увлекательная наука. Благодаря своей универсальности она стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. Так, например, мы часто встречаемся с кривыми, которые не кажутся нам безобразными, а совсем наоборот, они привлекают наше внимание своими изящными формами и удивительными свойствами.

Цель работы: научится решать задачи повышенной трудности, применяя свойства замечательных точек и линий

Задачи: 1. Изучить теоретический материал по теме: «Замечательные точки и линии треугольника и их свойства». 2. Рассмотреть методику изучения замечательных точек и линий треугольника. 3. Подготовить подборку задач для элективного курса по данной теме.

Практическая значимость: расширить свои знания, особенно про свойства треугольника. Дополнительные знания помогут при подготовке к математическим олимпиадам.

Математики называют треугольник двумерным симплексом. «Симплекс» - по латыни означает простейший. Трёхмерным симплексом называют треугольную пирамиду. Именно в силу своей простоты треугольник является основой многих измерений. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других; затем оно было полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида.

Начало открытий замечательных точек треугольника, не изучаемых в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (Ceva) (1648 - 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, 5 которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении "О взаимнопересекающихся прямых". Его теорема позволила открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергонна.

Жозеф Диас Жергонн (JosephDiazGergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

В 1810 году Жергонн начал издавать свой журнал, который имел официальное название «Annalesdemathématiquespuresetappliquées», но стал известен как «AnnalesdeGergonne». Этот журнал издавался в течение 22 лет, в основном в нем печатались работы, посвященные геометрии как основной области интересов Жергонна. В нем печатались работы многих известных математиков: Понселе, Плюкера, Брианшона, Галуа и др.

Жергонн дал элегантное решение задачи Аполлония: построить окружность, которая касается трех данных окружностей. Он ввел термин “поляра” и принцип двойственности в проективную геометрию.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице’’.Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Христиан Генрих фон Нагель немецкий математик.Изучал теологию в Тюбингене, затем там же, а с 1830 г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известенрядом работпо геометрии:

 в частности, работой «Untersuchungen über die wichtigsten zumDreiecke gehöhrigen Kreise. Eine Abhandlung aus dem Gebiete der reinen Geometrie», в которойвпервые описана серединная точка треугольника,

 в дальнейшем получившая название точки Нагеля.

2. Свойство точки Жергонна

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.Пусть точка I — центр вписанной окружности треугольникаABC. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольникаBC, AC и AB в точках D, E и F соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков AD, BE и CF.

Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольникаABC, а радиусы вписанной окружности ID, IE иIF перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеемтри пары равных треугольников.
Произведения AF*BD*CE и AE*BE*CF равны, поскольку

  BF=BD,CD=CE,AE=AF

следовательно, отношение этих произведений равно 1, и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания треугольника сторон треугольника со вписанной окружностью.

• Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля .
• Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности .
• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен
• 

• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

• Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга  с выколотым центром.
• Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

3. Свойство точки Нагеля

Определение.Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

• Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Эйлера.
• Если точки таковы, что каждый из отрезков, и делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
• Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Расстояние между ортоцентром и точкой Нагеля равно диаметру

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T A, T B и T C. Точка T A лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна T A T B T C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Свойства:

• Три прямые AT A , BT B и CT C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge  — X(7) .
• Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна .
• Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна , и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательноортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Треугольник Жергонна (для треугольника ABC ) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC .

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы AB, BE иCF пересекаются в точке K внутри треугольника ABC. Тогда выполняются следующие равенства:

1) 

2) 

Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.

Теперь сложим отношения площадей:

4. Треугольник Нагеля

Треугольник Нагеля для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка TA противоположна стороне A, и т. д.

Свойства

• Описанная вокруг треугольника TA,TB,TC ,окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
• Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).
• Перпендикуляры, восставленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (т. е. в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

5. Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах.

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге (Бельгия) использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.       Основные геометрические характеристики:

1) Если ширина треугольника Рёло равна, то его площадь равна:

 2) Периметр:

3) Радиус вписанной окружности:

4) Радиус описанной окружности:

 Построение:

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух

6. Практическая часть.

№1.Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Решение
Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a , AC=b , AB=a . Пусть A" , B" , C" – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC , AC , AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB , p – полупериметр треугольника. Тогда 

BA"=BK = AK - AB = p-c.
Аналогично 

A"C=p-b, CB"=p-a, B"A = p-c, AC"=p-b, C"B=p-a.
Поэтому 

· ·  = · ·  =1
Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA" , BB" и CC" пересекаются в одной точке.

№2.
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке. (точка Жергона).

Нужно доказать, что два из этих отрезков делят третий в одном и том же отношении или воспользоваться теоремой Чевы.

Решение

  Пусть M, N и K – точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами BC, AB и AC соответственно. Обозначим  BM = BN = x,
AN = AK = y,  CM = CK =

  Первый способ. Проведём через точку A прямую, параллельную стороне BC и продолжим отрезок CN до пересечения с этой прямой в точке T. Из подобия треугольников ANT и BNCследует, что      Поэтому    
  Пусть P – точка пересечения AM и CN. Из подобия треугольников APT и MPC следует, что    
  Аналогично докажем, что если Q – точка пересечения AM и BK, то    
  Следовательно, точки P и Q совпадают.

  Второй способ.   
  По теореме Чевы отрезки AM, CN и BK пересекаются в одной точке.

Задача 1

Точка С1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ1. В каком отношении делит прямая В1 С1 сторону ВС? (на слайде 2).

Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: .

Задача 2

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).

Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС . По теореме Менелая .

Задача 3

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).

Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

7. Заключение

Для написания своей работы мы рассмотрели много теоретического материала.

Исследовали точки Жергонна и Нагеля, а также их треугольники и Треугольник Рёло, изучили биографию этих математиков и получил новые знания и использовал их при решении задач. Работая над темой, мы поняли, что, несмотря на то, что треугольник называют простейшей фигурой, он скрывает в себе еще много тайн, которые только предстоит разгадать ученым. Мы продолжим работать над этой темой и порешаем задачи на замечательные точки треугольника.

Слова Жергонна о математических теориях: «Нельзя хвастаться тем, что ты сказал последнее слово в какой-либо теории, если не можешь объяснить ее несколькими словами первому встречному на улице.»

1. Gergonne, J. D. (November 1974). «The application of the method of least squares to the interpolation of sequences». HistoriaMathematica 1 (4): 439–447. DOI:10.1016/0315-0860(74)90034-2.
2. Stigler, Stephen M. (November 1974). «Gergonne's 1815 paper on the design and analysis of polynomial regression experiments». HistoriaMathematica 1 (4): 431–439. DOI:10.1016/0315-0860(74)90033-0.
3. Бирюкова Н.Б. Логическая мысль во Франции XVII- начала XIX столетий: Французские предвосхищения идей математической логики. М., 2006. С.150-159 идр.
4. Большая математическая энциклопедия / Якушева Г. М. и др. – М.: Филол.
5. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил.  
6. М.Б.Балк, В.Г.Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61
7. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека "Математическое просвещение"». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
8. Сайт http://ru.wikipedia.org/wiki.
9. Энциклопедия элементарной геометрии (Книга 2) Вебер И., Вайштейн И.
10. Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004.