Практическая значимость теорем планиметрии

Опубликовано Ролдугина Светлана Николаевна вкл 24.08.2018 - 21:32

Автор:

Назаров Алексей

Данная работа посвящена задачам-теоремам, которые часто и эффективно используются при решении других задач наряду с главными теоремами геометрии: теоремой Пифагора, теоремой косинусов, теоремой синусов и др.

При изучении стереометрии усложняются чертежи, необходимо пространственное воображение, и, безусловно, должны быть прочные навыки решения задач по планиметрии. Обучение решению задач – неотъемлемая составная часть изучения геометрии. В процессе решения задач тренируется мышление, закрепляются теоретические знания и вырабатываются навыки их применения.

Выбор темы неслучаен. Обращение к ней вызвано тем, что в школьной геометрии многим красивым вопросам, уделяется мало времени.

Цель работы – показать эффективность применения задач-теорем при решении планиметрических задач на доказательство и вычисления.

Скачать:

Вложение	Размер
matematika.prakticheskaya_znachimost_zadach-teorem._pushkarskiy_11a.docx	706.38 КБ

Предварительный просмотр:

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение …………………………………………………………………………...3

2. Основная часть

2.1. Основные задачи-теоремы ………………………………………………….4

3. Практическая часть

3.1. Решение задач с использованием задач- теорем ……………………….……...9

3.2. Задачи из контрольно-измерительных и демонстрационных материалов

ЕГЭ по математике……………………………………………………………10

3.Заключение………………………….……………………………………………...14

Приложение…………………………………………………………………………..16

Список используемой литературы .……………………………………………….17

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия – удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие, каждая встреча с ней способна одарить и обогатить любого человека волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. «Планиметрия представляет собой замкнутую модель науки, внутри которой можно бесконечно совершенствоваться. Она дает большие возможности для развития творческого, интеллектуального. Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьезной науки, причем не только математической, состоит также в том, что она является неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск решения самых различных научных и технических проблем… «Сегодня геометрия является одним из немногих экологически чистых продуктов, потребляемых в образовании…» (И.Ф. Шарыгин).

Статистические данные результатов проведения ЕГЭ по математике ГБОУ СОШ №2 г.о. Кинель говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Проблема заключается в том, чтобы выработать алгоритм решения сложных задач, опираясь на основные задачи-теоремы планиметрии.Представляется полезным выделить некоторое множество задач, в которых формируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач. Данная работа посвящена задачам-теоремам, которые изучаются в основном курсе геометрии. Использование данных задач-теорем помогут при решении олимпиадных задач, на итоговой аттестации, что является актуальным для выпускников школы.

В работе преследуется основная цель – показать эффективность применения задач-теорем при решении планиметрических задач на доказательство и вычисления.

В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи:

провести анализ учебника геометрии 7-9 класс Л.С. Атанасяна по выявлению задач решаемых с помощью задач-теорем, контрольно-измерительных и демонстрационных материалах ЕГЭ по математике.
рассмотреть примеры решения задач с помощью задач-теорем;
овладеть приемами применения задач-теорем при решении геометрических задач;

Объектом исследования являются задачи-теоремы, а предметом – решение задач с помощью задач-теорем. Характер исследования обусловил необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов: сбор информации, сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации основных задач-теорем, а практическая– в подборе задач для возможного использования их при подготовке к математическим конкурсам и олимпиадам.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Основные задачи-теоремы

Данное разделение теорем условно и включает в себя основные задачи-теоремы, составленные как из одной или нескольких теорем, так из теорем и задач, и вытекающих из них свойств.

Окружность (хорды, касательные, углы)
	1	Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей. Верно и обратное утверждение
	2	Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны
	3	Если АВ и CDхорды окружности, пересекающие в точке Р, то
	4	Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной угловой величины дуги, на которую он опирается. Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Замечательное свойство окружности. Вписанные углы, опирающиеся на половину окружности (диаметр), прямые.
	5	Угол вершина которого вне (внутри) круга, измеряется полуразностью (полусуммой) дуг, находящихся между его сторонами (и их продолжениями за вершину угла). Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, находящейся между его сторонами.
Треугольник (высоты, медианы, биссектриса)
	6	Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре) если известны стороны треугольника a, b и c, то или , где h — высота, проведенная к стороне a, S — площадь треугольника, определяемая по формуле Герона.
	7	Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся ею в отношении 2 :1 , считая от вершины.
	8	Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника, а длина её равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение.
	9	Биссектриса 1 угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т.е. a :b = a1 : b1 . .
	10	Если прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке M, а сторону BC, в точке N, то треугольники ABC и MNC подобны. Следствие: CM: MA= CN: NB
	11	Определение вида треугольника. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот. Пусть a, b, c – стороны треугольника, причём c – наибольшая сторона. :треугольник - тупоугольный :треугольник- прямоугольный :треугольник – остроугольный
Окружность и треугольник
	12	Во всякий треугольник можно вписать единственную окружность. Её центром является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса угла есть г.м.т., расположенных внутри угла и одинаково удаленных от его сторон.
	13	Около всякого треугольник можно описать единственную окружность. Её центром является точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку есть г.м.т., равноудалённых о концов отрезка.
	14	Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника находят по формулам: , . a, b, c – длины сторон, S – площадь треугольника, p – его полупериметр. Следствие: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c: , .
	15	Следствие из теоремы синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности, т.е. или .
Окружность и четырехугольник
	16	Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. AB + CD = BC + AD
	17	Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммаего противолежащих углов была равна 180° угол A + угол C = угол B + угол D = 180°
Четырёхугольник
	18	Если диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, то длина её высоты равна длине средней линии, а площадь равна квадрату высоты трапеции, т.е.
	19	Если основания равнобочно трапеции равны a и b (), то её высоты делит основание b на части и. Большая из этих частей равна средней линии трапеции.
	20	Замечательное свойство трапеции. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений её боковых сторон, проходит через середины оснований трапеции.
	21	Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, т.е. .
	22	Площадь любого четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженному на синус угла между ними. . Следствие: Площадь четырёхугольника, которого диагонали взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.
Средние пропорциональные отрезки
	23	Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. Если в этих треугольниках взять соответствующие линейные элементы x, y, z, то . Пусть a и b - катеты, h - высота, проведённая к гипотенузе c прямоугольного треугольника, a' и b' – проекции катетов на гипотенузу. Тогда; ; Следствие:
	24	Из точки A, взятой вне окружности, проведены к ней касательная AB и две секущие, пересекающие окружность в точках C и D, M и N соответственно. Тогда . Следствие:.
	25	Высота описанной равнобочной трапеции есть среднее пропорциональное её оснований, т.е. или .

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.

Г. Цейтен

3.1. Решение задач с использованием задач-теорем.

При решении планиметрических задач часто возникают различные конфигурации, содержащие треугольник и окружность. Наличие представления о наиболее распространенных комбинациях и свойствах этих фигур позволяет получать короткие и красивые решения достаточно сложных задач.

В этом разделе приведены задачи, решение которых основано на использовании задач-теорем.

Задача 1: Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку Bпроведена прямая, пресекающая окружности в точках Cи D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках Cи D пересекаются в точке E. найдите AD, если AB = 15, AC = 20, AE = 24.

Решение:Изучим углы. Пусть угол ABD = α, угол BAC = β. Тогда угол ADT = α, угол BCE = β (Tпринадлежит DE). Вписанные углы первой пары измеряются соответственно половинами дуг ADи BC. Каждый угол второй пары, угол между касательной и хордой, измеряется половиной той же дуги. Далее, в треугольнике ABCугол ACB = α – β (угол ABD – внешний для треугольника ABCпри вершине B).

Отметим равенство смежных углов: угол ADE = угол ABC = 180° - α. Следовательно, угол ACE = α, угол ACE + угол ADE = α + 180° - α = 180°, т е. Четырёхугольник ADECвписанный в окружность. Отсюда угол ACB = угол AED, и ∆ACBподобен

∆ADE. Отсюда , AD = 18.

Ответ: 18. Применялись задачи-теоремы 4, 5, 17, вспомогательная окружность.

Задача 2: Точка D лежит на стороне ACтреугольника ABC. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BDв точке M, а окружность, писанная в треугольник BCF — в точке N; отношение радиусов этих окружностей равно 4 : 7. Найти стороны треугольника ABC, если BM = 3, MN= MD = 1.

Решение:

Пусть I1и I2 – центры окружностей, P, Q, K, L – точки касания. Имеем: DP = ND = 1,

DL = DM = 2, BK = BM =3, BN = BQ = 4. Введём обозначения: AL = AK = x,

CP = CQ = y, LI1 = 7k, PI2 = 4k (k>0). Угол I1DI2 = 90° (угол между биссектрисами смежных углов), угол DI2P = угол LDI1(эти углы дополняют угол PDI2до прямого).

Треугольник DI2Pподобен треугольнику LDI1, , . Квадраты радиусов и , т.е. и . Дважды воспользуется формулой , переписав её в виде , где p – полупериметр. , x = 7. , y = 2.

Итак, AB = 7 + 3 = 10, BC = 4 + 2 = 6, AC = 7 + 2 + 1 + 3 = 12.

Ответ: 10, 6 и 12. Применялись задачи-теоремы 2, 12, 14.

3.2. Задачи из контрольно-измерительных и демонстрационных материалов ЕГЭ по математике.

Пример 1. (В11 2009г.) В окружность радиуса вписан треугольник ВСЕ, в котором угол В равен 600. Найдите длину хорды ВР, проходящей через середину М стороны СЕ, если МР = 4.

Решение: BP = MP + BM = 4 + BM, CE — хорда, пересекающаяся с хордой BP. Из теоремы о пересекающихся хордах получим: (1), . CM = ME т.к. М — середина. CE = CM + CE. Дуга CE = 120°, т.к. угол B = 60°. Рассмотрим треугольник COE: угол O — центральный т.к. O — центр описанной окружности и равен 120° т.к. опирается на дугу CE. CO = EO = r = .

, , , CE = 12. CM = ME = 12 : 2 = 6. Вернёмся к равенству (1) и подставим известные значения , выразим BM , BM = 9, BP = 4 + 9 = 13.

Ответ: 13.

Пример 2. (С4 2010г., 2015г.) Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках А и В . Известно, что расстояние между центрами равно a, причем r

Решение: Первый случай (касательная со одной стороны от окружностей)

AB – касательная к окружности (O1,r) и (O2,R) по определению касательная перпендикулярна к R.

перпендикулярен ABиRперпендикулярен AB. Проведём O1Fпараллельный AB. ABFO1 – прямоугольник, следовательно AB = O1F. Рассмотрим треугольник O1FO2 – прямоугольный т.к. угол O1FO2 = 90°,O1F – гипотенуза, O1O2 = a, FO2 = R – r, .

Ответ:.

Решение: Второй случай (касательная между двух окружностей)

AB – касательная к окружности (O1,r) и (O2,R) по определению касательная перпендикулярна к R. rперпендикулярен ABи Rперпендикулярен AB. Проведём O1F параллельный AB. ABFO1 – прямоугольник, следовательно AB = O1F.

РассмотримтреугольникO1FO2 – прямоугольныйт.к. уголO1FO2 = 90°, O1F – гипотенуза, O1O2 = a, AB = O1F, O2F = R + r, .

Ответ:.

Пример 3. (С4 2012г., 2016г.) В треугольнике ABCAB = 6, BC = 8, CA = 4. Точка D лежит на прямой BCтак, что BD :DC = 1 : 3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADCи ADB, касаются стороны ADв точках Eи F. Найдите длину отрезка EF.

Решение: Определим вид треугольника по теореме Пифагора: , 64 > 36 + 16.

Первый случай (Dлежит между Bи C): т.к. BD:DC =1: 3, то BD = x, DC = 3x.

BC = BD+ DC, составим уравнение: x + 3x = 8;4x = 8; x = 2, BD = 2, DC = 6.

Используя теорему-задачу 2.1

() рассмотрим треугольник ADC:

, теперь рассмотрим треугольник ABD:.

Длина отрезка .

Второй случай (Dлежит на продолжении стороны BC): т.к. BD: DC = 1 : 3, то BD = x, DC = 3x.

BC = CD - BD, составим уравнение: 3x - x = 8;

2x = 8; x = 4, BD = 4, DC = 12. Используя теорему-задачу 2.1 () рассмотрим треугольник ADC:

, теперь рассмотрим треугольник ABD:.

Длина отрезка .

Ответ: длина отрезка EF = 3 или 5.

Задача4.Окружность радиуса r касается изнутри окружности радиуса R в точке A. Прямая, перпендикулярная линии центров, пересекает одну окружность в точке B, другую – в точке C. Найти радиусокружности, описанной около треугольника ABC.

Решение:Пусть AE = 2r, AF = 2R, BC ⊥AE, D = BC∩ AE, x – искомый радиус. Если ∠ACB = α, то x = AB:2sinα. Из треугольникаAСD: sin (180° – α) =AD:AC= sinα.

Значит, x= AB⋅AC: (2AD). Соединив точки C, E, и B, F, образуем прямоугольные треугольники AСE, ABF.

AC= = ; AB= = ;

AB ⋅AС= 2AD, x = . Ответ:.

Применялось дополнительное построение, задачи-теоремы 4, 15, 23.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования проанализированы учебник геометрии 7-9 класс автор Л.С. Атанасян , задания из материалов ЕГЭ по математике 2010-2016 года, взятые с сайта министерства образования www.fipi.ru, задания контрольно-измерительных материалов из сборников, подготовленных по заданию Министерства образования Российской Федерации и результатов сдачи ЕГЭ по математике учащихся ГБОУ СОШ № 2 за 2006- 2012года.

В результате исследования:

Выявлено, что решению геометрических задач уделено мало внимания. Тема

« Вписанные и описанные окружности» изучаются в конце 8 класса (9 часов); в 9 классе на решение планиметрических задач по теме «Вписанные и описанные окружности» отведено 6 часов.

2. Выявлено, что в варианты КИМов и демонстрационные материалы ЕГЭ по математике ежегодно включаются задачи по планиметрии ( задание №16 или С4).

3. Определено, что для выполнения некоторых заданий из планиметрии наиболее рациональным является применение задач-теорем.

4. Выделены 25 задач-теорем, которые позволяют решать геометрические задачи по планиметрии.

Результаты выполнения заданий (С4) из материалов ЕГЭ за 2006-2012 гг. выпускников ГБОУ СОШ №2 г.о. Кинель представлены на диаграмме:

Мои выводы:

Максимально улучшить навык решения задач можно систематизировав теоремы, закрепив их у себя в уме, путем их решения, последовательного закрепления навыка. Разложив все теоремы «по полочкам» можно быстро и легко решать задачи, зная какой шаг в решении должен быть следующим. И не просто зная, а рассуждая и развивая своё мышление.

После изучения данного материала я углубил свои знания в геометрии. Выполнив задачи, я закрепил многие теоремы, а так-же приобрёл опыт в решение задач планиметрии. Это действительно полезная тема, позволяющая не только укрепить свои знания, но и при их помощи решать задания из ЕГЭ по геометрии.

Этот материал будет полезен моим одноклассникам, так как я учусь в физико-математическом классе, где наверное каждому требуются знания по математическим дисциплинам, например таких как геометрия. Чем больше решать задач, тем больше полученные знания будут скапливаться, и откладываться в своей памяти.

Предстоящим выпускникам тема является актуальной. С помощью этого материала можно решить задачи по планиметрии и стереометрии из ЕГЭ. Хоть это и кажется малым, но всё и так состоит из малого и собирается в большое единое целое.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Планиметрические задачи:

№1.Медиана AM и высота CH равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке K. Найдите площадьтреугольника ABC, если CK = 5, KH = 1.

№2.В окружности проведены хорды AС и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку B, параллельна AC. Найдите площадь треугольника BCE, если известно, что EA : DA = 3 : 4 и S(DCB) = 16.

№3.В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на высоте BD как на диаметре построена окружность. Через точки A и C к окружности проведены касательные AM и CN, продолжения которых пересекаются в точке O. Найдите отношение AB : AC,

если OM : AC = k и высота BD меньше основания AC.

№4.Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 иBD = 10 . Проведена окружность

радиуса с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B, касается этой окружности и пересекает прямуюCD в точкеM . Найдите CM.

№5.В треугольнике ABCизвестны стороны:AB = 8, BC = 10, AC = 11. Окружность, проходящая через точкиA и C, пересекает прямыеBAи BC, соответственно, в точкахK и L, отличных от вершин треугольника. ОтрезокKL касается окружности вписанной в треугольникABC. Найдите длину отрезкаKL. (С4.(2013)) .

№6. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

№7. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно .

№8. Боковая сторона равнобедренной трапеции в 4 раза больше меньшего основания. В трапецию вписана окружность. Найдите ее радиус, если площадь трапеции равна 28.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л.С. Атанасян и др., учебник «Геометрия, 7-9», М.: «Просвещение», 2006г.

2. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. М., Наука, 1978г.

3. Журнал «Математика» № 26, 2008г., изд. « Первое сентября».

4. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планиметрия), М. Наука, 1982г. (библиотека «Квант» вып.17).

5.Зеленюк О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода. Изд: ДиаСофтЮП, ДМК пресс. 2008г.

6. Ресурсы Интернет: http://www.bestreferat.ru ;www.fipi.ru ; http://www.twirpx.com/

АННОТАЦИЯ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ЗАДАЧ-ТЕОРЕМ ПЛАНИМЕТРИИ

Автор :Назаров А.В.

Государственное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 2

Сказка "12 месяцев". История и современность

Как нарисовать небо акварелью

Компас своими руками

Загадочная система из шести экзопланет

Н. Гумилёв. Жираф