Проектная работа "Квадратный трехчлен и параметры"

Содержание:

1. Квадратные уравнения
2. Квадратный трехчлен
3. Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена
4. Расположение корней квадратного трехчлена
5. Практические упражнения
6. Дидактический материал
7. График квадратичной функции
8. Франсуа Виет (биографическая справка)
9. Литература.

I. Квадратные уравнения

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а   длины равны ширине». Рассмотрим ее:

Пусть x – длина поля. Тогда x – его ширина, S = x2 – площадь. Получилось квадратное уравнение:  

В папирусе дано  правило для его решения: «Раздели 12 на ».

Итак, х2 = 16, «Длина поля равна 4» - указано в папирусе.

Прошли тысячелетия,  в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х2 = 16, мы получаем два числа: х1 = 4, х2 =–4. Разумеется, в египетской задаче и мы приняли бы x = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.

Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения, приведенного квадратного уравнения

х2 + px + q = 0,

где p и q - любые действительные числа.

В одной из вавилонских задач также требовалось определить длину прямоугольного поля (обозначим ее х) и его ширину (y): «Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найди его стороны». Составим систему уравнения:

Из второго уравнения находим y =   и подставляем в первое уравнение:  

Отсюда получаем квадратное уравнение:  х2 – 14 х + 48 = 0

Для его решения прибавим к выражению х2 – 14 х некоторое число, чтобы получить полный квадрат:

х2 – 14 х = х2 – 2⋅7⋅х = х2 – 2⋅7⋅х + 72 – 72  = (х – 7)2 – 49

Теперь уравнение можно записать так:

(х – 7)2 – 49 + 48 = 0 или  (х – 7)2 = 1

Мы пришли к квадратному уравнению, которое умели решать и египтяне. Не зная отрицательных чисел, древние математики получали                   х – 7 = 1, х  = 8. Следовательно, y == 3. То есть длина поля равна 8, а ширина 3.

Вообще же квадратное уравнение (х – 7)2 = 1 имеет два корня.

1) х – 7 = 1, откуда х = 8, y = 3.

2) х – 7 = 1, откуда х = 6, y = 4.

Задача о стае обезьян.

Составив квадратное уравнение, решите древнеиндийскую задачу о  стае обезьян.

На две партии разбившись

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

Ответ:  х1 = 16,  х2 = 48.

II. Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где    x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выражение x2 + px + q называют приведенным трехчленом.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена           ax2 + bx + c и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:

Обратная теорема Виета. Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = – p;           х1 ⋅ х2 = q, то корни приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q.

Следует иметь в ввиду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведенного квадратного уравнения.

Следствия из Теоремы Виета. Пусть х1 и х2 - корни квадратного трехчлена x2 + px + q, тогда

Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

, при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие , и оба корня отрицательны, если

Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения

В квадратном трехчлене всегда можно выделить квадрат двучлена

Таким образом,

Аналогично, для приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q имеем:

Выражение b2 – 4ac = Д - дискриминант (различитель) квадратного уравнения.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

аx2 + bx + c = а (х - х1)(х – х2)

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то трехчлен можно представить в виде

аx2 + bx + c = а (х - х1)2

Если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Практические упражнения

Пример 1.

х1 и  х2 – корни квадратного трехчлена

x2 + 6x + q удовлетворяют условию х2 = 2 х1

Найдите q, х1, х2

Решение:

Из теоремы Виета следует, что х1 + х2 = 3 х1= –6, т.е. х1= –2 и х2 = 2 х1 =–4

Тогда q = х1⋅х2 = 8

Пример 2.

Найдите , где х1 и х2 корни квадратного трехчлена                      2x2 – 3x –9.

Решение:

Преобразуем выражение:

По теореме Виета  и

поэтому имеем

III. Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена

Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена                        аx2 + bx + c.

1) Если а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 =

Пример: 2x2 + 3x – 5;  х1 = 1, х2 = –

Следовательно, 2x2 + 3x – 5 = 2 (x – 1)( x + ) = (x – 1)(2x + 5)

2) Если а – b + c = 0, то х1 = –1, х2 = – 

Пример: 2x2 + 3x + 1,  х1 = –1, х2 = –

Следовательно, 2x2 + 3x + 1 = 2 (x + 1)( x + ) = (x + 1)(2x + 1)

3) Если а = c = n,  b = n2 + 1, т.е. n x2 + (n2 + 1) ⋅ x + n, то  х1 = – n,                х2 = –

Пример: 2x2 + 5x + 2,  х1 = –2, х2 = –

Следовательно, 2x2 + 5x + 2 = 2 (x + 2)( x + ) = (x + 2)(2x + 1)

4) Если а = c = n,  b = – (n2 + 1), т. е. n x2 – (n2 + 1) ⋅ x + n, то х1 = n,                х2 = 

Пример: 3x2 – 10x + 3,  х1 = 3,  х2 =

Следовательно, 3x2 – 10x + 3 = 3 (x – 3)( x – ) = (x – 3)(3x – 1)

5) Если в приведенном квадратном трехчлене второй коэффициент четный, то можно пользоваться следующей формулой  x2 + px + q, где  p- четное

Пример: а) x2 – 10x + 21

х1 = 5+2 = 7

х2 = 5–2 = 3

б) x2 – 2х + 5

, но лучше решить используя формулу квадрата двучлена              (x – )2.

Практические упражнения

Пример. Упростите выражение:

Решение: x2 –3х + 2, его корни  х1 = 1,  х2 = 2

3x2 + 7х – 10, его корни  х1 = 1,  х2 = –

5 – 4х – 9x2 = – (9x2 + 4х – 5) его корни х1 = – 1,  х2 =

Исходное выражение перепишем в виде:

IV. Расположение корней квадратного трехчлена.

Примеры применения свойств квадратного

трехчлена при решении задач

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа A; корни расположены между числами A и B; корни не принадлежат промежутку с концами в точках A и B и т. п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

Приведем данные утверждения в удобной для решения форме.

Пусть числа x1 и x2 – корни квадратного трехчлена  f(x) = аx2 + bx + c     (положим x1 < x2), у которого Д = b2 – 4ac >0, а ≠ 0 и даны А и В – некоторые точки на оси ox.

Тогда

1.

Оба корня меньше числа А, т. е. x1 < А и x2 < А тогда и только тогда

        или         

Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие (4) и (6), то данные системы можно свести к одной.

2.

Корни лежат по разные стороны от числа А, т. е.  x1 < А < x2 тогда и только тогда

        или        

Как и в предыдущем случае, данное условие можно записать одним неравенством

3.

Оба корня больше числа А, т. е. x1 > А и x2 > А тогда и только тогда, когда

        или         

Объединяя в первой системе (1) и (3), а во второй системе условие (4) и (6), получим одну систему:

4.

Оба корня лежат между точками А и В, т.е. А < x1< В и А < x2 < В  тогда и только тогда, когда

        или         

Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу, записав вместо двух систем одну

5.

Корни лежат по разные стороны от отрезка [А; В], т.е. x1 < А < В < x2 тогда и только тогда, когда

        или         

данные две системы записываем одной

V. Практические упражнения

Пример (задание 2.58 сборника для подготовки к итоговой аттестации, стр. 107).

1. При каких значениях а корни уравнения

x2 – 2ах + (а + 1)( а – 1) = 0

принадлежат промежутку [-5; 5]?

Решение:

f(x) = x2 – 2аx + (а + 1)( а – 1)    

                                             х

           -5     х1    х2     5

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

х0 = -b/2a = a

f(-5) = 25 + 10 a + a2 – 1 = a2 + 10 a + 24

f(-5) = a2 – 10 a + 24

        ⇒        – 4 ≤ а ≤ 4

Ответ:  – 4 ≤ а ≤ 4.

2. При каких значениях p корни уравнения

x2 – 2 (p + 1) ⋅ x + p (p + 2) = 0

принадлежат промежутку [–1; 3]?

Решение:

f(x) = x2 – 2 (p + 1) ⋅ x + p (p + 2)

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

х0 = -b/2a = p + 1

f(-1) = 1 + 2 (p + 1) + p (p + 2) = p2 + 4 p + 3

f(3) = p2 – 4 p + 3

                ⇒        – 1 ≤ p ≤ 1

Ответ:  – 1 ≤ p ≤ 1

Пример (задание 2.59)

1. При каких значениях а один корень квадратного уравнения  

x2 – (a + 1) ⋅ x + 2 a2 = 0 больше , а другой меньше ?

Решение: Изобразим схематически условие задачи

Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трехчлена и решим неравенство: f () < 0.

f(x) = x2 – (a + 1) ⋅ x + 2 a2

f () = 2 a2 –  a –  

2a2 –  a –  < 0    /·4

 8a2 – 2 a – 1< 0

Д = 36 > 0, а1 = , а2 = -  

Ответ: при   -  < a <

2. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена  x2 + (a + 1) ⋅ x – a2 ?

Решение: 

А = 1, f ( А ) < 0

                            А                   х

                х1              1         х2

f (1) = – a2 + a + 2

 – a2 + a + 2 < 0

a2 – a – 2 > 0

Ответ: при a < 1 и  a > 2 .

Пример (задание 260)

1. При каких значениях b уравнение

x2 + 2 (b + 1) ⋅ x + 9 = 0

имеет  два различных положительных корня?

Решение: Требуемые значения параметра являются решениями системы:

х0 = –  = – b – 1

Д = 4b2 + 8 b – 32

Решим систему:                 

Ответ: при b < – 4.

2. При каких значениях k уравнение

x2 – 4 x + (2 – k) (2 + k) = 0

имеет корни разных знаков?

Решение: Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трехчлена и решим неравенство:

f (0) < 0,  f (0) = 4 – k2, 4 – k2 < 0

k2 – 4 > 0, при k < – 2 и k > 2

Ответ: при k < – 2 и k > 2.

Пример: При каких значениях а уравнение  x 4 + (1 – 2a) x2 + a2 – 1 = 0 имеет четыре разных корня?

Решение: После замены t = x2 получается уравнение

t 2 + (1 – 2a) t + a2 – 1 = 0.

Первоначальное уравнение имеет четыре различных решения только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, т.е.

Решив систему получим  

Ответ:

Пример: При каких значениях параметра а уравнение

(a – 1) x 2 – 2(a + 3) x + a – 5 = 0

 имеет два отрицательных корня?

Решение: Так как уравнение имеет два отрицательных корня, то выполняются условия:

                                        или

                или                

Д = 4 (a + 3)2 – 4(a – 1)(a – 5) = 4 a2 + 24 a + 36 – 4 a2 + 24 a – 20 =

 = 48 a + 16 = 16 (3 a + 1)

f (0) = a – 5

Решаем каждую из систем:

                или                

ø                                

Ответ:

VI. Дидактический материал

1. При каких значениях а уравнение  a x 2 + 6 x + 2a + 7 = 0

 имеет один корень?

2. При каких а уравнение  x 2 – 2 a x + a2 + 2 a – 3 = 0

а) не имеет корней;

б) имеет положительные корни.

3. При каких значениях а уравнение x 2 + 2 (a – 1) x + a – 5 = 0

 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?

4. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (a – 3) x 2 – 2 a x + 6a = 0 положительны?

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена  x 2 + a x + 1 различны и лежат на отрезке [0; 2].

6. При каких значениях p и q корни уравнения x 2 + p x + q = 0 равны         p и q?

VII. График квадратичной функции

Функция, заданная формулой  y = a x 2 + b x + c, где x, y – переменные, а а, b и c – заданные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной.

Областью определения квадратичной функции является множество R.

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0, то ветви параболы направлены вниз. Осью симметрии параболы служит прямая . Ось симметрии разделяет параболу на две бесконечные симметричные друг другу части.

Квадратичная функция при а > 0:

 - убывает на (– ∞; х0), график ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх,

  - возрастает на (х0; + ∞), график восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх;

 - наименьшее значение, равное y0, функция принимает при х = х0 в вершине параболы;

 - вся парабола, кроме вершины, расположена выше прямой y = y0, параллельной оси ох.

Квадратичная функция при а < 0:

 - возрастает (– ∞; х0), график – восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;

 - убывает на (х0; + ∞) , график – ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;

 - наибольшее значение, равное y0, функция принимает при х = х0 в вершине параболы;

 - вся парабола, кроме вершины, расположена ниже прямой y = y0 параллельной оси ох.

По коэффициентам параболы устанавливаем ее основные геометрические характеристики:

 - ветви обращены вверх при а > 0;

 - вниз при а < 0;

 - ось симметрии – прямая     параллельная оси оy;

 - вершина – точка с координатами , ;

 - точка пересечения с осью координат – точка оси оy c ординатой, равной свободному члену с, т. к.  y(0) = с.

По этим сведениям и по нескольким отмеченным точкам с координатами (х; y(х)) изображают примерный вид параболы.

Пример: По виду графика функции y = a x 2 + b x + c определить знаки коэффициентов  a; b; c.

Решение:

1. a < 0 (т.к. ветви параболы обращены вниз)
2. х0 > 0;  ⇒ b > 0
3. с < 0 (парабола пересекает отрицательную полуось оy)

Ответ:  a < 0; b > 0; с < 0.

VIII. Франсуа Виет

(Биографическая справка)

Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1540-1603) в небольшом городке Фантанеле - Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал. Свою знаменитую теорему, которая известна под названием теорема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

Во время войны Франции и Испанией Виет оказал большую услугу свой родине – он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея.

В работе «Введение в аналитическое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных символов. В названном трактате Виет использовал алгебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии.

Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый термин – коэффициент, позаимствовав из латинского языка слово coefficients – «содействующий». Знаки «+» и «-» он употреблял в современном значении, неизвестные обозначал буквами латинского алфавита. 

XI. Литература:

1.Гусев В.А., Мордкович А.Г.-«Математика. Справочные материалы»,-     М. «Просвещение», 1988г.-С.160-162.

2.Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., и др.-«Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе»,-М. «Просвещение», 2006г.-С.107.

3.статья из газеты:

Цыганов Ш. Квадратный трехчлен и параметры //Математика.-1999г., №5,С.4-9.

4.Энциклопедия для детей «Аванта +», том 11, Математика.-М.Аванта+,2002г.-С.223.