Различные способы доказательства площади трапеции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ   МОУ Кяхтинского района,   МБОУ «Наушкинская СОШ»

                       Конференция «Шаг в  будущее»

ТЕМА:

«Различные способы доказательства

площади трапеции»

Исполнитель:

Дамдинова Дарья

учащаяся 8 класса

МБОУ « Наушкинская СОШ»

Кяхтинского района,

Республики Бурятия

Руководитель:

Коршак Людмила Леонидовна,

учитель математики

МБОУ «Наушкинская СОШ»

Кяхтинского района,

Республики Бурятия

2018г.

Содержание

1. Введение---------------------------------------------------------------------------------------------
2. Значение геометрии в нашей жизни------------------------------------------------------------
3. Способы нахождения площади трапеции--------------------------------------------------------

3.1. Исследование 1 «Нахождение площади трапеции по учебнику «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян--------------------------------------------------------------------------------------------------------

  3.2. Исследование  2 «Нахождение площади трапеции через    построение внешних высот трапеции»---------------------------------------------------------------------------------------------------

3.3. Исследование  3 «Нахождение площади трапеции через построение прямой, параллельной одной из боковых сторон»-----------------------------------------------------------

3.4. Исследование 4 «Нахождение площади трапеции через  построение прямой, проходящей через середину боковой стороны»----------------------------------------------------------------------

    3.5. Исследование 5 «Нахождение площади трапеции с помощью построения перпендикуляров через середины боковых сторон»-------------------------------------------------

3.6. Исследование 6 «Нахождение площади трапеции с помощью построения внутренних высот трапеции»----------------------------------------------------------------------------------------------

3.7. Исследование 7 «Нахождение площади трапеции, если известны диагонали и угол между ними»-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.8. Исследование 8 «Нахождение площади трапеции через среднюю линию»---------------

3.9.Исследование 9 «Нахождение площади трапеции при проведении перпендикуляра к боковой стороне из середины другой боковой стороны»---------------------------------------------

    3.10. Исследование 10  «Анализ тестов ОГЭ по математике модуль   «Геометрия»: частота задач на нахождение площади трапеции»---------------------------------------------------------------

4. Заключение-----------------------------------------------------------------------------------------------
5. Список литературы--------------------------------------------------------------------------------------
6. Приложения:

1. Приложение 1. Буклет «Трапеция в нашей жизни»-------------------------------------
2. Приложение 2. Видео опрос «Что знают учащиеся школы о трапеции, о нахождении ее площади»---------------------------------------------------------------------

1. Введение

  Выбор темы «9 способов нахождения площади трапеции» обусловлен моими личными интересами в области геометрии, а именно в строительстве.   Актуальность данной работы определяется тем, что знания и умения находить площадь трапеции имеют огромное значение для решения практических задач в жизни, в том числе и заданий основного государственного экзамена по математике. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет найти новые подходы к решению геометрических задач.  Именно поэтому данная тема явилась источником для исследовательской работы.

В ходе работы нам предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют другие способы нахождения площади трапеции, помимо описанного способа в учебнике.

Объект исследования: трапеция

Предмет исследования: площадь трапеции

Цель исследования: определить, существуют ли другие способы нахождения  площади трапеции.

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;
2. Изучить вопрос по нахождению площади трапеции в учебнике геометрии 7-9 класс Л.С. Атанасян.
3. Провести исследования «Различные способы нахождения площади трапеции»
4. Провести анализ тестов ОГЭ с 2012 г по 2017г по математике и определить  частоту появления задач на нахождение площади трапеции в КИМах.
5. Провести видео опрос «Что знают учащиеся школы о трапеции, о нахождении ее площади»

 Методы исследования:

1. поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
2. исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением рассуждения, доказательства и анализ фактов.
3. практический метод при определении частоты появления задач на нахождение площади трапеции, составлении буклета, проведение видео опроса

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

Совместно с руководителем был разработан ход исследования:

1. Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и найти новые способы нахождения площади трапеции.
2. Провести анализ тестов ОГЭ и определить частоту появления задач на нахождение площади трапеции.
3. Провести видео опрос «Что знают учащиеся школы о трапеции, о нахождении ее площади»
4. Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

2.Значение геометрии в нашей жизни

Геометрия обладает целым рядом качеств, располагает огромными возможностями для эмоционального и духовного развития человека. «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX в., очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нём, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира помогает нам геометрия.

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов.  

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство четырёхугольников. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Подумайте и самостоятельно ответьте на вопрос: что такое “площадь”? И вы увидите, что не так-то это просто. Даже математики смогли создать соответствующую математическую теорию сравнительно недавно. Правда, это никому не мешало успешно использовать понятие площади и в науке, и на практике с незапамятных времен. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей.

По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции  и других многоугольников.

Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Одним из многоугольников является трапеция.

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией.
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

  Трапецию можно встретить как в повседневной жизни - быту, так и в архитектуре и природе.  Значение трапеции в нашей жизни я оформил в виде буклета. Приложение 1.

Я самостоятельно изучила теорему  о нахождении площади трапеции, провела исследования. Одним, из них является  опрос «Что знают учащиеся школы о трапеции, о нахождении ее площади» Приложение 2

3.Способы нахождения площади трапеции

3.1 Исследование 1 «Нахождение площади трапеции по учебнику «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян

   Дано: ABCD - трапеция

Найти площадь SABCD  

    А       Н                        В        

                D                 С        Е        

Решение.

1. Провели диагональ BD. Тогда наша трапеция разбивается на две части: два треугольника  ΔABD  и   ΔBCD.
2. ДН= ВЕ – как высоты трапеции (расстояние между параллельными прямыми АВ и СД)
3. SABCD=SABD+SBCD=

Вывод: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции.

3.2 Исследование 2 «Нахождение площади трапеции через  построение внешних высот трапеции»

      Н     В                  С       К        

      А                                  Д    

Решение.

1. Провели высоты АН и DК , AН = DК,  AD  = HK . Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АHВ, прямоугольник AНDК  и треугольник CKD.

2. Таким образом, SABCD = SAHKD –  SAHВ -  S DKC

3.    SABCD = A = AH 

=AH  

Вывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.

3.3    Исследование 3 «Нахождение площади трапеции через построение прямой, параллельной одной из боковых сторон»13

Решение:

1. Провели  СК‖АВ, высоту  ВН. Тогда наша трапеция разбивается на две части:  параллелограмм АВСК (по определению, так как АВ‖СК по построению, АК‖ ВС по условию) и ΔКСD.  Причём, высоты параллелограмма и треугольника равны.

2. Таким образом, SABCD = SABCK +  S KCD 

3. SABCD =  = BH 

=BH  

Вывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.

3.4  Исследование 4 «Нахождение площади трапеции через  построение прямой, проходящей через середину боковой стороны»

Решение:

1. Через середину стороны CD  (точка К)  провели прямую, пересекающую сторону AD  в точке L.
2. Рассмотрим треугольники BCK  и  LDК:  CK = DK (по построению), ∟ВCК = ∟LDK  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и LD и секущей CD ),  ∟CKB = ∟DKL  (как вертикальные),        Δ BCK = ΔLDК  (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно, BC = LD  и  SBCK = SLDК.
3. SABCD = SABL =

Вывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.

3.5  Исследование 5 «Нахождение площади трапеции с помощью построения перпендикуляров через середины боковых сторон»

Решение:

1. Через середины сторон AB  и  CD (точки M  и K ) провели перпендикуляры NH  и  PT к основаниям трапеции.
2. Рассмотрим Δ AMH  и  ΔBMN:  ∟H = ∟N = 900 ,  AM = MB (по условию),  ∟AMH = ∟BMN (как вертикальные), значит, ΔAMH = ΔBMN  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  AH = BN  и  SAMH = SBMN 
3. Рассмотрим Δ CPK  и  ΔDTK:  ∟T = ∟P = 900 ,  CK = KD (по условию),  ∟CKP = ∟DKT (как вертикальные), значит, ΔCPK = ΔDTK  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  CP = DT  и  S CPK =  S DTK 
4. SABCD = SHNPT = NHNP

Вывод: нахождение площади трапеции сводится к нахождению площади прямоугольника.

3.6 Исследование 6 «Нахождение площади трапеции с помощью  построения внутренних высот трапеции»

            В                       С

   А            Н                          Д

               Н                К

Решение.

1. Провели высоты ВН и СК, ВН = СК,  HK = BC. Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АВН, прямоугольник НВСK  и треугольник CKD.
2. Таким образом, SABCD = SABH + SHBCK + SCKD 
3. SABCD =  = BH 

=BH  

Вывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.

3.7 Исследование 7 «Нахождение площади трапеции, если известны диагонали и угол между ними» 14

                        Решение:

1.  В трапеции даны диагонали AC = d1, BD = d2, ∟COD = .
2.  ∟AOB = ∟COD (как вертикальные), ∟BOC  = ∟AOD = 1800 –  (по свойству смежных углов),  и  = .
3. SABCD = SABO + SBOC + SCOD + SAOD =   +

+  +  +  =

=   =

 =   =

 =  =    d1d2.

Вывод: площадь трапеции равна произведению диагоналей трапеции на синус угла между ними деленному на 2.

3.8 Исследование 8 «Нахождение площади трапеции через среднюю линию»

1. В трапеции ABCD   MN – средняя линия, т. е.   AM = MB и  CN = ND,  MN =    .
2. Так как   SABCD =  .

Вывод: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции

3.9  Исследование 9 «Нахождение площади трапеции при проведении перпендикуляра к боковой стороне из середины другой боковой стороны»

Решение.

1. Через середину стороны CD  трапеции ABCD  провели перпендикуляр  KM к стороне AB, т. е. CK = KD, KM = q,  AB = d.
2.   PN ‖ AB.
3. ΔCPK = ΔDNK   по стороне и двум прилежащим к ней углам  (∟CKP = =∟DKN   (как вертикальные,   CK = DK  (по условию),   ∟PCK = ∟NDK   (как накрест лежащие при параллельных прямых),  значит,  SCPK  = SDNK
4.   SABCD = SABCKN  + SCPK = SABPN  = dq.

Вывод: при данных условиях нахождение площади трапеции сводится к нахождению площади параллелограмма.

И так:

При исследовании способов решения задачи, мы увидели, что площадь трапеции может быть найдена:

1. С помощью  площади прямоугольника;
2. Через площадь треугольника (наиболее часто);
3. С помощью площади параллелограмма;
4. Через среднюю линию трапеции;
5. Через диагонали трапеции и угол между ними.

Таким образом, существует много способов нахождения площади трапеции. При решении задач используется тот метод, который у

  3.10    Исследование 10

«Анализ тестов ОГЭ по математике»: частота появления тестов с задачами на нахождение площади трапеции»

Цель: определить, как часто встречаются задачи на нахождение площади трапеции в тестах ОГЭ по математике

Ход исследования:

1. Рассмотреть учебные пособия по подготовке к ОГЭ по математике с 2011г по 2016г.
2. Подсчитать количество тестов по годам
3. Подсчитать, количество тестов, где встречаются  задания на нахождение площади трапеции.
4. Найти частоту появления данных задач по годам.
5. Сделать вывод.

Вывод: начиная с 2012 года, частота появления задач на нахождение площади трапеции в тестах ОГЭ по математике возрастает, что является доказательством актуальности и практической значимости  рассматриваемой темы лично для меня и учащихся 9 класса при сдаче экзамена.

4.        Заключение

При выполнении исследовательской работы я использовала знания, которые имеются у меня, а так же дополнительную литературу.

В процессе выполненной  работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.

 С помощью математических исследований мы пришли к выводу: что  существует много способов нахождения площади трапеции. При решении задач используется тот метод, который удобен и соответствует условию задачи.

В своей исследовательской работе я также показала практическую значимость данной темы, проанализировав пособия для подготовки к ОГЭ по математике. Создала буклет «Трапеция в нашей жизни», в которой показала, что трапецию можно встретить как в повседневной жизни - быту, так и в природе, архитектуре.

Результат проведенного опроса в нашей школе показал, что данная тема актуальна для повторения в 10-11 классах на уроках геометрии.

Кроме того, работая над проектом, я закрепила  умения и навыки  работы в текстовом редакторе WORD, Power Point, Microsoft  Excel (для составления диаграммы в ходе исследований), Microsoft  Publisher (при создании буклета)

Таким образом, цели и задачи данной работы  выполнены.

Список литературы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki 
2. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 587.
3.     А.В. Погорелов,  Геометрия, 7-9 класс. – М.: Просвещение, 2006.
4.     Л.С. Атанасян, Учебник “Геометрия 7–9” ,М.: Просвещение, 2000г
5.  Сборник для подготовки ОГЭ-2016 И.В. Ященко, С.А. Шекстаков, А.В. Семенов
6. Сайт: http://www.fipi.ru 
7. Сайт: www.alexlarin.net 
8. Сборник тестов для подготовки ГИА- 2013, 9 класс, Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова
9. Сборник тематических тестовых заданий ГИА 2012 г, 9 класс, Л.Д.Лаппо, М.А. Попов.
10. Сборник тестов для подготовки ГИА- 2011, 9 класс, Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова
11. Сборник для подготовки ОГЭ-2015 И.В. Ященко, С.А. Шекстаков, А.В. Семенов
12. Сборник тестов для подготовки ГИА- 2015, 9 класс, Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова
13. http://www.tutoronline.ru/blog/kak-najti-ploshhad-trapecii-formuly-i-primery
14. http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-trapecii/ 
15. А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов, Геометрия 6-8 классов, М.: Просвещение, 1979г

Приложение 1

Создание буклета

1. Подборка интересного материала о трапеции: в архитектуре, быту, природе.

2. Оформление в программе  Microsoft  Publisher.

Приложение 2.

Опрос учащихся школы

«Что знают учащиеся школы о трапеции, о нахождении ее площади»

1. Опрос проведен для учащихся 8,10,11 класса.
2. Количество участников - 5
3. Отношение к опросу – положительное.
4. Вопросы:

1. Что Вы знаете о трапеции
2. Знаете ли Вы как найти площадь трапеции.

5. Вывод по опросу

Вывод

По результатам опроса можно сделать вывод, что учащиеся 8 класса знают на момент исследования только определение трапеции, учащиеся 10-11 классов называют определение трапеции, не все учащиеся могут правильно назвать формулу для нахождения площади трапеции.