Извлечение квадратных корней без калькулятора

Городская научно-практическая конференция школьников

                                «Интеллектуал»

                                                      Секция  МАТЕМАТИКИ

 «Извлечение квадратных корней без калькулятора»

                                           Автор работы:           

                                                 Каширина Елизавета Сергеевна

                                                                           8 Б класс

                                                               МАОУ «СОШ № 93»

Руководитель: 

 Мартынюк Татьяна Владимировна,

учитель математики МАОУ «СОШ № 93»

                                        г. Кемерово

                                         2018 г.

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………………… 2

Глава 1. Способ разложения на простые множители …………………………….….4

Глава 2. Способ  использования таблицы  квадратов двузначных чисел ……... ….5

Глава 3. Формула Древнего Вавилона ……………………………………………… ..6

Глава 4.  Через решение уравнения …………………………………………………...7

Глава 5. Деление на пары через составление ребуса …………………….…………...8

Глава 6.  Геометрический метод ……………………………………………….…….12

Глава 7. Графический метод ………………………………………….………..……..13

Глава 8. Канадский метод ………………………………………………..…..………14

Глава 9.Метод вычетов нечетного числа ……………………………………...……14

Глава 10.Другие методы ...............................................................................................15

Заключение …………………………………………………………………………….16

Список литературы ……………………………………….…………….…..…………17

Приложение 1…………………………………………………………………………..18

                                 Введение   

          При изучении темы квадратных корней на уроках алгебры часто приходилось использовать таблицу квадратов и калькулятор. Извлекать квадратные корни приходилось и на уроках геометрии при изучении теоремы Пифагора, и при решении текстовых задач, в которых нужно было найти корни квадратного уравнения с  большим дискриминантом. Но не всегда под рукой был калькулятор и таблица квадратов. Уже тогда возникал вопрос, как же быть в тех случаях, когда на экзаменах ГИА и ЕГЭ использовать калькулятор запрещено. Кроме того таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как,  например, чему равен  ,  ,    и др. даже приблизительно.

          Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятора нет под рукой, прибегают к методу подбора и пытаются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации?

            Как-то на уроке при изучении темы квадратных корней учительница математики  показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм плохо запомнился, остались вопросы. Я решила разобраться в этом приеме извлечения квадратного корня, стала работать над этим вопросом. Также я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной»  техники, что существуют и другие способы извлечения квадратного корня.  Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.

              Актуальность исследования  обусловлена желанием углублить математические знания путем изучения простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора,  распространить алгоритмы извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользоваться калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями  корней на уроках математики в ситуациях отсутствия калькулятора.

         Цель работы: изучить  способы  извлечения  квадратных корней без калькулятора  и отобрать самые  рациональные для практического применения.           

        Задачи:

1. Изучить всю найденную литературу по данному вопросу, научные статьи,  исторические справки и работы современных учёных и исследователей.
2. Рассмотреть найденные способы и описать их алгоритм.
3. Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и                    друзей.

   Гипотеза:  Существует не менее двух-трёх способов    извлечения квадратных корней без калькулятора.

   Предмет исследования: извлечение квадратных корней без калькулятора.

   Объект исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.

 Глава 1.  Способ разложения на простые множители

         Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

       Этим способ принято использовать при решении заданий, связанных  с извлечением квадратных корней, в школе.  

              Пример 1:              

   11025│5        

     2205│5          

       441│3          

       147│3          

         49│7                        

           7│7

  =  = 3∙5∙7 = 105      

           Пример 2:                                                                                            

 213444│2        

 106722│2          

   53361│3          

   17787│3          

     5929│11            

       539│11

         49│7            

           7│7              

   =  = 2∙3∙7∙11 = 462;  

           Многие применяют его успешно и считают единственным.  Извлечение корня разложением на множители  довольно трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 820836. Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙3∙3∙22801. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня.  Методом проб и ошибок, подбором  разложение, конечно, можно выполнить, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще бывает так, что корень до конца не извлечь.

          Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения квадратного корня без калькулятора.

Глава 2.  Способ с применением таблицы квадратов

                                  двузначных чисел

        С этим способом мы познакомились на уроках математики. Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел  от 1 до 100  с точностью до десятых без калькулятора. Но для этого метода требуется  наличие таблицы квадратов натуральных чисел от 10 до 99. (Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ГИА предлагается в качестве справочного материала).

        Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но при использовании таблицы квадратов для извлечения квадратного корня нужно не перепутать, что крайний левый столбик определяет цифру, стоящую в разряде целых, а самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее 100 подкоренное  число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

             Пример 1:        Найдём значение .

             Решение:   Мысленно отбрасываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим 57 или близкие к 57-ти  – такое число одно 5776. Левый столбик даёт ответ  7 (это целые), а верхняя строчка 6 (это десятые).  Значит  ≈ 7,6. Проверим на микрокалькуляторе    ≈ 7,549834.

             Пример 2:        Найдём значение .

             Решение:  Мысленно поставим запятые, отсчитав две последние цифры, у всех чисел в таблице и находим близкие для 89 – таких только два 88,36 и 90,25. Но 90,25 – это много, 88,36 ближе к 89. Значит, выбираем  8836.

Левый столбик даёт ответ  9 (это целые), а верхняя строчка 4 (это десятые).  Значит  ≈ 9,4. Проверим на микрокалькуляторе   ≈ 9,43398113.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 мы уже этим способом извлечь не сможем. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

                        Глава 3.  Формула Древнего Вавилона 

          Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа n.

       Число n  они представляли в виде суммы  а2 + b, где а2 ближайший к числу n точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой:  

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа  40:  

                      Глава 4.   Через решение уравнения

          На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня «вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. Звучит невероятно, но попробуйте испытать этот способ при вычислении квадратного корня.

        Суть этого способа рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение   .

       Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 16 = 4²  и 25 = 5²,

поэтому    <   <    и  <   < .

      Пусть  х – это та разница, на которую отличны друг от друга    и  ,

 следовательно    = 4 +  х.

       Возведем в квадрат обе части полученного уравнения  и раскроем скобки при помощи формулы суммы квадрата:

               (  ) ² = (4 +  х)²  ;       20 = (4 + х)² ;             20 = 16 + 8х + х².

          Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а  х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

            В результате приходим к простому линейному уравнению

                        20 = 16 + 8х.

           Решив его, получаем значение  х =  0,5. 

 Значит    ≈ 4 + 0,5 ≈ 4,5 .

        На самом деле, при расчете на калькуляторе, значение этого корня равно 4,47213595, то есть погрешность при нашем расчете составила 0,02786405. Не правда ли, вполне приличная точность!

         Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня.  Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен, а погрешность вычисления зависит исключительно от вашего терпения и упорства.

Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.

  Глава 5.     Извлечение квадратного корня в столбик          

          (деление на пары через  составление  ребуса)

 Пример 1:      Найдём значение   .

   1. Разбиваем число    на пары справа налево:

                                                                5`54`13`16

   2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это 5 (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число 2. Записываем 2  в ответ — это старшая цифра корня.Так мы получаем первую цифру числа, которое является значением квадратного корня.

    3. Возводим число, которое стоит уже в ответе ( это 2 ) в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр, т. е. из числа 5.

    4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5 4 = 1).

                                                      4

                                                      1

    5.Сносим следующие две цифры, т.е. приписываем справа следующую группу из двух цифр (54), получили число 154:

                                                       4

                                                       154

   6. Удваиваем первую, найденную нами цифру (т. е. 2), записываем слева от                  

         4    (2∙2 = 4):

                                            4         4

                                                       154

    7. Далее необходимо найти вторую цифру.   Нам нужно к числу 4 справа приписать одну цифру  (обозначим a), и число 4a умножить на a ( удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа), то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к 154, но опять-таки не больше этого числа.

                                           4a         4

                                             a         154    

 В нашем случае это будет цифра  3 (так как    43∙ 3 = 129)., ее записываем в ответ после 2. Это следующая цифра в десятичной записи нашего числа, которое является значением квадратного корня.

Число 129 подписываем под числом 154:

                                         43          4

                                           3          154

                                        129         129     

8. Находим разность (154 – 129 = 25).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2513):

                                         43          4

                                           3          154

                                        129         129

                                                          2513

10. Удваиваем число 23, получаем 46, записываем слева от 129:

                                 43               4

                                   3                154

                               129      46      129

                                                        2513

 11. Теперь необходимо найти третью цифру:  46 десятков в числе, при умножении которого на число единиц(обозначено буквой a), мы должны получить число меньшее 2513

                                 43               4

                                   3                154

                               129      46a     129

                                               a       2513

          (это цифра 5, так как  465∙5=2325).

 5  третья цифра числа, которое является значением квадратного корня. Далее процесс повторяется.   12.Число 2325 подписываем под числом 2513:

                                 43               4

                                   3                154

                               129      465     129

                                               5       2513

                                         2325       2325

  13.Находим разность (2513 – 2325 = 188).

  14. Сносим следующую группу (получаем число 18816):

                                 43               4

                                   3                154

                               129      465     129

                                               5       2513

                                         2325       2325

                                                          18816

  15. Удваиваем число 235, получаем 470, записываем слева от 2325:

                     43                           4

                       3                           154

                   129        465             129

                                     5               2513

                               2325    470     2325

                                                          18816

 16. Теперь необходимо найти четвёртую цифру:  470 десятков в числе, при умножении которого на число единиц(обозначено буквой a), мы должны получить число меньшее 18816 (или равное ему в случае, если    –целое число, так как мы снесли последнюю группу чисел):

                     43                           4

                       3                           154

                   129        465             129

                                     5               2513

                               2325    470a    2325

                                                  a       18816

          (это цифра 4, так как  4704∙4 = 18816).

 4  четвёртая цифра числа, которое является значением квадратного корня.   17.Число 18816 подписываем под числом 18816 и вычитаем:

                     43                           4

                       3                           154

                   129        465             129

                                     5               2513

                               2325    4704    2325

                                                 4       18816

                                         18816       18816

      Этим же способом можно извлечь квадратный корень   и из десятичной дроби. В случае  десятичной дроби   разбиваем его цифры на пары следующим образом: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Далее применяем этот же алгоритм, поставив в соответствующем месте запятую.

              Способ почти универсальный, так  как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков  столбиком. Он трудоёмкий, но очень точный.  

                           Глава 6.  Геометрический метод

 (с использованием циркуля и измерительной линейки с прямым углом или угольника)

            Прежде всего стоит заметить, что использование этого метода обещает значительные погрешности, которые могут зависеть и от чистоты построения чертежей, и от точности измерительных инструментов.

Этот метод предполагает знание двух теорем геометрии :

а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла  ( h =)

б) Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности ∠АВС= 90º                                               

А подробнее это можно описать так:  Положите перед собой чистый лист, циркуль и карандаш с линейкой. Попробуем геометрическим способом извлечь квадратный корень числа 7.  Работаем в сантиметрах.

Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см)

        Найдём середину АС – точку  О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС и отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см , построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС.

Измерим длину полученного отрезка ВН.  Получили 2 см и 6 мм.

Этот результат и будет примерно равен .  

         Вывод: геометрическим способом нашли результат   ≈ 2,6

Минусы этого способа сразу понятны: неточность в измерениях и построении, однако его можно применять в ситуациях недоступности калькулятора и отсутствия клеточной бумаги, что тоже иногда может спасти ситуацию.

                          Глава 7.  Графический метод.

            Графический метод извлечения квадратных корней наш учитель математики предлагает использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х²,  полученном из = х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник: Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b   и  у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b.

             Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:

   1)предварительная подготовка –  построение графика параболы;

   2) ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток;

    3) неточность в построении кривых линий  и получение больших погрешностей, в отличие от других методов.

                             Глава 8.  Канадский метод

       Этот быстрый метод был открыт  молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке.  Его точность : не более двух – трёх  знаков после запятой. Вот их формула:

 =   + ,  где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S  - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь  квадратный корень из 75  

X = 75, S = 81. Это означает, что    = 9.

        Просчитаем по этой формуле   :    

            = 9 +   = 9 –    = 9  –  0,333 = 8,667

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить  за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности.  Метод несложный и удобный.

          Глава 9. Метод вычетов нечётного числа

           Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1,3,5,7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ.
          Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

                 36  –  1 = 35 –  3 = 32  – 5 = 27  – 7 = 20  –  9 = 11  –  11 = 0  

Общее количество вычитаний = 6,  поэтому      = 6.

         121  –  1 = 120 –   3 = 117  – 5 = 112  –  7 = 105  –  9 = 96 –  11 = 85 – 13 =

                      =72   – 15   = 57 – 17 = 40 –  19 = 21   – 21 = 0

 Общее количество вычитаний = 11,  поэтому      = 11.

             Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза  «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее.    В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.      Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень  длинный в решении.

                                       Глава 10.   Другие методы

          В ходе моего исследования  я отыскала ещё несколько способов решения моей проблемы. Это метод степенных рядов высших степеней и метод определения путём составления таблицы. Изучив эти алгоритмы, я оценила их сложность и в некоторых местах непонимание, поэтому не стала глубоко изучать эти методы, понимая, что это уровень высшей математики или даже научной диссертации.

        Если метод степенных рядов сложен в вычислении и запоминании огромной формулы, то метод таблицы так запутан, что его сложно даже пересказать, а тем более овладеть для практики.

                                        Заключение

          Во время работы я нашла не один, а нескольких способов извлечения квадратных корней. В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много таких способов, начиная со способа математиков  Древнего Вавилона и заканчивая способом  степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Мною были изучены, описаны и отработаны на практике 9 способов. Работа по данной теме меня так увлекла, что я решила продолжить свои исследования уже за рамками своего проекта. В учебнике алгебры автор знакомит восьмиклассников с корнями третьей степени и других степеней, предлагая подождать с их изучением до 11 класса.  Но мне стало очень интересно узнать и про эту новую для меня тему в математике. И в продолжение моего исследования я хочу разобрать те способы, которые пока мне сложно разобрать, и выяснить, существуют ли  способы извлечения корня третьей степени без калькулятора.

            Таким образом, хочу подвести итог проделанной работы и сделать вывод. На основании результатов данного исследования доказано, что науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора. У всех способов различные алгоритмы и степень сложности вычислений, но не один из них не входит в школьный курс, так как относится к разделу высшей или прикладной математики. В ходе исследования были  отработаны 9 способов, а их практическое применение доказало все недостатки и преимущества  каждого из методов.

       В ходе работы было доказано на практике, что умение извлекать корни без калькулятора не только полезно и актуально, но и очень увлекательно.

 Список использованной литературы и сайты Интернета:

1. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник - Москва, Мнемозина, 2005г
2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.
3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – Москва, Просвещение, 1994г.
4. http://festival.1september.ru
5. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

          Приложение 1

         Этот способ нахождения хорошо известен как российским учёным, так и зарубежной общественности. Убедиться в этом легко, зайдя на любой научный или образовательный форум. Ссылки на этот способ почти во всех комментариях студентов и школьников. О нём пишут учёные и исследователи СНГ, Канады, Великобритании и Америки. Я разобрала несколько десятков примеров по этому способу, поэтому недостатка материала  в изучении не испытывала. Предлагаю несколько  примеров: