Научно - практическая работа" Первые шаги в науку": «Рисуем графиками линейных функций»

Опубликовано Столярчук Лилия Геннадьевна вкл 31.10.2018 - 18:23
Столярчук Лилия Геннадьевна
Автор: 
Несмина Анастасия Леонидовна

Цель работы: научиться создавать простые рисунки и сюжеты с помощью графиков линейных функций с заданными ограничениями в сервисе DESMOS-графический калькулятор.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл 67_nesmina_a.l_matematika.docx111.27 КБ

Предварительный просмотр:

ХIV городская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»

Возрастная категория: «Юниор»

Секция: математика

Название работы:

«Рисуем графиками линейных функций»

Автор работы:

Несмина Анастасия Леонидовна

г.о. Тольятти, МБУ «Лицей № 67», 7 класс

Научный руководитель:

Столярчук Лилия Геннадьевна,

учитель математики первой категории, МБУ «Лицей № 67»

г. Тольятти

2018

                                                                                                           

                                                                                                                                                  Содержание    

                                                                                           

  1. Введение……………………………………………………....3
  2. Основное содержание……………………………………….5

2.1. Элементарные функции и их графики………………5

2.2. Линейная функция и ее график………………………6

2.3. Рисование графиками линейных функций………….7

  1. Практическая часть………………………………………..11
  2. Выводы………………………………………………………13
  3. Список используемых источников и литературы……..14
  4. Приложение …………………………………………………15

                                                                                                                                               

                                         

                             

Введение

        Каждый год  счастливые родители ведут своих детей в школу. И далее дорога для большего числа учащихся  составляет 11 лет упорного труда в получении знаний. Математика сопровождает нас  на всем пути, но, к сожалению,  не у всех ребят есть прирожденная склонность к ней. Возникает необходимость для поиска методов воздействия на учащихся, которые могли бы повысить стимул  приобретения  и расширения знаний. Как заставить ученика работать с удовольствием, а не из-под палки? Как сделать так, чтобы он захотел чему то научиться? Математика – одна  из важнейших наук на земле и именно поэтому есть необходимость развивать у детей интерес к этой науке. А это означает, что задания в математике должны быть такими, чтобы постоянно была пища для размышлений и, даже, для творческого полета.

Тема исследовательской работы: «Рисуем графиками линейных функций».

Гипотеза: «графиками линейных функций можно рисовать отдельные объекты и даже целые сюжеты».

Цель: научиться создавать простые рисунки и сюжеты с помощью графиков линейных функций с заданными ограничениями в сервисе DESMOS-графический калькулятор.

Объект исследования:  линейная функция и ее график.

Предмет исследования: рисование графиками линейной функции.

Задачи:

1. Изучить разнообразную литературу по теме: «Линейная функция и ее график»

2. Создать авторские рисунки графиками линейных функций в сервисе DESMOS-графический калькулятор;

3. Предложить одноклассникам построить рисунки по заданным функциям с ограничениями;

4. Предложить одноклассникам создать авторские рисунки графиками линейных функций в сервисе DESMOS-графический калькулятор;

6. Выполнить оценку результатов своей работы и сделать выводы.

Методы исследования:

  • поиск, анализ и синтез литературы и программного обеспечения;
  • практическое применение знаний, умений и навыков;
  • обобщение;

Актуальность проблемы

        Понятие «функция» одно из  важнейших в математике. С помощью функции описываются различные процессы и явления: химические, статистические, физические, природные и т.д.

        Актуальность работы заключается в том, что при выполнении творческих заданий на создание изображений графиками линейных функций, развиваются художественные способности учащихся, которые лежат в основе различных профессий: дизайнер, архитектор, скульптор и т.д., кроме того, повышается интерес к изучению темы: «Линейная функция и ее график». Красота и эстетика математики в школе  в особой мере проявляется именно в «красивых» и творческих заданиях.

Практическая значимость.

        Рисование  графиками линейных функций заставляет воочию увидеть неразрывную связь красоты и математики, непосредственно соприкоснуться с миром  прекрасного. Вместо однообразных упражнений  по изучаемой теме можно предложить ребятам творческий подход и тогда математика становится интересной, удивительной  и красивой.

   Относительная «новизна» заданий, неожиданная фабула интригует, а положительные эмоции включают второе дыхание в получении знаний.  Такие нестандартные упражнения послужат достаточно хорошей школой для приобретения необходимых основ мышления, владея которыми можно решать любые задачи. Кроме того, чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций в школе, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций.

 

2. Основное содержание.

2.1 Элементарные функции и их графики

Знакомство и изучение свойств  различных функций и их графиков занимает важное место и в школьной математике, и в следующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве предметов узкого профиля. Например  в экономике – это функции  издержек, полезности, функции спроса, предложения и потребления,  в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения и т.д.

Определение: зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией. у = f(х), где х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная (функция).

Область определения функции D(f)- множество, на котором задаётся функция. Иначе: множество значений, которые может принимать аргумент.

Область значений функции E(f)- множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

График функции – множество точек на координатной плоскости, координатами которых являются пары чисел (х; у), где х – значение аргумента, у – соответствующее ему значение функции.

1. Линейная функция y = kx + m

График функции – прямая.

2. Функция y = kx² (k ≠ 0)

График функции – парабола.

3. Квадратичная функция y = ax² + bx + c

График функции – парабола

4. Функция обратной пропорциональности y =

График функции – гипербола.

5. Функция y = 

График функции – ветвь параболы, перевернутая «набок».

6. Функция y = 

График функции – объединение двух лучей

3. y = xⁿ (n = 3, 5, 7, 9…)

График функции – кубическая парабола (при n=3)

2.2. Линейная функция и ее график.

Линейная функция y = kx + m, график функции – прямая.

Коэффициент k отвечает за угол наклона (k>0 – угол острый, k<0 – угол тупой, k=0 – горизонтальная прямая), m – за сдвиг графика вверх-вниз (m>0 – вверх, m<0 – вниз).

у = kx – частный случай линейной функции при m=0 (прямая пропорциональность)

В этом случае график функции обязательно проходит через начало координат.

Свойства линейной функции y = kx + m

1) D(f) = (-∞; +∞)

2) Возрастает, если k > 0; убывает, если k < 0

3) Не ограничена ни снизу, ни сверху

4) Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений

5) E(f) = (-∞; +∞)

Чтобы составить уравнение линейной функции надо:

  1. взять координаты двух точек, через которые проходит прямая  (x1,y1) (x2,y2);
  2. подставить эти координаты в уравнение линейной функции и получить систему двух уравнений:
  3. выразить из первого уравнения m = у1- k х1;
  4. подставить во второе у2= k х2 + у1 - k х1;
  5. найти значение k = ;
  6. подставить значение k в формулу m = у1- k х1.

Например, мы выяснили, что график линейной функции (прямая) проходит через точки с координатами (5;2) и (4:1). Действуем по плану: составим систему уравнений  

Из первого уравнения выразим m: m=2-5k, подставим значение m во второе уравнение и найдем k: 1=4k+2-5k, k=1. Далее в уравнение линейной функции подставляем значения коэффициентов k  и m и получаем искомое уравнение прямой: у=х-3.

2.3. Рисование графиками линейных функций на уроке математики

Авторские рисунки и сюжеты:

1. «Белеет парус одинокий…»

https://www.desmos.com/calculator/gwla5xgddr

Приложение, рис №1

  • 3х+2у=-34,
  • у=1,
  • 3х-2у=-8,
  • х=-10,
  • 6х+5у=-10,
  • у=4,
  • у=10,
  • 3х+2у=-4,
  • 9х-4у=-142,
  • у=15,
  • х=5,
  • 2х-2у=-20,
  • 2х+2у=40..

2. «Розовый слоник».

https://www.desmos.com/calculator/mknrnjdtcl

Приложение, рис №2

  • х+у=9,
  • у=7,
  • х+у=5,
  • х-у=-17,
  • х=-10,
  • х-у=-11.
  • х=-12,
  • у=-3,
  • х=-10,
  • у-х=9,
  • х=-8,
  • у=3,
  • х=-6,
  • у=-5,
  • х=-4,
  • х=-2,
  • у=-1,
  • х=2,
  • у=-5,
  • х=4,
  • х=6,
  • х=-2,
  • х-у=-7,
  • х+у=-1,
  • .

3. «Жук & лютики».

https://www.desmos.com/calculator/x46q7xqa8i

Приложение, рис №3

4. «Заяц-беляк».

https://www.desmos.com/calculator/5urvy5bvaj

Приложение, рис №4

5. «Пингвин».

https://www.desmos.com/calculator/dhafishzj0

Приложение, рис №5

  • x + y = 12{7 ≤ y ≤ 11}
  • x = 5{−2 ≤ y ≤ 7}
  • 3x − y = 17{−5 ≤ y ≤ −2}
  • y = −5{2 ≤ x ≤ 4}
  • x = 2{−6 ≤ y ≤ −5}
  • y = −6{0 ≤ x ≤ 2}
  • x − y = 6{0 ≤ x ≤ 1}
  • x − 3y = 16{−2 ≤ x ≤ 1}
  • x + y = −8{−6 ≤ y ≤ −5}
  • y = −5{−3 ≤ x ≤ −2}
  • 9x + y = −23{−5 ≤ y ≤ 4}
  • 3x − y = −13{4 ≤ y ≤ 7}
  • x + y = 5{−3 ≤ x ≤ −2}
  • y = 8{−5 ≤ x ≤ −3}
  • x − 2y = −21{8 ≤ y ≤ 9}
  • x = −3{9 ≤ y ≤ 10}
  • y − x = 13{−3 ≤ x ≤ −2}
  • y = 11{−2 ≤ x ≤ 1}
  • (−1,10 )
  • 3x − y = 0{3 ≤ y ≤ 6}
  • x = 1{0 ≤ y ≤ 3}
  • 5x + 3y = 5{−5 ≤ y ≤ 0}

6. «Снеговик у елки».

https://www.desmos.com/calculator/myjea0izr8

Приложение, рис №6

  • y = 9{−6 ≤ x ≤ −4}
  • y = 11{−5.5 ≤ x ≤ −4.5}
  • 4x + y = −7{9 ≤ y ≤ 11}
  • 4x − y = −33{9 ≤ y ≤ 11}
  • (−4.5,8)
  • (−5.5,8)
  • x + 2y = 10{−4 ≤ x ≤ −2}
  • x − 2y = −20{−8 ≤ x ≤ −6}
  • 3y − 11x = 17{2 ≤ y ≤ 13}
  • 11x + 3y = 61{2 ≤ y ≤ 13}
  • y = 2{−1 ≤ x ≤ 5}
  • x = 1{0 ≤ y ≤ 2}
  • x = 3{0 ≤ y ≤ 2}

7. «Клубничка».

https://www.desmos.com/calculator/e0qsfgex5l

Приложение, рис №7

  • 2x − 3y = −2{−4 ≤ x ≤ 2}
  • x + 2y = −8{−6 ≤ x ≤ −4}
  • 2x + y = −13{−1 ≤ y ≤ 1}
  • 2x − y = −15{−7 ≤ x ≤ −4}
  • y = 7{−4 ≤ x ≤ −1}
  • x = 2{2 ≤ y ≤ 4}
  • x + y = 6{−1 ≤ x ≤ 2}
  • 3x + y = 4{7 ≤ y ≤ 10}
  • 2x − y = −14{10 ≤ y ≤ 12}
  • x + y = 11{−1 ≤ x ≤ 1}
  • 4x − y = −6{0 ≤ x ≤ 1}
  • x − y = −6{0 ≤ x ≤ 3}
  • x + 3y = 18{ 5 ≤ y ≤ 6}
  • x + 3y = 30{ 3 ≤ x ≤ 6}
  • x y 2{3 ≤ x ≤ 6}
  • x − y = −2{3 ≤ x ≤ 6}
  • (−5,1)
  • (−4,3)
  • (−2,1)
  • (−2,3)
  • (−1,5)
  • 6x − 5y = −30{0 ≤ x ≤ 5}

Практическая часть 

Учащимся 7 класса было предложено  выполнить следующие  задания:

  1. по заданным линейным функциям построить рисунок в декартовой системе координат:
  • y = −2x + 6{2 ≤ y ≤ 6}
  • y = 2{2 ≤ x ≤ 5}
  • 3y = 2x − 4{ 2 ≤ x ≤ 5}
  • y = −2x + 4{−4 ≤ y ≤ 0}
  • 2y = −x − 4{0 ≤ x ≤ 4}
  • 2y = x − 4{−4 ≤ x ≤ 0}
  • y = 2x + 4{−4 ≤ y ≤ 0}
  • 3y = −2x − 4{−5 ≤ x ≤ −2}
  • y = 2{−5 ≤ x ≤ −2}
  • y = 2x + 6{2 ≤ y ≤ 6}

Ответ: Звезда

  1. для готового рисунка, выполненного графиками линейных функций с ограничениями, написать формулы функций:

C:\Users\Admin\Downloads\desmos-graph (7).png

Ответ: Функции:

  • x = 1{−2 ≤ y ≤ 3}
  • y = 3{1 ≤ x ≤ 5}
  • x = 5{−2 ≤ y ≤ 3}
  • y = −2{1 ≤ x ≤ 5}
  • y = x + 2{3 ≤ y ≤ 5}
  • y = −x + 8{3 ≤ x ≤ 5}

  1. придумать свой авторский сюжет с помощью графиков линейных функций.

Объект исследования: 7 «Б» класс

Время исследования: декабрь

Этапы исследования:

  1. Изучение литературы
  2. Ознакомление ребят с сервисом DESMOS-графический калькулятор
  3. Выполнение заданий
  4. Анализ результатов исследования

Обработка и анализ результатов показали:

По итогам выполнения задания №1 выяснилось, что 100% учеников (28 человек смогли построить рисунок в декартовой системе координат по заданным  функциям.

Безошибочное аналитическое описание изображения в задании №2 получилось у 93% ребят (26 человек).

И, наконец, с заданием №3 справилось 100% учащихся (28 человек), причем выполнялось  это задание  с большим удовольствием.

Выводы

Подводя итоги, можно утверждать, что если к чему то относиться творчески, с интересом и любопытством, то даже такая сложная наука, как математика становиться более доступной и увлекательной.

  В данной работе удалось:

  • изучить элементарные функции и их графики;
  • создать авторские рисунки и сюжеты графиками линейных функций с ограничениями;
  • систематизировать знания, умения и навыки по построению графиков линейных функций.

Гипотеза о том, что графиками линейных функций можно рисовать отдельные объекты и даже целые сюжеты,  подтвердилась.

Список используемых источников

  1. Журнал Математика в школе №10 от 2001 г.
  2. Учебник Алгебра 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир 
  3.  Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика. – 1999. – № 7, № 22, № 23, № 24, № 25.
  4.  Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика в школе. – 1999. – № 4. – С. 80
  5. https://www.desmos.com/
  6. http://mathematichka.ru/school/functions/linear.html


Разлука

Как нарисовать ветку ели?

Твёрдое - мягкое

Рисуем кактусы акварелью

Красочные картины Джастина Геффри