ПРОЕКТ на тему: «Решение некоторых задач на комбинации фигур в пространстве»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №26 города Сызрани городского округа Сызрань Самарской области

ПРОЕКТ

на тему: «Решение некоторых  задач  на комбинации фигур в пространстве»

Сызрань, 2018 год

                                               Введение.

Определение проблемы: необходимость разобрать  решения  задач на комбинацию фигур в пространстве, на вычисление их объемов и площадей.

Задачи исследования: изучение методов решения некоторых, наиболее часто встречающихся, видов  математических задач из I части тестов ЕГЭ профильного уровня; рассмотрение структуры процесса решения задач; развитие умений самостоятельно конструировать свои знания; ориентироваться в информационном и социальном пространстве.

Гипотеза: применение разнообразных форм работы, развитие умения составлять формулы зависимостей между математическими величинами и фигурами на основе обобщения частных случаев.

Обсуждение методов исследования.

- Метод конкретных ситуаций (совместное обсуждение методов решения задачи под руководством преподавателя, следование принципу «процесс обсуждения важнее самого решения», самостоятельное изучение и подготовленное в письменном виде решение задач)

Результаты исследования.

- Сбор, систематизация полученной информации в виде решенных задач, корректировка

Анализ полученных данных.

- Оформление результатов исследовательской работы в электронном виде

Вывод:

- При решении  задач на комбинацию стереометрических фигур важно выявить  зависимость между элементами фигур, правильно составить формулу зависимости между величинами;

- При решении геометрических задач внимательно анализировать условие задачи, находить взаимосвязь между элементами геометрических фигур, применять разные методы решения задач.

Практическая часть.

№1. Комбинация параллелепипеда и цилиндра. 

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

 По условию задачи цилиндр вписан в параллелепипед, следовательно, в основании параллелепипеда – квадрат. Радиус основания цилиндра 3 см, тогда сторона квадрата равна 2R = 2 = 6 см.

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V = a,

V = 6  = 108 см3.

Ответ: 108 см3.                                                                        

№2. Комбинация призмы и цилиндра.

В основании прямой призмы лежит квадрат, сторона которого 6 см. Боковые ребра призмы равны  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

Проведем в основании квадрата диаметр АB.

По теореме Пифагора: AB2  =  62 + 62 = 72см.

 Отсюда следует, что AB =  6см.

   R= AB  

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = π∙R2 ∙h,

V = π ∙ 18 ∙  36 см3.

Ответ: 36 см3.

№3. Комбинация призмы и цилиндра.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Боковые ребра равны см.  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

      Обозначим диаметр основания цилиндра АB.

По теореме Пифагора: AB2  =  576 + 100 = 646см.

 Отсюда следует, что AB =  26см.

   R=  AB  

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = π∙R2 ∙h,

V = π ∙ 646 ∙   = 3230 см3.

Ответ: 3230 см3.

№4. Комбинация конуса и цилиндра.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.

Объём конуса равен 85 см3. Найдите объём цилиндра.

Решение.

     Объем конуса равен произведению  площади основания на высоту. Отсюда следует, что объем цилиндра в 3 раза больше, чем объем конуса.

V = 85 ∙ 3 = 255 см3.

Ответ: 255 см3.

№5.  Комбинация конуса и цилиндра.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 234 см3.

Решение.

Объем конуса равен произведению  площади основания на высоту. Отсюда следует, что объем цилиндра в 3 раза больше, чем объем конуса.

V =    234 = 78 см3.

Ответ: 78 см3.

№6.  Комбинация шара и цилиндра.

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 54 см2. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Площадь полной поверхности цилиндра равна: S = 2∙ π∙ R2 + 2∙ π∙h∙R = 54см2.

Высота равна 2R. Отсюда следует:

2∙ π∙ R2 + 4∙ π∙R2=54

6∙ π∙ R2=54

π∙ R2 = 9.  

Отсюда следует: Sш = 4∙9 = 36см2.

Ответ: 36см2.

№7.  Комбинация шара и куба.

В куб вписан шар радиуса 6 см. Найдите объем куба.

    Решение.

 Объем куба равен произведению площади основания на высоту. Сторона куба равна: a = 6∙2 = 12см.

Отсюда следует: V = 12∙12∙12 = 1728см3.

Ответ: 1728см3.

№8.  Комбинация сферы и куба.

Объём куба, описанного около сферы, равен 343 см3. Найдите радиус сферы.

Решение.

Vк = a3. Отсюда следует, что сторона равна  = 7 см.

Тогда радиус сферы равен половине стороны: R =  ∙ 7 = 3,5см.

Ответ: 3,5см.

№9.  Комбинация конуса и пирамиды. 

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9. Найдите его объем, деленный на 

Решение.

Объем конуса равен произведению  площади основания на высоту.

По теореме Пифагора:

AC =  = 4 см.

Отсюда следует: R = 2см.

Тогда V =  ∙ π ∙ 8 ∙ 9 = 24см3.

Ответ: 24см3.

№10.  Комбинация конуса и пирамиды. 

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.

Сторона AB = 2r.

По теореме Пифагора: AC =  = 2r.

Отсюда следует, что R = r.

 =  =

Так как высота общая, то отсюда следует, что  =2

Ответ: 2.

№11.  Комбинация куба и сферы. 

Вершина A куба  с ребром 2,4 см является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину 

   Решение.

Радиус сферы R равен стороне АА1 = 2,4.

Тогда площадь части сферы, содержащейся внутри, равна   сферы.

Отсюда следует:S =  S =  ∙ 4∙ π ∙ 5,76 = 2,88π.

Ответ: 2,88см2.

Литература.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др – Геометрия 10-11. Москва «Просвещение» 2015г.

ege.sdamgia.ru

ege.sdamgia.ru/prob_catalog