Теорема Вареньона

                       Министерство образования и науки Республики Бурятия

                                                         Тарбагатайский район

                Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

                                                         «Тарбагатайская СОШ»

                                                                                    Районная научная конференция школьников

                                                                                                                                          «Шаг в будущее»

                                                   Направление: математика

                                                   «Теорема Вариньона»

                                                                                                    Автор: Дорофеева Елизавета, 9 класс

                                                                                                                    МБОУ «Тарбагатайская СОШ»

                                                           МБУДО «ЦДОД «Радуга талантов» Тарбагатайского  района

                                                                                            Руководитель: Покацкая Анна Федоровна,

                                                                                                       Учитель математики, т. 89247558025

                                                                         2017

Оглавление:

Введение …………………………………………………………………………….………..1

1.Основные теоретические сведения……………………………………………………….2

1.1. Определение……………………………………………………………………….…….2

1.2. Теорема Вариньона……………………………………………..……………………….2

1.3. Следствия из теоремы Вариньона………………………………………………….…..3

1.3.1. Следствие 1…………………………………………………………………………….3

1.3.2. Следствие 2………………………………………………………………………….…4

1.3.3. Теорема Эйлера…………………………………………………………..……………7

1.3.4. Теорема о бабочках……………………………………………………………………8     

1.4.Практическая часть………………………………………………………………………………8

Заключение……………………………………………………………..…………………….9

Список использованной литературы…………………………………………..…………..10

Приложения……………………………………………………………….…………………11

Введение.

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у нас занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. Задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. В работе рассказывается о Пьере Вариньоне, его достижениях; рассмотрено доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показано, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировано применение теоремы. Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности. Пьер Вариньон первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Более подробному изучению этой теоремы, которая будет экономить моё время и время моих друзей, я и решила посвятить свою исследовательскую работу. Я захотела убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона»— надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.                                                                                        

Цель исследования: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.  

Задачи исследования:                                                                                           

1.Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.                         

2.Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач.          

3.Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.                                                                              

 4.Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.                                             

5.Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона.                                              

6.Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.                  

Методы исследования:  изучение литературы, сбор информации о параллелограмме Вариньона, выполнение чертежей к задачам, осмысление собранной информации.  Актуальность темы:                                                                                           

1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств.                                                                                        

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры.  

3. Данная работа может быть использована для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

4. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.                                                                  

Основные теоретические сведения.

1.1.Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии, в котором эта теорема впервые появилась.  [Приложение №1, стр. ]

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. [Приложение №2, стр. ]

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника. [Приложение №3, стр. ]

                                           Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник                                                                                                    

                                                   AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

                                             Доказать:1) KLMN – параллелограмм;

          2) SKLMN= SABCD/2

Доказательство:1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC .Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC/2 . таким образом, KLMN -параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD. Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм   Вариньона является ромбом. [Приложение №4, стр. ]

                                                 Дано: АBCD – четырехугольник;

                                             KLMN – параллелограмм Вариньона;

                                                               AC=BD

                                                   Доказать: KLMN – ромб

Доказательство: Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.                        

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом. [Приложение №5, стр. ]

                                              Дано: ABCD – четырехугольник;

                                            KLMN – параллелограмм Вариньона;

                                                 KM и LN перпендикулярны

                                                 Доказать:KLMN – ромб

Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. 

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником. [Приложение №6, стр. ]

                                                         Дано: четырехугольник   ABCD;

                                                      KLMN – параллелограмм Вариньона;

                                                     диагонали AC и BD – перпендикулярны

                                                        Доказать:KLMN – прямоугольник

Доказательство: Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

                                                 Дано: четырехугольник ABCD;

                                          KLMN – параллелограмм Вариньона;

                                                 бимедианы KM и LN – равны

                                               Доказать: KLMN – прямоугольник

Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны;  б) бимедианы равны и перпендикулярны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом. [Приложение №7, стр. ]

                                                       Дано: четырехугольник ABCD;

            KLMN – параллелограмм Вариньона;

            диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

                 Доказать: KLMN – квадрат

Доказательство: Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом. [Приложение №8, стр. ]

                                    Дано: четырехугольник ABCD;

                              KLMN – параллелограмм Вариньона;

                     бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

                                       Доказать: KLMN – квадрат

Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата). Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

1.3.2. Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. [Приложение №9, стр. ]

Доказательство: Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD. То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника). Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем: LQ║ CD║ PN и PL║ AB║ NQ. Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.3.3.Следствие 3.(теорема Эйлера).                                                               

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего     середины    

диагоналей  ,то есть .

Доказательство: Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.

Поэтому ;В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:  Кроме того, .Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD . Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера. [Приложение №10, стр. ]

1.3.4.Следствие 4.(Теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны. Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

Что и требовалось доказать. [Приложение №11, стр. ]

1.4.Практическая часть

С помощью бимедианы  четырехугольника и теоремы Вариньона можно быстро и успешно решать геометрические задачи .  В качестве примеров разберём несколько заданий   и решим двумя способами: задачи традиционным способом и с  помощью теоремы  Вариньона . [Приложение №12, стр. ]. Анализируя два способа решения каждой задачи, можно сделать вывод, что зная и применяя бимедианы  четырехугольника и теоремы Вариньона этот способ гораздо проще. Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается времени больше, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты.

Заключение.

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решения трех задач добавят дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Список источников и литературы:

1. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
2. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение.
3. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.
4. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
5. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука.
6. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение.
7. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.
8. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006.
9. ШтейнгаузГ. Математический калейдоскоп. – М.:наука.

Приложение №1                                 

 Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Приложение №2

Вариньон Пьер  (1654–1722)

французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.

Приложение №3

Приложение №4

Приложение №5

Приложение №6

Приложение №7

Приложение №8

Приложение №9

Приложение №10

Приложение №11

Приложение №12

Задача 11. 

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.

Доказательство

1-ыйспособ

1- AC – диагональ. KL - средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.

2- из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN. 

3- ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб. 

2-ой способ

А) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие1.1а) Б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие1.1.б)   ,

Задача 12. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

1-ыйспособ

1-подобно предыдущей задаче, нужно доказать, что KLMN – параллелограмм.

2- KL||AC||NM KL=NM=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD 

3- P(ABCD)=KL+NM+LM+KN= 0,5AC+0,5AC+0,5BD+0,5BD=BD+AC=a+b.

2-ойспособ

Периметр параллелограмма Вариньона равен  a+b.

Задача1 3.

Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 8). Докажите, что 

, где – угол между бимедианами четырехугольника;

 ,где – угол между диагональю AC и бимедианой LN.

1-ый способ:

1- то, что KLMN – параллелограмм мы уже доказали в предыдущих задачах.

2- средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

3- 

2-ойспособ


а) Так как KLMN- параллелограмм Вариньона, а KM и NL – бимедианы, то , где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2),  (см. теорему Вариньона).

2.2. Конкурсные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 1

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение.

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то 

Отсюда получаем ,что

что и требовалось доказать.

Задача 2

Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» .

Решение.

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.

Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Задача 3 Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий . 

Дано:

ABCD – четырехугольник;

AC = BD

Доказать: SABCD= KM*LN

Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.