Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом

Министерство образования и науки Республики Бурятия

XXII Городская научная конференция школьников «Шаг в будущее»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №54 г. Улан-Удэ»

Тема «Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом»

Направление: уравнение и неравенства

                                                       Выполнил: Эрдынеев Вдадимир Сергеевич, ученик 11«Б» класса

Научный руководитель: Домиева Наталья Федоровна, учитель математики СОШ №54 г. Улан-Удэ, Почетный работник общего образования РФ

2015

Оглавление

1. Введение. Актуальность выбранной темы………..…………………………………………3                                                                                    

2. Понятие иррациональных уравнений………….…………………………………………….4

3. Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом………………………………………………………………………………………...…4

3.1. Применение свойств прямоугольного треугольника……………………………………..4

3.2. Применение векторов к решению иррациональных уравнений………………………....6

3.3. Применение формулы расстояния между двумя точками………………………………..7

3.4. Анализ рациональности решения иррациональных уравнений и систем геометрическим методом……………………………………………………………………..…8

4. Практическая значимость исследования: создание собственного тематического сборника задач…………………………………………………………………………………...8

5. Дальнейшие перспективы работы над проблемой………………………………………….9

6. Заключение……………………………………………………………………………………9

7. Литература……………………………………………………………………………………10

8. Приложения…………………………………………………………………………………..11

Введение.

В математике есть своя красота,

Как в живописи и поэзии.

А.С. Пушкин

       В современных условиях проблема рациональности решения алгебраических уравнений, в частности иррациональных, является весьма актуальной. Ведь в условиях современного экзамена, особенно при решении задач повышенной трудности (части С единого государственного экзамена), ощущается дефицит времени. Поэтому стандартное, но трудоемкое решение может привести к тому, что потраченное время будет столь большим, что на остальное просто не хватит времени. К тому же в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится мало времени.

   Одним из способов решения этой проблемы считаю геометрический метод.

   Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старинных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!»).

       Он существенно расширяет возможности решения иррациональных уравнений, систем. Также некоторым учащимся геометрия дается легче, чем алгебра, и у меня возникло предположение, что на стыке алгебры и геометрии будет интересно заниматься.  

      Поэтому объектом исследования выбрал иррациональные уравнения, предметом исследования – геометрические методы решения. Цель моего исследования: показать преимущество геометрического метода решения иррациональных уравнений.

     Задачи:

• найти и изучить литературу по данной теме.
• сравнить алгебраические и геометрические методы решения иррациональных уравнений.
• проанализировать, как решение иррациональных уравнений геометрическим способом может повлиять на эффективность решения.
• рассмотреть ряд приемов решения иррациональных уравнений, систем геометрическим методом.

   Исследование подтвердит или опровергнет гипотезу: лишь небольшой класс уравнений, в частности иррациональных, решается определенным геометрическим методом.

  Для исследования выбраны следующие методы: аналогия, обобщение, анализ научной литературы, практический.

Новизна исследования заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения иррациональных уравнений.

   Теоретическая значимость исследования: благодаря интеграции «негеометричности» условия уравнения и ее геометрического решения математические знания предстают как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики.

   Практическая значимость исследования: в результате исследования предполагается создание тематического сборника задач, который может быть полезен не только учащимся, но и педагогам.

2. Понятие иррациональных уравнений

Уравнение - язык математики. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», писал великий Ньютон. Искусство решать уравнения зародилось у вавилонян. История возникновения иррациональных чисел относится к VI веку до нашей эры пифагорийцам.

Иррациональными уравнениями называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня. Современный знак корня ввел И. Ньютон. Основными методами их решения иррациональные уравнений являются возведение обеих частей в степень, метод введения новой переменной, метод равносильности систем и т.д.

3. Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом.

3.1.    Применение свойств прямоугольного треугольника.

Рассмотрю применение геометрического метода на примере достаточно несложных систем уравнений. Причем решение этих систем проведу также и аналитически. Суть метода в данном случае состоит в том, чтобы увидеть в алгебраических уравнениях формулировки теорем геометрии, в данном случае -  теорему Пифагора, теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и формулу площади прямоугольного треугольника.

Пример 1. Решить систему уравнений    

Решение (геометрический метод).

Поскольку      то у,  и х – являются длинами соответственно катетов и гипотенузы некоторого прямоугольного треугольника. Тогда из первого уравнения системы следует, что площадь этого треугольника S=24, а периметр его из второго уравнения равен P=24. Тогда радиус вписанной в этот треугольник окружности равен  С другой стороны, радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен  

Отсюда получаем   Вычитая из второго уравнения системы полученное равенство, получаем х = 10.Подставив это значение во второе уравнение системы и решив  стандартное иррациональное уравнение, находим

Ответ: (10;6); (10;8).

Решение (алгебраический метод)

Возведем в квадрат второе уравнение системы

Учтем, что  = 96, тогда  

Подставим найденное значение в первое уравнение  

Проверкой убедимся, что решения исходной системы положительны.:

Ответ: (10;8); (10;6).

Вывод: Решение геометрическим методом более рационально, тратится меньше времени, наблюдается явно выраженная экономия силы, энергии.

3.2. Применение векторов к решению иррационального уравнения.

В следующем примере применение геометрического метода далеко не так очевидно, как в предыдущем. Оно построено на понятии коллинеарных векторов и формуле скалярного произведения векторов в координатах. (приложение 1)

Пример 2.  Решить уравнение         

Решение (геометрический метод).

                                 (1)

     Введём векторы и   Скалярное произведение этих векторов равно а произведение их длин становится равным  На основании соотношения  имеем:

            (2)

Замечаем, что левые и соответственно правые части данного уравнения (1) и полученного неравенства (2) совпадают. Но, согласно уравнению (2), левая часть неравенства (2) должна быть равна его правой части, т.е. должно выполняться условие:

Это возможно тогда и только тогда, когда  векторы и  коллинеарны. Эти векторы в свою очередь, коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноимённые координаты пропорциональны, т.е.

     Таким образом, данное уравнение (1) равносильно уравнению (3), которое в свою очередь, равносильно уравнению        Решим его. Имеем:

     Единственным корнем этого уравнения является значение  т.к. уравнение    действительных корней не имеет.

Решение (алгебраический метод).

Алгебраическое решение уравнения (1) стандартно, но трудоемко. Приведем его подробно.

  После дальнейших преобразований стало очевидно, что решать уравнение аналитически – нерационально. Поэтому решение было остановлено.

3.3. Применение формулы расстояния между двумя точками.

Пример 3. Решить систему уравнений

(Приложение 2)

Решение (геометрический метод)

Рассмотрим слагаемые второго уравнения.

Пусть это расстояние между «текущей» точкой  М(х;у)  и точкой А(2;-1).

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и В(10;5). Найдём расстояние между точками А и В:    

Откуда следует, что   Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А и В.

Имеем : Получим новую систему:

Ответ: (6;2).

Решение (алгебраический метод)

Решение данной системы алгебраическим способом оказалось очень трудоемким и нерациональным. Привожу только его начало.

1)

2)  

3.4. Анализ рациональности решения иррациональных уравнений и систем геометрическим способом.

Я думаю, что геометрический метод решения иррациональных уравнений и систем не усложняет их. Основной трудностью при его применении является неочевидность, особенно в  примере (2). Ведь до применения векторов нужно додуматься или просто знать о такой возможности. Все уравнения и системы, рассмотренные мною в работе, имеют стандартное алгебраическое решение. Поэтому в условиях экзамена, при дефиците времени, понятно, по какому пути многие пойдут. Поэтому рациональность геометрического метода – вопрос спорный. Однако, иногда этот метод – единственно возможный, кроме того, он еще и красив! Тем более, что некоторые формулы из геометрии легко узнаваемы.

  Чем большим количеством способов мы можем решить то или иное уравнение, тем скорее мы научимся рациональности в своих рассуждениях и действиях. А для этого надо решать! Решать больше, учиться находить различные пути. Ведь жизнь предполагает многовариантность!

4. Практическая значимость исследования: создание собственного тематического сборника задач.

     Работая с различными источниками, я столкнулся с проблемой недостаточности материала по проблеме. В сборниках задач, в основном, приводится лишь несколько примеров решения алгебраических задач, уравнений геометрическим методом. Сформированный мной задачник будет полезен не только ученикам, готовящимся к сдаче экзаменов и участию различного уровня олимпиад, но и преподавателям, которых заинтересует эта тема.

     Я не только сделал выборку таких задач, но и систематизировал в соответствии с содержанием и методами их решения.

5. Дальнейшие перспективы работы над проблемой.

   Мое исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии и по алгебре.

   Работа перспективна, так как геометрия не остановилась в своем развитии, а играет все большую роль в познании мира. В дальнейшем хочу раскрыть новые границы неизученного материала и привлечь учащихся к обсуждению данной проблемы и способствовать расширению их кругозора.

6. Заключение

      «Внедрение геометрических интерпретаций и доказательств в алгебре и арифметике способствует гармонизации работы полушарий мозга. В любом случае, решения типа «смотри» развивают не меньше, чем преобразования многочленов» см. [7].

   В результате исследования я опроверг гипотезу, выдвинутую в начале работы: лишь небольшой класс уравнений, в частности иррациональных, решается определенным геометрическим методом. Мне удалось достичь цели моего исследования.

   Я показал, что геометрическое решение некоторых иррациональных уравнений намного рациональнее, чем традиционное. Теперь смогу применять полученные знания на экзаменах и олимпиадах. Я рассмотрел некоторые особенности при применении геометрического метода – приемы применения свойств прямоугольного треугольника, формулы расстояния между двумя точками, применение векторов.

   В результате исследования я пришел к следующим выводам:

• при решении некоторых иррациональных уравнений геометрическим методом наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени;
• чтобы решить иррациональные уравнения геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации, что, на мой взгляд, и является самым сложным в данном методе;
• во многих разделах алгебры существуют классы уравнений, решаемых геометрическими методами;

       В результате мною был сформирован собственный тематический сборник заданий. В перспективе я дам подробное решение всех заданий.

    Думаю, что сборник будет полезен не только учащимся, но и педагогам. В дальнейшем хочу раскрыть новые границы неизученного материала и привлечь учащихся к обсуждению данной проблемы и способствовать расширению их кругозора.

В конце работы хочу дать обоснование значимости полученных результатов.

• Зная несколько способов решения иррациональных уравнений:

- ученик сможет выбрать более легкий, быстрый и верный способ нахождения ответа.

- при неудачной попытке решить уравнение одним способом сможет воспользоваться другим.

• Применение различных способов решения иррациональных уравнений:

         - оттачивает навык решения уравнений.

        - способствует лучшей усвояемости нового материала.

Литература.

1.  Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник. – М .: Просвещение, 2003.

2. Генкин Г. З. Геометрические решения алгебраических задач. - «Математика в школе», №7- 2001, с. 61.

3. Кравцев С. Ю., Макаров Ю. И., Максимов М. И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. – М.: Экзамен, 2001.

4. Мигина А. Решение уравнений с применением оригинальных приемов. – Газета «Математика», №37 – 2001, с. 26.

5. Математика. 9-11 классы: Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы/ Авт.-сост. М.А. Куканов. – Волгоград: Учитель, 2009. – 223 с.

6. Математика. Областные олимпиады. 8-11 классы/ [Н.Х. Агаханов, И.И. Богданов, П.А. Кожевников и др.] – М.: Просвещение, 2010 – 239с.: ил. – (Пять колец).

7. Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. М., 1999. - 241с.

8. Энциклопедия для детей. [ Том 11]. Математика. – 2-е изд., перераб. / ред. Коллегия: М. Аксенова, В. Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. – 621с.

Приложения

Приложение 1.

• Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой  концом.
• Векторы называются коллинеарными, если они лежат, либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
• Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
• Скалярное произведение векторов:

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов   обозначается так:   Или 

 По определению:

• Скалярное произведение векторов   выражается формулой

Приложение 2.

• Расстояние между точками А и В.

Расстояние между точками А(х1;у1) и В(х2;у2) выражается формулой:

Приложение 3. Сборник задач.

1. Текстовые задачи

1. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 440 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 240 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

2. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

3. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

5. Из пунктов  А и В навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем достигнув некоторой скорости, - равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно. В некоторый момент времени скорости поездов оказались равными, а один из них прошел к этому времени расстояние в раза больше, чем другой. В пункты В и А поезда прибыли одновременно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому моменту, когда их скорости оказались равными?

2. Задания из тригонометрии

Задача 1. Вычислите cos15°.

Задача 2. Найти sin 18°

Задача 3. Вычислите  

Задача 4. Вычислите 

Задача 5. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = 

Задача 6. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .

3. Системы уравнений. Всесоюзная математическая олимпиада, 1984 г.

Задача 1. Найти М=xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и

Задача 2. Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

Задача 3. Сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств