Увлекательное умножение

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №48»

   Увлекательное  умножение

исследовательская работа по математике

выполнил:

Фёдоров Александр

6А класс

Руководитель : Маласова Елизавета Дамбаевна

г.Улан-_Удэ

Введение 

Актуальность темы

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.

Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

Цель исследования

Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Гипотеза исследования

Существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.

Задачи исследования:

1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ»;

2. Рассмотреть метод умножения «круги», предложенный в Интернете.  Расширить круг примеров, решенных указанным способом.

Методы:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров.

Структура данной работы следующая:

- в первом разделе представлены старинные способы умножения;

- во втором разделе приведено исследование метода умножения «круги»;

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования.

1 Способы умножения многозначных чисел

1. Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами

       Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».

Пример:      52 х 23 = 1173                                  5             1

                                                                                      X    

                                                                               2             3

Последовательно производим следующие действия:

                 1.    1 х 3 = 3 – это последняя цифра результата.

                 2.    5 х 3 = 15; 1х 2 = 2; 15 + 2 = 17.

                       7 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

                3.    5 х 2 = 10,  10 + 1 = 11 – это первые цифры в ответе.

                                                                                                   Ответ – 1173.

1.2.   «Ревность, или решётчатое умножение»

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.

Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и  «маленький замок».

Рассмотрим эти способы при решении одинаковых чисел 987 и 1998 и сравним полученные результаты.

Умножение чисел 987 и 1998 методом «Ревность, или решётчатое умножение».

Последовательность действий.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы  запишем число 987, а слева снизу вверх – 1998 (рис. 1).

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце   с  этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. Цифры складываются  вдоль каждой диагонали.  Результаты записываются справа и слева от таблицы^[1].  

Рис. 1 «Ревность, или решётчатое умножение».

       Ответ – 1972026.

1.3 «Маленький замок»

Одно число записывается под другим как при умножении столбиком (рис. 2). Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.

Полученные числа складывают между собой. Ответ – 1972026.

Сравним результаты, полученные при умножении чисел 987 и 1998 этими двумя способами. Ответы равны 1972026.

Мы видим, что данные старинные способы умножения действительно очень сложны и требуют обязательного знания таблицы умножения.

Рис. 2 «Маленький замок»

Ответ – 1972026.        

1.4 «Русский крестьянский способ»

В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке (рис. 3).  Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.  

Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Рис. 3 «Русский крестьянским способом»

       Ответ – 1972026.

       Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий .

2. Исследовательская часть

1.   Умножение при помощи кругов

Этот метод  умножения я обнаружила в Интернете. Меня заинтересовал этот способ умножения, я дала ему свое название «Умножение при помощи кругов».

Именно благодаря этому способу темой моей исследовательской работы стали методы умножения с увлечением.

В Интернете был указан только один пример умножения двузначного числа на двузначное.

Я провела самостоятельное исследование и определила способ решения еще двух примеров:

1. Умножение трехзначного числа на двузначное.
2. Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.

       Все примеры, приведенные для показа данного метода придуманы и решены мною самостоятельно.

2.2 Умножение двузначных чисел.

13 х 24 = 312

Последовательность работы.

1. Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по три круга (рис. 4).

Рис. 4

2. Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части (рис. 5).

Рис. 5

3. Проводим прямые и считаем точки (рис. 6).

Рис. 6                                                        Рис. 7

Ответ записывается следующим образом (рис. 7), смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, того 3. Ответ – 312.      

2.3 Умножение трехзначного числа на двузначное.

123 · 21 = 2583

Решения примера данного типа не было, я доработала его самостоятельно.

Алгоритм.

1. Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга, в третьем ряду по три круга (рис. 8).

Рис. 8

2. Второй множитель число 21, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце так и остаются (рис. 9).

Рис. 9

3. Проводим прямые и считаем точки (рис. 10).

      Рис. 10

Ответ записывается следующим образом (рис. 10), смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ – 2583.      

2.4 Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное

103 х 12 = 1236

Последовательность работы.

Алгоритм такой же, как при умножении трехзначного числа на двузначное, но круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией -  это воображаемая линия, точек на ней не существует.

              Рис. 11                                 Рис. 12                                               Рис. 1

        Ответ – 1236.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.

1. В ходе нашей работы мы нашли и освоили различные способы умножения многозначных чисел и можем констатировать следующее:

- большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения;

- способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

- преимущество способа «маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно при прикидочных расчетах, если требуется быстро оценить величину;

- «умножение крестиком» также основано на знании таблицы умножения, но позволяет быстро и легко перемножать двузначные числа. Это делается просто и постоянно встречается в жизни;

- все приемы умножения, которые мы встретили в разных источниках, опираются на знание таблицы умножения. Только один «русский крестьянский способ умножения» не требовал знаний таблицы. Достаточно только уметь умножать и делить на два.

2. Исследовав метод умножения «круги», предложенный в Интернете.  Расширила круг примеров, решенных указанным способом. Доказала, что существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.

Список литературы

1. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  Г. И. Глейзер ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией             В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142-144.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.  

4. http://marketerka.livejournal.com/9154.html

5. http://math-school.narod.ru/history_of_mathematics