Исследование возможностей применения графического способа при решении математических задач

Исследование возможностей применения графического способа при решении математических задач

График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать

М.Б.Балк

I. Введение

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Существуют способы решения алгебраических задач методами, основанными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Ни одна математическая задача не решается по шаблону, каждая содержит свою изюминку и в этом её прелесть. Задачи с применением графического метода подразумевают не только знание основных теорий и законов математики, но и использование логического мышления. Любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ОГЭ и ЕГЭ можно решить графическим способом.

Актуальность. Тема исследования без сомнения актуальна. В будущем учебном году мне предстоит сдавать Единый Государственный экзамен. И сегодня мне важно научиться решать математические задачи любыми способами, позволяющими получать не только правильное, но и быстрое решение. Традиционно математические задачи решаются универсальным способом – алгебраическим. В ходе своей работы я попытался отыскать  метод решения математических задач, который во многих случаях является рациональным, значительно упрощает решение, ведет к более быстрому получению ответа.

Цель моей работы: показать применение графического способа при решении  математических задач

Задачи исследования:

1. Подобрать и изучить необходимую литературу;
2. Рассмотреть решение математических задач  с помощью построения графиков;
3. Получить навыки графической интерпретации.  

Объект исследования –   математические задачи

Предмет исследования –  графический метод решения математических задач.

Гипотеза – с помощью графического метода можно получить простой алгоритм для определения искомых величин при решении математических задач.  

Методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации, обобщение.

II.  Основная часть

2.1. Графическое решение уравнений и систем уравнений

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так: x2=-px-q(1)

Построим графики: y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость - линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х  является его решением, ординаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка,  как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абсциссой х.

Отсюда графический способ решения квадратного уравнения: строим параболу у=х2,   строим прямую  у = - рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры: 

1. Решим уравнение х2 - х -2=0, запишем  уравнение в виде х2 =2+х и в одной системе  координат построим график функции у =х2  и график функции у =х+2. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

Ответ: х1=-1, х2 =2.

2. Решим графически уравнение:   - 8+1,5х=0

                  у =

        y = 8 -1,5х

   Ответ: 4

3. С помощью графика определите, сколько решений имеет система уравнений:

  ху=-4

              у-х2=1

                Ответ: 1 решение

2.2.Графический подход к решению некоторых тригонометрических уравнений

Предлагаемый метод решения графического решения тригонометрических уравнений и неравенств даeт возможность определять корни намного проще, чем при аналитическом методе. Он не требует особых технических навыков в тригонометрич6ских преобразованиях, а теоретическую сторону дела позволяет продемонстрировать очень наглядно.

Конечно, при графическом решении уравнений корни определяются только приближенно в силу того, что невозможно с высокой точностью построить график функции, измерить абсциссы или ординаты точек пересечения графика с осями координат или с другими графиками. Тем не менее, той точности, которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для практических нужд.

Пусть необходимо решить уравнение   ,            (1)

где - многочлен от двух переменных x и y.  Идея решения состоит в том, чтобы дополнить  уравнение (1) тождеством   ,  ввести обозначения:  ,    и решить графически систему, состоящую из двух уравнений: .

Получим точки пересечения (если таковые существуют!) единичной окружности с графиком функции F (x,y), координаты которых определить не стоит труда.

Приведем примеры:

1.Рассмотрим решение уравнения:  

Введем обозначения   ,   . Решим графически систему, состоящую из двух уравнений:  

Отсюда получаем:,  ,   где

На практике встречаются задания, где необходимо указать количество корней уравнения, предварительно решив его. Здесь метод графического подхода  более рационален.

2.Сколько корней уравнения     принадлежат отрезку

Решение:

 ,  

  ,

Введем обозначения

 ,  

, ,  .

очевидно, что данное уравнение имеет три корня на отрезке

2.3.Графическое решение задач с параметром и модулями

1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение |2х – а| + 1 = |х +3|  имеет единственное решение.
Решение. Представим данное уравнение в виде |2х – а| = |х +3|- 1.
Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок» с вершиной в точке (-3; -1), ветви направлены вверх. Левая часть этого уравнения задает «уголок» сжатый в два раза вдоль оси ординат, вершина которого двигается по оси абсцисс. Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В.

Имеем, |х + 3 | - 1= 0    х = -4, х = -2,  тогда А (-4; 0),

 В (-2; 0)

и координаты этих точек удовлетворяют уравнению у =|2х – а|.

Тогда

2.Найти все значения a, при  каждом из которых система уравнений

х2 + 20х + у2 – 20у + 75 = | х2 + у2 – 25|,

х – у = а.

 имеет более одного решения.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая: 1)Если х2 + у2 ≥ 25, то получаем уравнение

х2 + 20х + у2 – 20у + 75= х2 + у2 – 25;

20х – 20у + 100 = 0;

х – у + 5 = 0.

Полученное уравнение задает прямую у = х + 5.

2) Если х2 + у2 ≤ 25, то получаем уравнение

х2 + 20х + у2 – 20у + 75= 25 - х2 - у2;

х2 + 10х + у2 + 25 = 0;

 + = 25.

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Q(-5;5) и радиусом 5.

Полученные прямая и окружность пересекаются в двух точках А(-5;0) и В(0;5), лежащих на окружности х2 + у2 = 25, поэтому в первом случае получаем два луча l1 и l2 с концами в точках А и В соответственно, во втором – дугу  с концами в тех же точках. Заметим, что точка С(-5 + ; 5 - ) лежит на дуге  и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первом случае.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую m, параллельную лучам  l1  и  l2   или содержащую их.

При а = -5 прямая m содержит лучи l1 и l2, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При а = – 10 прямая m проходит через точку С, значит, прямая m касается дуги  и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет одно решение.

При а  – 10 прямая m пересекает дугу  в двух точках и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то  есть исходная система имеет два решения.

При а  или а – 10 прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2 и дугой , то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более одного решения при а  – 10.

2.4.Графический способ решения текстовых задач

Графический способ решения текстовых задач не используется в средней школе. Тем не менее,  при  решении  задач  на  равномерные процессы иногда  он даёт более простое и компактное решение.

            При решении многих задач на движение требуется введение целого ряда неизвестных и составление системы из нескольких уравнений. В целях экономии времени удобно рассмотреть решение задачи графическим методом. Графическое изображение функций описывающих условие задачи – зачастую удобный технический прием. График позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим.

        Задача 1. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 часа после начала движения и продолжали свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый поезд?

Решение: Пусть t — время, затраченное вторым поездом на весь путь из В в А. Тогда (t+20) — время, затраченное первым поездом на весь путь из А в В.

 Из подобия треугольников имеем:  =

Получаем уравнение: х2 +20х – 576 = 0.

Решив его, получаем ответ: х = 16.

Значит, первый поезд затратил на весь путь 24 + 16 + 20 = 60 часов.

Задача 2. Две машинистки должны отпечатать рукописи с одинаковым числом страниц. 1 машинистка приступила на 3 часа раньше 2 машинистки и отпечатала к определенному моменту времени на  страниц рукописи больше, чем 2 машинистка. Проработав еще 5 часов,  обе одновременно закончили свою работу. За сколько часов каждая отпечатала свою рукопись?

         N1 =          N2 =

Получаем уравнение:    -  = .        х = 1

Ответ: 9ч., 6ч.

III. Заключение

В процессе работы мной были выполнены все поставленные перед началом исследования задачи, достигнута намеченная цель, а именно:  я научился применять при решении задач графический способ. Также мной  была подтверждена выдвинутая перед началом исследования гипотеза  –  с помощью графического способа  можно получить простой алгоритм решения многих  задач.

 Рассмотренный графический способ:  

1. Позволяет существенно упростить решение задач, сделать его более понятным и наглядным.

2. Развивает пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах.

3. Позволяет сократить время решения  задач.

4. Достоинство – доступность для понимания, наглядность результата.  

Возможность решить задачу различными способами побуждает нас к творческому мышлению, подчеркивает красоту содержания учебного предмета.

IV. Список литературы

1. Б.А.Кордемский. Графики в задачах на равномерные процессы. Журнал «Квант» №11, 1971г.
2. Ф.Ф. Лысенко. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010. Вступительные испытания. – Ростов-на-Дону: Легион, 2010.
3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: ОНИКС 21 век, АЛЬЯНС – В, 2000.
4. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты/ под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2016. – 256с.
5. Математика. ИД «Первое сентября». № 1/2010г.
6. Математика. ИД «Первое сентября». № 17/2005г.
7. Математика в школе, №1/1997г.