За страницами учебника математики. Тригонометрические функции и их графики.

МБОУ города Ульяновска

«Вечерняя (сменная) школа № 9»

За страницами учебника математики.

Тригонометрические функции и их графики.

Выполнил:

Кузнецов Сергей, учащийся 11 класса

Руководитель:

Васильева Е.В., учитель математики

Ульяновск, 2020г.

Содержание.

1. Справка из истории.
2. Гармонические колебания и их графики.
3.  Графики функций  у = sin |x| , у = cos |x| , у = tg |x| , у = ctg |x|.

4. Графики функций   у = |sin x| , у = |cos x| , у = |tg x| , у = |ctg x|.

5. Графики уравнений  |у| = |sin x| , |у| = |cos x| , |у| = |tg x| , |у| = |ctg x|.
6. Графики некоторых сложных функций.
7. Литература.

1. Справка из истории.

Синусоида была первым графиком тригонометрической функции, появившимся в печати. Она была помещена в одном из произведений французского математика Жиля Персона де Роберваля. Этот график был им вычерчен в конце 30-х годов 17 века в связи с определением площади циклоиды. Вычерчивание и применение графиков функций вообще и тригонометрических в частности вошло, в широкое употребление лишь после появления «геометрии» Декарта и создания аналитической геометрии.

Название линия синусов встречается впервые в сочинении «Геометрический труд о линии синусов и циклоиде»(1659) французского автора Оноре Фабри. Не сразу и нелегко дошли ученые до полного исследования тригонометрических функций и правильного вычерчивания их графиков. Лишь в 1670 г. Крупный английский математик Джон Валлис разобрался в вопросе о знаках синуса в каждом квадранте и вычертил в своей «механике» два полных оборота синусоиды, констатировав, что их бесчисленно много. Он начертил также график секанса, однако не совсем правильно. В1668 г. Появились « геометрические этюды » замечательного английского математика Джеймса Грегори, в которых впервые встречается часть тангенсоиды, соответствующая первому квадранту. Через два года были опубликованы «геометрические лекции» другого крупного английского математика - Исаака Барроу, в которых были помещены графики косинуса, тангенса и секанса для первого квадранта. Графики последних двух функций оказались далеко не точными. Вопрос о знаках тригонометрических функций во всех четырех квадрантах, в частности тангенса и котангенса, долгое время оставался неясным. Достаточно сказать, что один из математиков того времени - петербургский академик Фридрих Майер, много содействовавший усовершенствованию тригонометрии, считал синус и тангенс тупого угла положительными, а косинус и котангенс - отрицательными. Впервые вопрос был правильно изложен в 1705г. в мемуарах Парижской академии наук. В1722г. Правильные графики тангенса и секанса для двух оборотов были опубликованы в одном из произведений талантливого ученика и друга Ньютона Р. Котеса.

Применение символов в тригонометрии началось не в 16 в. ,как в алгебре, а лишь во второй половине 17 в. Переход от громоздкого словесного изложения тригонометрии к алгебраическим формам записи был длительным.

В своей работе «Тригонометрия, или учения о треугольниках» английский математик Р. Норвурд (1590-1675) употребляет следующие обозначения: s-синус, t- тангенс, sec- секанс, сs или sc- косинус, ct или tc - котангенс.

Усовершенствовал символику и содержание тригонометрии Эйлер.

1)  Он впервые доступно изложил вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте, установил формулы приведения, подробно исследовав области определения этих функций и обозначив их символами:sinх, cosx, tangx,cotx; он ввел употребляемые поныне обозначения а,b,с для сторон и А,В,С для соответствующих противоположных углов, придерживаясь единой символики в тригонометрии.

2)  В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R-целый синус, принимая R = 1 и упрощая таким образом записи и вычисления.

3)  В 1748г Эйлер впервые трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции.

4)  Эйлер впервые стал систематически излагать тригонометрию аналитическим путем.

5)  Лишь в трудах Эйлера разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента.

2. Гармонические колебания и их графики.

Гармонические колебания – это колебания, которые совершаются по закону

                  f(t)=A cos(ωt + φ)

                         или

               f(t)=A sin(ωt + φ), где

А – амплитуда колебаний;

φ – начальная фаза колебаний;

ω – циклическая частота;

T – период гармонического колебания ( он равен 2π/ω)

Пример 1.

у = 2 cos(2x – π/3)

План построения:

1. у = cos x – период T = 2π (розовый)
2.  y = cos 2x – период T = 2π/ω= 2π/2 = π (черный)
3.  y = cos(2x - π/3) – график смещается по оси Ох вправо на π/6(фиолетовый)
4.  y = 2 cos(2x - π/3) – амплитуда увеличивается в 2 раза: график растягивается вдоль оси Оу в 2 раза(красный)

Пример 2:

У = ½ sin(x + π/4)

План построения:

1. y = sin x  (фиолетовый)
2.  y = sin(x + π/4) – график смещается влево на π/4 по оси Ох (розовый)
3.  y = ½ sin(x + π/4) – график сжимается вдоль оси Оу а 2 раза (красный)

3. Графики функций  у = sin |x| , у = cos |x| , у = tg |x| , у = ctg |x|.

Построение графика функции у = f(|x|).

Анализ:

Правило построения:

График у = f(х) остается без изменений в правой полуплоскости и симметрично отображается относительно Оу

1) у = sin |x|

2) у = cos |x|

у = cos х – функция четная и cos (-x) = cos х, то график функции

у = cos |x| совпадает с графиком функции у = cos х.

3) у = tg |x|

4) у = ctg |x|

3. Графики функций у = |sin x| , у = |cos x| , у = |tg x| , у = |ctg x|.

Построение графика функции у = |f(x)|

Анализ:

Правило построения:

График функции у = f(x) в верхней полуплоскости остается без изменений, а в нижней полуплоскости отображается симметрично относительно оси Ох в верхнюю полуплоскость.

1) у = |sin x|

2) у = |cos x|

4. у = |tg x|

5.  у = |ctg x|

4. Графики функций  |у| = |sin x| , |у| = |cos x| ,  |у| = |tg x| , |у| = |ctg x|.

Построение графика функции |у| = | f(х) |.

План построения:

1)Построить график у = f(x).

2) Построить график y = |f(x)|.

3) Построить график |y| = |f(x)|.

Правило построения графика уравнения |y| = |f(x)| :

График y = |f(x)| остается без изменения в верхней полуплоскости и симметрично отображается относительно оси Ох в нижнюю полуплоскость

|у| = |sin x|

|у| = |cos x|

|у| = |tg x|

|у| = |ctg x|

5. Графики некоторых сложных функций.

1) Построить график функции

у = 2| cos x/2 | sin x/2.

Анализ:             а) если cos x/2 ≥0 , то у = 2 cos x/2 sin x/2;

у = sin2х/2;

у = sin х.

б) если cos x/2 < 0 , то у = 2(-cos x/2) sin x/2;

у = -sin х.

у = sin x, cos x/2 ≥0,

у = -sin х, cos x/2 < 0.

Построение:

1. построить график функции у = cos x/2;
2. построить график функции у = sin х;
3. построить график функции у = -sin х;

4)на основании данных построить график функции

у = 2| cos x/2 | sin x/2.

2) Построить график функции

                            у = 2| sin х | cos x.

Анализ:

а) если sin х ≥0 , то у = 2 sin х cos x;

у = sin 2х.

б)если sin х < 0 , то у = -2 sin х cos x;

у = -sin 2х.

Построение:

1)построить график функции у = sin x;

2) построить график функции у = sin 2х;

3) построить график функции у = -sin 2х;

4) на основании данных построить график функции

у = 2| sin х | cos x

6. Литература:

1. Г. И. Глейзер.«История математики в школе». Москва, «Просвещение» 1982г.
2. А. Х. Шахмейстер «Тригонометрия», издательство Московского университета. С. – Петербург. Москва. 2006.
3. И. И. Гайдуков «Абсолютная величина». Просвещение 1968 г.
4. А. М. Дороднов «Графики функций». Высшая школа – 1972.