Математические софизмы

Филиал Муниципального казенного общеобразовательного учреждения

 «Основная общеобразовательная школа села Благословенное имени

 Героя Советского Союза Георгия Дорофеевича Лопатина»  в с. Нагибово

Исследовательская работа

 «Математические софизмы»

Выполнил:

Декина София,

Ученица 5 класса

Руководитель:

Логунова О.Н.

учитель математики

I категория

с. Нагибово  

2020год

Введение……………………………………………………....……..2

1. Гипотеза ………………………………………….……...………...3

2. Софизмы в математике…………………………………..……..…4

3. Анализ софизмов………………………………………………..…5

Заключение………………………………………………………..…...6

Список литературы…..………………………………………………..7

Здравствуйте. Меня зовут Декина София. Я учусь в 5 классе. Мне очень нравится математика. Однажды мы пожаловались учителю, что очень много задают. А учительница сказала нам, что сейчас докажет, что вообще не учимся. Предлагаю и вам это доказательство.

Как доказать, что ученики ничего не делают?

Доказательство:

1. По ночам занятий нет, значит, половина суток свободна. Остается

365 -182 = 183 дня.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, другая половина (или четвертая часть суток) может быть свободна. Остается

183 — 183:4 = 137 дней.

3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится =15 дней, таким образом выходных в учебном году

52 -15 = 37 дней.

Итого остается

137 — 37 = 100 дней.

4. Но есть еще каникулы: осенние (= 5 дней), зимние (=10 дней), весенние (= 7 дней), летние (= 78 дней).

Всего 5 + 10+ 7+ 78 = 100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году

100 — 100 = 0 дней.

Когда же учиться?! Где ошибка в рассуждениях?

Мне стало интересно, и наша учительница предложила мне рассмотреть другие математические софизмы.

 Я считаю эту тему очень увлекательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов.

Гипотеза. Разобрать софизм — значит найти эту ошибку.

Актуальность . Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях

Цель: изучить данную тему, а именно, узнать что такое софизмы

Задачи: 

1. Познакомиться с софизмами;

2. Понять, как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?

Темы для исследования:

- Что такое софизм?

- Математические софизмы

Методы исследования.

• Изучение литературных источников.
• Наблюдение и сопоставление материала.
• Просмотр сайтов в Интернете

Практическая значимость: понимание математики пригодится в жизни и в первую очередь для успешной учебы в школе, надо не только точно знать правила и формулы, но уметь находить свои ошибки и ошибочные рассуждения

Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку или головоломку.

Математический софизм представляет собой  тот частный случай, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм - это значит указать ошибку в рассуждении.

 Предлагаю вашему вниманию несколько простейших софизмов. А вы попытайтесь найти ошибку.

1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах.

Администратор одной гостиницы не отказался от решения следующей, казалось бы, неразрешимой задачи: разместить в двенадцати одноместных комнатах тринадцать человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек.

Предупредив тринадцатого (под этим номером занесенного в список приехавших), что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному и каждой комнате, начиная с первой.

  В итоге расселения в первой комнате оказалось два человека; третий человек был помещен во второй комнате, четвертый — в третьей, пятый — в четвертой и так до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату.

  Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор предоставил временному жильцу первой комнаты — тринадцатому клиенту гостиницы.

Выходит, что задача разрешима: 12=13

2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев.

В наличии десяти элементов в некоторой группе можно с одинаковым успехом убедиться как с помощью счета от одного до десяти, так и с помощью обратного счёта. присвоим пальцам числительные (номера) как на рисунке, и сложим их.

5+6=11. И так, на двух нормальных руках, одиннадцать пальцев.

3. Квадратные рубли.

Как известно, всякие два равенства можно перемножать почленно.

Применяя эту правило к следующим двум равенствам:

                1 рубль= 100 копеек , 2 рублей=200 копеек,

       Возведём левую и правую часть в квадрат;

(22 )рубля =(2002 )копеек,   или  4 рубля = 40000 копеек,
                                         что явно неверно

4.    40:8=41

Маленький Петя очень не любил считать устно. Решая задачу о дележе 40 орехов между 8 мальчиками поровну, он и в этом случае обратился к схеме письменного

деления. Выполнение действия деления у него выглядело так:

Полученный ответ, естественно, смутил Петю. Он хорошо понимал, что не может каждый из мальчиков получить больше орехов, чем их было у всех вместе, но своей ошибки в делении все-таки обнаружить не мог.

Помогите маленькому Пете понять свою ошибку.

5. Дважды два — пять!

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее

очевидное равенство: 4:4=5:5

  После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:

 4 (1: 1)=5 (1: 1)

Или (2*2)(1:1)=5(1:1)

Зная, что 1:1=1, получаем 2*2=5

Анализ софизмов.

1. В рассуждении допущена ошибка: второй клиент гостиницы остался без комнаты, так как об его существовании просто «забыли» при распределении номеров гостиницы.

Число может быть и количественным и порядковым. Путем сознательного смешения понятий количественного и порядкового чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведенного рассуждения. В самом деле, мы рассуждали так.. «в итоге расселения в первой комнате оказалось два человека»— число количественное; «третий человек был помещён во второй комнате» — число порядковое. Подобная структура рассуждения и дала возможность отвлечь внимание от факта пропуска второго клиента.

2.В рассуждении допущено намеренное отождествление понятий порядкового и количественного чисел. Ошибка возникает потому, что для пальцев левой руки имеет место совпадение порядкового и количественного чисел, а для правой руки такого совпадения нет.

3. Когда мы имеем дело с деньгами возводить в квадрат рубли нельзя, так как никаких «квадратных рублей» и «квадратных копеек» не существует.

4. Из курса математики известно. Что остаток не может быть равен делителю.

5. В рассуждении создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения. Такие ошибки невозможны, если в качестве знака деления использовать дробную черту.

4:4== 4 =4*(1:4)      и     5:5== 5 =5*(1:5)

И напоследок. В самом первом рассуждении мы установили, что ученики вообще не учатся ни одного дня. Как так получилось.  А очень просто, выходные и каникулы были посчитаны дважды.

Заключение.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Софизмы это смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других людей, научиться  грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Осознание ошибки достигается противопоставлением ложному доказательству истинного. Такой подход способствует более глубокому пониманию  и осмыслению математики.