Исследовательский проект по математике на тему: «Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля»
Понятие модуля широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики, является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, но рассмотрение задач, связанных с понятием модуля (а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, на ОГЭ и ЕГЭ.
Работа моя посвящена изучению теоретического материала по теме: «Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля» и выявлению способов построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 issledovatelskiy_proekt_po_matematike_na_temu.pptx | 996.11 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель моей исследовательской работы: 1. Провести исследование и анализ имеющихся способов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля . 2. Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные. 3. Провести обобщение и систематизацию имеющего материала: а) научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля; б) составить подборку задач по теме "Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля ". Объект исследования : функции, содержащие переменную под знаком модуля. Предмет исследования : механизм построения графиков .
Содержание Введение Историческая справка. Определение модуля ……………...… 1 §1 . Построение графиков функций, содержащих модуль …..7 1.1 . Построение графика функции у=f(∣x∣ )………………….8 1.2 . Построение графика функции у=∣f(x) ∣ ………………….10 1.3. Построение графиков функций вида ∣у∣=f(x )……………12 1.4. Построение графиков функции вида ∣у∣=∣f(x) ∣ …………...13 1.5. Построение графиков функции вида у=∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣ fn (x) ∣ ………………………………………………..14 § 2.Решение задач из КИМ ОГЭ по теме «Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля »……..16
Историческая справка К началу ХVII века алгебра была уже достаточно развитой наукой. Трудами многих поколений учёных были подготовлены условия для нового большого открытия в науке, которое послужило бы толчком к её дальнейшему развитию. Таким открытием явилось введение в математику понятия переменной величины и прямоугольной системы координат. Честь введения в математику функциональной зависимости принадлежит французскому учёному Ренэ Декарту. Ренэ Декарт придумал систему прямоугольных координат, которой пользуемся мы другое. Трудами Декарта алгебра была значительно усовершенствована. Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика Лейбница В обычное употребление термина введено в начале ХVIII в. Иоганном Бернулли
Историческая справка Понятие «модуль» является одним из основных понятий элементарной математики. Слово «модуль» произошло от лат. modulus — «маленькая мера»..Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. Слово «модуль» многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п. Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
О пределение модуля Определение модуля в математике: Модуль неотрицательного числа a равен самому числу a, модуль отрицательного числа a равен противоположному ему положительному числу –a.
Построение графиков функций, содержащих модуль Построение графиков следует осуществлять двумя способами: 1) на основании определения модуля; 2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.
Построить график функции у=2∣х∣-2. Построение: 1-й способ. 2-й способ. 1) Строим график функции у=2х-2 для х>0. 2) Достраиваем его левую часть для х<0, симметрично построенной относительно оси Оу .
ё Построить график функцииу =х2-2|х|-3. Решение. По свойству модуля, х2=|х|2, значит у=х2-2|х|-3 можно представить в виде у=|х|2-2|х|-3. Тогда для того чтобы построить график у=х2-2|х|-3 нужно построить график функции у=х2-2х-3. Для этого найдём х0=-b/2a=-(-2)/2=1, y0=y(1)=1-2-3=-4, ось параболы х=1, её вершина имеет координаты (1;-4), при у=0 х=3 или х=-1, при х=0 у=-3 Теперь оставим без изменений часть графика, расположенную в правой полуплоскости, и отобразим её симметрично относительно оси У(другую часть графика отбросим).
1.2. Построение графика функции у=∣f(x)∣ Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у=∣f(x)∣. а) Строим график функции f(x). б) Часть графика у=f(x), лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.
Построить график функции у=∣х2-2х-3∣. 1) Строим график функции у=х2-2х-3. 2) График нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси Ох
Построить график функции ∣у∣= х2-2х-3 1 способ: 2 способ: 1) Строим график функции у=х2-2х-3; 2) Отображаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.
Построить график функции ∣у∣=∣1-х∣ Решение: 1 способ. 2 способ. 1. Строим график функции у=1-x. 2. График у=∣1-х∣ получаем из графика у=1-x, симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью относительно оси Ох. 3. График ∣у∣=∣1-х∣ получаем из графика у=∣1-х∣, отобразив последний симметрично относительно оси Ох.
1. Построить график функции у=∣х-1∣+∣х-3∣. Решение: Точки х=1 и х=3 разбивают числовую ось на три промежутка, для каждого запишем функцию: 1) при х≤1 имеем у=4-2х; 2) при 1<х≤3 имеем у=2; 3) при х>3 имеем у=2х-4
Метод вершин Графиком непрерывной кусочно-линейной функции является ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями. Пример: Построить график функции у=∣х∣-∣х-1 ∣ Алгоритм построения: 1) Найдём нули каждого подмодульного выражения х=0 и х=1. 2) Составим таблицу, в которой кроме 0 и 1 записываем по одному целому справа и слева от этих значений. 3 ) Наносим эти точки на координатную плоскость и соединяем последовательно . Точки перелома и есть вершины ломаной х -1 0 1 2 у -1 -1 1 1
§ 2.Решение задач из ЕГЭ по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля " Постройте график функции - х2-2х+2, если х ≥ - 3 у= -x-4, если x< - 3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Решение. Построим график функции y = − x − 4 при x < −3 и график функции y = − x2 − 2x + 2 при x ≥ −3 . Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы или через точку (-3; -1). Получаем, что m = −1 или m = 3. Ответ: −1; 3 .
Спасибо за внимание
Госпожа Метелица
Старинная английская баллада “Greensleeves” («Зеленые рукава»)
Лист Мёбиуса
А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?
Рисуем домики зимой