Проект по теме "Фракталы"

                                                                                                                               Выполнили:

                                                                                                         Ученики 8 «б» класса

        Герасимова Дарья,

        Ильин Данила,

        Минькин Виктор.

        Научный руководитель:

                                                                                      Хасметдинова Анна Александровна

                        2021 год

           ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Введение

2.Основная часть

1. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
2. Стохастические фракталы
3. Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами
4. Естественные науки
5. Радиотехника
6. Информатика
7. Компьютерная графика
8. Децентрализованные сети

3.Заключение

4.Список литературы

5.Приложения

1. Приложение №1
2. Приложение №2
3. Приложение №3

   ---

                                         Введение

     Фрактал  (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).                        

В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.  

Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры      

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

                                                                    Основная часть

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершённое множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
• треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

          Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

                                                    Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

• Кривая Коха (снежинка Коха),
• Кривая Леви,
• Кривая Минковского,
• Кривая Гильберта
• Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),
• Кривая Пеано.
• Кривая Мякишева

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

                                         Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы.

 Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера (англ.)русск. — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной
• графике.

        Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры.

Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений, кораллы) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

В живой природе:

• Кораллы
• Морские звезды и ежи
• Морские раковины
• Цветы и растения (брокколи, капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Система кровообращения и бронхи людей и животных

В неживой природе:

• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Береговые линии
• Горные хребты
• Снежинки
• Облака
• Молнии
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Кристаллы
• Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

                                                Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (системакровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

                                                   Радиотехника

                                                 Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

                                                     Информатика

                                        Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

                                                 Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

                                                 Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

                                              Заключение

Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?

С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Можно считать, что самоподобие - один из видов симметрии.

Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря французскому математику Бенуа Мандельброту.

Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии,  географии, биологии, механике и даже истории. Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).

По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях, например, для синтеза трехмерных компьютерных изображений природных ландшафтов, для сжатия (компрессии) данных и многих других областях.

Своей проектной работой мы хотели рассказать о довольном новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Мы очень надеемся, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу. Предлагаем свою работу для использования на уроках геометрии при изучении темы «Подобие», при внеклассной работе.

                      СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельброт Б. Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. - М., НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009. - 392 с. ISBN: 978-5-93972-772-3;
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0
4. https://novainfo.ru/article/3951

                                                ПРИЛОЖЕНИЯ

                                     Приложение №1

                              Приложение №2

Знаменитое множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату, но увидеть его ученый начала столетия не мог: вручную сделать необходимое число вычислений было физически невозможно. Для этого потребовались компьютеры, которыми воспользовался Бенуа Мандельброт для изучения уже описанного, но еще толком не исследованного.

                                      Приложение №3

Фрактальные морские животные.

Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих. Взглянув на эту фотографию, очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного.

Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.

Типичный представитель фрактала из растительного мира - цветная капуста.

 Дизайнеры и 3D-художники восторгаются    экзотическими формами, похожими на фракталы цветной коралловой капусты.