Теорема Пифагора для решений задач на ОГЭ и ЕГЭ

еорема Пифагора

Сложно представить, но в научной литературе существует 367 доказательств теоремы Пифагора. В школьной программе мы проходим гораздо меньше — в этом материале познакомимся с главными формулами и их доказательствами.

О чем эта статья:

• Основные понятия
• Теорема Пифагора: доказательство
• Обратная теорема Пифагора: доказательство
• Решение задач

Поделиться статьей

• АВТОР

Лидия Казанцева

• РУБРИКА

8 класс

• ДАТА ПУБЛИКАЦИИ

28.07.2020

• ПРОСМОТРЫ

182195

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c2 − b2
• b = √c2 − a2
• c = √a2 + b2

Запоминаем

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

• если c2 < a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
• если c2 = a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
• если c2 > a2 +b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

• если a = 6, b = 10,

значит c2 = a2 + b2 = 62 + 102 = 36 + 100 = 136

• c = √136 = 11,7

Ответ: 11,7.

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Как решаем:

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 145

Ответ: треугольник не является прямоугольным.