Оглавление

Введение        3

1. Основы аналитической геометрии.        6

1.1. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве.        6

1.2.  Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.        7

1.3.  Скалярное произведение векторов.        7

2. Применение  метода координат к решению стереометрических задач.        8

Заключение.        16

Список литературы:        17

Введение

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Это дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств.

Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальше дело не пошло — из-за невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности. В Европе первым использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии. Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной алгебре. Около 1637 года Ферма распространяет через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписывает и обсуждает (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений широко используется преобразование координат. Ферма наглядно показывает, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи. Декарт подчёркивает, хотя и не доказывает, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат. Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались дифференциальной геометрии.

В школьном курсе математики вводятся и изучаются вектор и метод координат, потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие задачи, связанные с этими понятиями на уроках физики, математики, географии. Поэтому повышенное внимание к данной теме оправдано.

Чтобы освоить определённый набор приёмов векторного и координатного методов решения геометрических задач и уметь применять их при решении задач необходимо знать теорию, провести подробный анализ условия задачи и применить имеющиеся знания к решению той или иной задачи.

Цели:

• раскрыть содержание метода, рассказать основные формулы и теоремы,
• показать применение метода при решении конкретных задач,
• решить сложные стереометрические задачи с использованием координатно-векторного метода.

Актуальность выбранной темы:  статистический анализ результатов итоговой аттестации выпускников показывает, что почти 70% выпускников не берутся за решение задачи «С2» ЕГЭ, считая ее сложной и требующей владение большой теоретической базой, а также вызывающей трудности  в построении и нахождении на чертеже искомых элементов.

Задачи:

• изучить основы аналитической геометрии.
• исследовать и изучить  типичные задачи,  встречающиеся на итоговой аттестации.
• анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод, геометрический с применением теорем;
• сравнение преимуществ и недостатков каждого метода.

Объект исследования – стереометрические задачи «С2» итоговой аттестации.

Предмет исследования – применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач.

Методы и приёмы исследования:

• поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов;
• самостоятельное решение задач и геометрическим, и координатно-векторным способами;
• сравнение двух решений одной задачи и выявление более рационального.

1. Основы аналитической геометрии.

1.1. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — осями координат. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат.

        Рис.1                               Рис.2

Начало координат обозначается буквой О, оси координат обозначаются соответственно символами Ох, Оу, Оz.

        Пусть М — произвольная точка пространства, Мх, Му и Мг — её проекции на координатные оси (рис. 1).

        Координатами точки М в заданной системе называются числа:

х = ОМх,   у = ОМу,   z = ОМг,

где ОМХ есть величина отрезка  оси абсцисс, ОМу — величина отрезка  оси ординат, ОМz — величина отрезка  оси аппликат. Число х называется абсциссой, у — ординатой, z — аппликатой точки М. Символ М (х; у; z) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, z.

        Три плоскости Оху, Охz и Оуz вместе разделяют пространство на восемь частей; их называют координатными октантами и нумеруют так, как показано на рис. 2.

1.2.  Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние d между двумя точками M1(x1; у1; z1) и M2(x2; y2; z2) в пространстве определяется формулой

Координаты х, у, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками M1 (х1 , y1 , z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ), в отношении , определяются по формулам:        

,            ,                    

        В частности, при  λ = 1 имеем координаты середины данного отрезка:

,                  ,                           .

1.3.  Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой .                              (1)

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab < 0, если угол  — тупой;    ab = 0 в том и только в том случае, когда векторы a и b перпендикулярны (в частности, a = 0, если a = 0 или b = 0).

Если векторы а и b заданы своими координатами:

,          и             ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:

.

Угол  между векторами            и          

даётся формулой  , или  в  координатах,

.

2. Применение  метода координат к решению стереометрических задач.

Применение метода координат удобно при решении геометрических задач. Процесс решения каждой задачи, решаемой с помощью метода координат, условно разбивают на три этапа:

1. Ввести в удобной для вас форме систему координат, и переписать условие задачи в координатной форме;
2. Преобразовав задачу, записанную в координатной форме, получить ее решение в координатной форме;
3. Решение задачи, полученное в координатных соотношениях, нужно перевести на исходный «язык» и записать ответ.

Задача 1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка О – центр грани ABCD. Найти угол между прямыми A1D и B1O.

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке, таким образом, что вершина Е лежит в начале системы координат, тогда вершины A1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Направляющие векторы прямых A1D и B1O: {0; 1; -1} и {½; ½; -1}; искомый угол φ между ними находим по формуле:

cos∠φ  = = = ,

 откуда ∠φ = 30°.

2 способ. Геометрический

1. Проведем прямую В1С параллельно прямой A1D. Угол CB1O будет искомым.

В основании квадрат АВСD, из треугольника DВС по теореме Пифагора найдем DВ

 DВ = = , тогда ВO = .

2) Из прямоугольного треугольника BB1O по теореме Пифагора:

B1O = .

3) Из прямоугольного треугольника CB1O найдём угол CB1O:

данный угол составляет 30°,так как напротив него лежит катет OC равный половине гипотенузы B1C.

Ответ: 30°.

Задача 2

На ребрах AD и ВВ1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого АВ:AD:АА1 = 1:2:2, взяты соответственно точки E и F – середины этих ребер. Найдите угол, который образует прямая EF с прямой АС1.

1 способ. Координатно-векторный метод

Введем систему координат с началом в точке А, ось Ох направим по AD, ось Оу –по AB, ось Оz – по .

Определим  координаты всех вершин параллелепипеда.

По условию АВ: АD: АА1= 1:2:2

АВ= а, АD=2а, АА1=2а.

А(0;0;0); В(0;а;0); С(2а;а;0); D (2а;0;0);

А1(0;0;2а);  С1(2а;а;2а);  F(0;a;a).

 (-а; а; а)  (2а;а;2а).

EF и АС1 скрещивающиеся,  

cos  

.

2 способ. Геометрический

Построим прямую ЕС 2║ АС 1, таким образом, что С 2 лежит на продолжении прямой В1С1 за точку С1. Так как АЕ = х, то и С1С2 = х. Прямая ЕС 2 пересекает ДС1 в точке М, которая является серединой ДС1, так как ЕМ – средняя линия треугольника АDС1.

Угол FЕМ – искомый.  

Из треугольника DСС1 найдем по теореме Пифагора ДС1 =  = х, так как М середина ДС1, то ДС1= . Из прямоугольного треугольника ЕDМ:  ЕМ = . Из треугольника АВF:  АF= х. Из треугольника АЕF:  ЕF = х.

Точка F середина ВВ1, точка М середина ДС1, тогда FМ= В1N =  =.  

Из треугольника ЕFМ по теореме косинусов найду косинус угла ЕFМ:   = .

Ответ: .

Задача 3.

В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45о. На ребре МС взята точка F – середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая AF с  плоскостью МОС, точка О – середина ребра АВ.

1 способ. Координатно-векторный метод

Найдем (AF;(MOC))=.

Ведем систему координат Оxyz так, чтобы точка О совпала с началом координат, МOZ;

CO- медиана и высота АВС. Все боковые ребра равно наклонены к основанию, потом М проектируется в центр описанной около АВС окружности, то есть в середину гипотенузы О, АО=ОВ=ОС; СОх; ВОу.

Пусть АС = СВ = а, тогда АВ=;  О(0;0;0)  В(0;;0)  А(0;;0)                      С(;0;0).

ОМ= ОС, т.к ОМС  равнобедренный прямоугольный.  М(0;0;)

FK|| OM, FKOC;  FK средняя линия CMO, FK=;

,  OF .

Угол АFО – искомый.

cos

cos АFO =  =  = .

2 способ. Геометрический 

AF=F

CO-медиана и высота ΔACB; CO⊥AB; O-медиана и высота ΔMAB; MO⊥ABAB⊥(MOC) (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

AO⊥(MOC),  OAB;  AF-проекция наклонной AF на плоскость MOC.

∠(AF;(MOC))=∠(AF;OF)=∠AFO.

ΔAFO прямоугольный, ∠AFO=90°, AO⊥(MOC),FO(MOC)AO⊥FO.

Sin AFO=;  AO=AB=;  MO=OB=

MB=MO+OB=+.  MB=a

MA=MB=MC=AC=aΔAMC-равносторонний  AF-медиана и высота ΔAMC

AF=AC-CF=a-=; АF =

sin AFO = , cos АFO .

Ответ: .

Задача 4

В правильной треугольной призме, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и А1С.

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим призму в декартову систему координат, таким образом, что бы АС лежал на оси абсцисс, и точка С(0; 0; 0). Тогда координаты точки А(1; 0; 0), А1(1; 0; 1).

Найдем координаты точки В. В треугольнике АСВ опустим из точки В перпендикуляр ВН на АС. ВН =  = .

СА1{1; 0; 1}, ВА{; ; 0}. = =  = .

2 способ. Геометрический 

Построим СN параллельно АВ, таким образом, что СN = АВ, тогда АВСN – ромб. Угол           А1СN – искомый.

Из треугольника АА1С найдем А1С:  А1С = =.

ΔNАА1=ΔСАА1 по трем сторонам, значит NА1= СА1=.

По теореме косинусов из треугольника NА1С найдем искомый угол:

  =  =  = .         Ответ:.

Задача 5.

В правильной четырехугольной пирамиде ВСD длины стороны основания и высоты соответственно равны 1 и 2. Найти расстояние между прямыми BD и SA.

1 способ. Координатно-векторный метод

Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в вершину А основания пирамиды и направив оси координат так, как показано на рисунке. Тогда вершины пирамиды будут иметь координаты А(0; 0; 0), В(1; 0; 0), D(0; 1; 0), S(; ; 2) и соответственно координаты векторов:  {- ; -; -2}, В{1; 0; 0}, ВD{-1; 1; 0}. Общий перпендикуляр к прямым AS и BD обозначим EF.

EF= EА + АВ + ВF=k*SА + АВ + m* ВD.  Коэффициенты k и m найдем из условий EF⊥ВD и EF⊥SА. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. (- + 1 – m)(-1) + (- + m) = 0 , m = ;
2. -+   +   - - 8 k = 0, k = . 

Тогда EF{} и  =  = .

2 способ. Геометрический

Прямые AS и BD скрещивающиеся. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Произведем соответствующие построения: АС перпендикулярна ВD, так как в основании квадрат. EF – наклонная к плоскости основания и перпендикуляр к AS, по теореме о трех перпендикулярах EF перпендикулярна ВD. Значит EF- искомое расстояние.

Треугольник АС равнобедренный,  высота пирамиды, EF – перпендикуляр к AS и BD. Из прямоугольного треугольника АВС найдем АС по теореме Пифагора: АС = . Так как

F – середина АС, то EF = . Из прямоугольного треугольника ASF: AS=  = ,  =  = .  Из треугольника АEF:   EF = * АF =  =  .

Ответ: .

Заключение.

        Использование координатно–векторного метода существенно упрощает решение задач, а в некоторых случаях является наиболее приемлемым способом их решения.    В ряде случаев при решении задач на вычисление применение векторов предпочтительнее конструктивных подходов, связанных с использованием дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии. В работе    разобраны основные  задачи «С2» встречаемые на итоговой аттестации в 11 классе. Тематика задач «С2»:  расстояние от точки до прямой;  расстояние от точки до плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми; угол между скрещивающимися прямыми; угол между прямой и плоскостью; двугранный угол.   Все приведенные задачи решены двумя способами: геометрическим и методом координат. Векторно-координатный метод не требует интуиции, догадок, дополнительных построений: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Цель работы достигнута.

Список литературы:

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.
2.   Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс, М.: Просвещение, 2008 г.
3. Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: «Дрофа», 2000.
4. Клетеник Д.В. Сборник задач по Аналитической геометрии. - М.: «Наука»,  1986.
5. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы/ В.А. Васильева, Т.Д. Кудрина, Р.Н. Молодожникова; Под редакцией Р.Н. Молодожниковой. – М.: Изд-во МАИ, 1991.